ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФАЗОЭКСПОЗИЦИОННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ^*) РЕГИСТРИРУЮЩЕГО МАТТЕРИАЛА НА КАЧЕСТВО ГОЛОГРАФИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

На базе ранее описанной /1/ методики и модели исследуется изменение качества изображения диффузного объекта, восстанавливаемого с тонкой фазовой голограмчы, зарегистрированной в среде с нелинейным откликом; при этом основное внимание уделено резкому возрастанию интермодуляционного шума. Анализу предпослано рассмотрение вопроса о линейности "поведения" регистрирующей среды, т.е. пригодности (фазо) экспозиционной характеристики для расчета фазовых набегов, возникающих в любой точке голограммы (сложного объекта). Применение одного из голографических способов уточнения параметров фазоэкспозиционной кривой иллюстрируется на примере фоторезиста Шипли az - 1350.

"коэффициент нелинейности к_н - дифракционная эффективность η и "отношение сигнал/шум ( s/n )_Σ - дифракционная эффективность η_Σ"). Эта методика была проиллюстрирована на целом ряде регистрирующих материалов, причем, наиболее полно была рассмотрена тонкая фазомодулирующая среда с линейным откликом, т.е. с линейной экспозиционной кривой.

Как следует из нижней части рис.4 (см/1/), в случае такой регистрирующей среды (с линейной фазоэкспозиционной характеристикой) при разумном выборе r(>1) можно ожидать умеренный (к_н≈0,5) ;спад яркостей наиболее светлых участков голографируемого (диффузного) объекта вплоть до предельно достижимых дифракционных эффективностей η_Σ=14÷20%. Åсли же ограничиться значениями η_Σ<0,1, то линейные искажения в воспроизведении градаций серого практически будут незаметны (к_н>0,8).

Отношение сигнал/шум ( s/n )_Σ, характеризующее контраст восстановленного изображения (диффузного) объекта, зарегистрированного в тонкой фазомодулирующей среда с линейным откликом, также весьма высоко, что иллюстрируется верхней частью рис.4 в /1/. Так, например, при дифракционной эффективности η_Σ < 10% отношение сигнал/шум ( s/n )_Σ численно равно^*) отношению (η_Σ/r)^-1 (где r - отношение интенсивностей опорного и предметного пучков). Таким образом, для получения отличного (для зрителя) контраста (когда ( s/n ) > 10² /4/) достаточно обеспечить на стадии записи r ≥ 10² ∙ η_Σ, что при 10-процентной дифракционной эффективности потребует r ≥ 10. Удовлетворительное качество (в смысле зашумленности интермодуляционными

помехами /1/) соответствует ( s/n ) ≈ 20 /4/, т.е. обеспечивается линейной фазомодуляционной средой уже при r≥2 и η_Σ≈ 0,1. С другой стороны, получение предельно достижимых значений ( ~ 22%) дифракционной эффективности тонкой фазовой голограммы (диффузного объекта), зарегистрированной в среде с линейным откликом, несколько повышает требования к величине r. Для отличного контраста требуется r≈10², тогда как для удовлетворительного-достаточно r≈20.

В то же время известные экспериментальные данные /3/ существенно отличаются от рассчитанных по /1/ результатов в сторону резкого уменьшения контраста и почти полного исчезновения его зависимости от r (соотношения интенсивностей опорного и сигнального пучков). Хотя существует целый ряд технических (непринципиальных) причин, за счет которых можно, по крайней мере, качественно объяснить резкое ухудшение отношения сигнал/шум (например, в /5/ контраст исходного тест-объекта составлял всего лишь 1:40), однако при достаточно чистом эксперименте /3/ существенную роль может играть такая принципиальная причина, как нелинейность отклика фазомодулирующей среды./6/.

i. Описание регистрирующей среды

Как уже упоминалось, основной характеристикой регистрирующей среды является экспозиционная кривая, которая обычно снимается экспериментально (на нулевой пространственной частоте) и описывает зависимость вносимых данной средой (после экспонирования и обработки) амплитудных или фазовых^*) искажений от экспозиции Е. В то же время для голографии (и некоторых других процессов - например, фотографии с пространственной поднесущей /7/) существенно наличие несущей пространственной частоты. С тем, чтобы обойти это несоответствие, обычно априори полага-

Первым способом удобно описать идеальный (бесконечно монодисперсный и бесконечно тонкий) фото (химический) материал, имеющий значительный горизонтальный участок на МПФ и крутой спад ее после ν_пред. Удовлетворительной иллюстрацией такой формы МПФ служат галлоидосеребряные фотоэмульсии Кодак-649 и позитивного фоторезиста Шипли Аz - 1350 /3/.

ii. Уточнение формы экспозиционной кривой

где δ_акс - максимально достижимые фазовые искажения, δ_n и Е₁ - смещение точки перегиба аппроксимирующей функции f, соответственно, вверх и вправо от начала координат, Е₀ -константа экспозиции, такая, что δ_макс-δ_n=f(∞)Е0.

e(x)=e_ср[1+cos(2πνx)], (2)

где e_сред = Е_r + Е_s = τ(r² + s²)- средняя'экспозиция,

- контраст интерференционной картины,

r = Е_r/Е_s =(r/s)² отношение интеясивностей (плоских) волн,

b_q - коэффициент в разложении функции f в степенной ряд h_ср=e_ср/e₀; h₁=e₁/e₀ - нормированные экспозиции, Р =[2i-2n+(-1)ⁱ⁺ⁿ-1]/4). Обобщая модель голограммы в виде трех наложенных друг на друга субголограмм (см.рис.3в /1/) на случай бесконечного числа парциальных субголограмм (см. /6/, а также рис.3в /1/) каждая из которых представляет из себя косинусоидальную фазовую решетку с пространственной частотой (nν) θ (половинными) фазовыми искажениями δ_~n, можно представить дифракционную эффективность тонкой фазовой голограммы двух плоских волн в виде

Совпадение формы и абсолютных значений η₊₁(h_ср; h₁) с экспериментальной кривой η₊₁(Е_cp) позволяет уточнить нормированный параметр экспозиционной кривой h₁=Е₁/Е₀, (для чего, естественно, надо рассчитать несколько кривых η₊₁(h_cp) при h₁, близких к отношению Е₁/Е₀, даваемому экспозиционной кривой) и константу экспозиции Е₀, которая вычисляется из соотношения масштабов на совпадающих кривых η₊₁(h_cp) и η₊₁(Е_cp). Таким способом были уточнены параметры рельефоэкспозиционной кривой фоторезиста Шипли Аz - 1350, обработанного в течение 20 с в проявителе А-303 при 25°С (кривая 1 на рис.2в /3/). Оказывается, что если глубина рельефа (в мкм) зависит от экспозиции Е (в мДж/см² для λ= 0,44 мкм) как

-Δ(Ε)=0,55+0,45^th(0,025Е-0,6), (6)

то расчетная дифракционная эффективность (при показателе преломления фоторезиста n ≈ 1,7 /3/) совпадает с экспериментальными кривыми η₊₁(Е_cp), что иллюстрируется рис.1. Фирменная обработка того же фоторезиста (проявитель Аz -1350, 25°С, 20с) лишь увеличивает величину Е₁ до 80мДж/cм², что соответствует кривой 2 на рис.2 (см. /3/) и рис.7 (см. /5/).

Поскольку линейность поведения интересует нас в основном для корректного описания регистрирующей среды при рассмотрении вопроса об интермодуляционном шуме (см. iii), то проверку линейности поведения целесообразно проводить при больших значениях (отношения интенсивности опорного пучка к сигнальному) r.

Рис.1. Экспериментальные /3/ (λ = 0,63 мкм, n = 1,7) и теоретические зависимости высоты рельефа Δ_~1 основной решетки голограммы двух плоских волн, зарегистрированной в фоторезисте Шипли Аz -1350, описываемом ур.(6).

Если экспериментальная зависимость η₊₁(Е_cp) снята при достаточно больших значениях r, то ее можно приме-

нить для непосредственного "синтезирования" фазо-экспозиционной кривой, соответствующей ненулевой (несущей) пространственной частоте, используя тот тривиальный факт, что . Хотя таким образом нельзя найти начальное значение фазовых искажений δ(0)=δ(Ε)|_Е=0, для фазомодулирующих сред это обычно не имеет значения.

iii. Интермодуляционный шум тонких базовых голограмм, зарегистрировенных в среде с нелинейним откликом

Имея уточненное описание фазоэкспозиционной кривой регистрирующего материала и большую или меньшую уверенность в линейности его поведения, можно аналитически рассмотреть вопрос об интермодуляционном шуме /1/ тонкой фазовой голограммы при нелинейном отклике /6/. При этой следует четко представлять, что, как показано в /1,3/, этот вид нелинейных искажений изображения, восстанавливаемого с тонкой фазовой голограммы, является принципиально неустранимым в силу специфики данного типа голограмм, связанного с нелинейностью самой фазовой модуляции как таковой. Лишь использование третьего измерения регистркрувцей среды (толстые фазовые голограмиы) позволяет ослабить влияние интермодуляционного шума за счет "самофильграция", воникающей из-за наличия сильно выраженного эффекта Брэгга /10/.

Не лишне также напомнить, что под интермодулнциоывым шумом в /1/ и здесь подразумевается усредненное по площади причинно-обусловленное интермодуляционное изображение (духи, phantom). При этом для вычисления такого усредненного шума необходимо знание лишь статистики сигнальной волны, тогда как для расчета интермодуляционного изображения требуется ее полное описание (с учетом фазового распределения), что при современной состоянии ЭЦВМ позволяет рассчитывать интермодуляционные изображения лишь простых регулярных объектов (например, матрицы излучателей в оптических ЗУ /11/).

В неиболее общем случае суммарная экспозиция в плоскости голограммы х(х,у) может быть записана как Е(х)=Е_r(х)+Е_s(x)+Е_rs(х), где e_r=τr²- экспозиция опорного пуч-

ка (τ - время экспозиции), Е_s - экспозиция сигнального пучка, e_rs - интерференционный член. Для объекта, состоящего из М точек (см.рис.2), каждая из которых создает в плоскости голограммы поле , экспозиция сигнального пучка

а интерференционный член (при опорной волне) .

где h_r=e_r/e₀; h_rs(x)=e_rs(x)/e₀; h_s(x)=e_s(x)/e₀ - нормированные экспозиции,

- чувствительность к нормированным экспозициям при регистрации "mn" - ной (парциально) субголограммы. На основании (10) можно выделить три составляющие фазового сдвига.

1. Постоянный для данной голограммы фазовый сдвиг (первая строка (9), соответствующая m=n=0);

2. Фазовый сдвиг, несущий информацию о предметной волне (вторая строка (9), соответствующая m=0, n=1);

3. Фазовый сдвиг, обусловленный взаимной интерференцией точек объекта друг с другом (третья и последующие строки с m>1). Тогда процесс реконструкции такой (тонкой фазовой) голограммы можно рассматривать как взаимодействие восстанавливающей волны с совокупностью трех наложенных друг на друга фазовых фильтров - фильтром, вносящим постоянный фазовый сдвиг, информационной субголограммой и шумовой субголограммой (см.рис.3). Если φ_c=φ_r и шумовая субголограмма отсутствует, то информационная субголограмма с амплитудным коэффициентом про-

Наличие квадратичной составляющей (b₂≠0) в отклике регистрирующей среды приводит к увеличению количества парциальных шумовых субголограмм с 1 при линейном (b_q|_q>1=0) отклике до 4. Кубическая составляющая индуцирует уже 8 парциальных шумовых субголограмм и т.д. (12; 17; 23; ...). В результате для модели рассматриваемой голограммы (см.рис.3) нерассеянная часть плоской волны, участвующая в восстановлении информационной субголограммы, имеет вид (см.(24) и (26) /1/):

где - плотность распределения вероятности сигнальной волны в плоскости голографирования. В частном случае линейного отклика () (13) принимает известный /1,5/ вид:

С другой стороны, поскольку мы условились понимать под интермодуляционным шумом усредненное (по площади) интермодуляционное изображение, то такое усреднение можно проводить как во всей шумовой субголограмме сразу (см.вторую строку в (13)), так и в каждой отдельной "mn" -ной парциальной шумовой субголограмме, для которой нерассеянная часть(плоской) восстанавливающей волны

(где Δt_mn=1-t_mn=[l-|(a₀)_mn|²]<<1 - для высококонтрасткого изображения, а именно такое интересует нас), а отношение сигнал/шум /1,10/

Из (17) отчетливо видно, что любая нелинейность (фазо) экспозиционной кривой вызывает ухудшение контраста восстановленного (с тонкой фазовой голограммы) изображения, поскольку каждая ΔТ_mn является действительным положительным числом (или нулем).

Наиболее общим методом вычисления (a₀)_mn является численное интегрирование, хотя часто задача может быть решена анали-

тически. Так, при релеевском распределении плотности вероятности амплитуды сигнальной волны /1,10/, когда , и равновероятном распределении фазы сигнальной волны оказывается возможным провести аналитическое вычисление всех (а₀)_mn, за исключением (а₀)_mn, при m ≥ 3. При этом, если для вычисления (а₀)_mn первых парциальных шумовых субголограмм имеются табличные интегралы (часто содержащие специальные функции), то для вычисления (a0)_mn парциальных шумовых субголограмм с более высокими номерами приходится использовать разложение косинуса и синуса в степенной ряд. Часть результатов приведено в таблице, где a _mn =μ _mn h_r^m+n /.

(а₀)_mn вычисление значений Т_mn = |(a₀)_mn|² можно проводить только в численном виде (при использовании ЭВМ наиболее удобен язык Фортран-4).

Для построения (плоской) параметрической кривой "отношение сигнал/шум (s/n)_Σ - дифракционная эффективность η_Σ "достаточно вычислить ряд значений (s/n)_Σ по (17) и (η_Σ/t_n) = t_Шexp(-2μh/r)i₁(2μh/r) для соответственно выбранных значений нормированной экспозиции опорного пучка h_r = τr²/e₀=e_r/e₀ при интересующем значении r=e_r/<e_s>. В случае необходимости можно построить семейство параметрических кривых (s/n)_Σ - - (η_Σ/t_r) при разных значениях r.

iv. Нелинейные искажения при воспроизведении градаций в восстановленном изображении

Как уже указывалось в /3,6/, интермодуляционный шум является наиболее чувствительным к нелинейности фазоэкспозиционной кривой тонкого регистрирующего материала. В результате анализа как теоретических (см. Ш и /6/), так и экспериментальных /3,5/ данных можно считать, что при получении высококонтрастного восстановленного изображения нелинейные искажения в передаче градаций серого (т.е. яркости) голографируемого объекта не будут заметно отличаться от таковых (см.нижнюю часть рис.4 в /1/) для тонкой регистрирующей среды с линейной фазоэкспозиционной характеристикой (хотя возможно не только уменьшение κ_н, но и его увеличение, т.е. уменьшение нелинейных искажений за счет частичной компенсации собственной нелинейности тонкой фазовой голограммы, возникающей /1,3/ на стадии восстановления регистрирующей среды, о чем упоминалось в /1/ при рассмотрении реального фото термопластика). В силу этого подробный анализ нелинейных искажений (в передаче градаций серого) вряд ли целесообразен, тем более, что на практике /3/ изменение формы (линеаризация) фазоэкспозиционной кривой обычно используется для получения максимального значения отношения сигнал/шум, в силу чего отсутствует возможность минимизации нелинейных искажений.

1. В.Б.Немтинов, О.В.Рожков. Метод оценки качества голографического процесса. Материалы iv Всесоюзной школы по голографии, Л., 191÷211, 1974.

2. Дж.Гудмен. Введение в фурье-оптику, Мир, М., 1970.

3. Нелинейные искаженна и интермодуляционный шум рельефно-фазовых голограмм, записанных на фоторезисте, ЭИ ФКА, НиПФ, №23, (реф.95), стр. 1÷13, 1974.

4. У.Дж.Хэннэн. Голографические кинофильмы, получаемые тиснением. Техника кино и телевидения, №8, 43÷51, 1973.

6. В.Б.Немтинов, О.В.Рожков. Интермодуляционные искажения тонких фазовых голограмм, обусловленные нелинейностью отклика регистрирующей среды. В сб. "Оптическая голография и ее применение", ЛДНТП, Л., стр.96, 1974.

7. Н.Г.Власов, Г.В.Скроцкий. Фотография с пространственной несущей и голография. Материалы vi Всесоюзной школы по голографии., стр.165-175, 1974.

11. В.hill. point efficiency and signal-to-background ratio in exponential holograms for optical memories. appl.opt., 11, 12, 2937, 1972.