а) Пусть среднеквадратичная ошибка измерения порядковых номеров интерференционных полос в исследуемых точках объекта равна σ_ni. Связь между вектором смещения исследуемой точки и порядковыми номерами интерференционных полос n₁, n₂, n₃, наблюдаемых в этой точке по трем различным направлениям, выражается системой из трех линейных алгебраических уравнений /1/. В матричном виде эта система имеет вид:

где А - матрица коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений, .

Считая, что ошибки распределены по нормальному закону и, следовательно, при сложении случайных, величин их дисперсии складываются, получим, что среднеквадратичная погрешность определенная К-ой проекции вектора равна

где - элементы матрицы А^-1 обратной по отношению к матрице А; индексом к, принимающим значения 1, 2, 3 пронумерованы оси координат х, у и z, соответственно. Считая, что , из формулы (2) получаем

Таким образом, сумма квадратов элементов строки матрицы А^-1 определяет степень влияния погрешностей в измерении n на погрешность определения соответствующей проекции вектора .

Величина , как правило, лежит в пределах от 0,1 до нескольких десятых долей полосы. Имеется сообщение об измерении n с точностью ~ 0,01 полосы /3/.

б) Из (1) следует, что порядки интерференционных полос зависят от направления освещения и наблюдения исследуемой точки объекта ( и определяют элемента матрицы А). Эта зависимость имеет вид:

где θ_i и θ₀ - углы, составляемые вектором с единичными векторами и , соответственно. Дифференцируя (4) получим:

Из (5) следует, что погрешностям измерения углов наблюдения и освещения dθ_i и dθ₀ эквивалентна некоторая определенная погрешность dn_i измерения порядкового номера интерференцион-

ных полос. Воспользовавшись этим, определим влияние погрешностей измерения углов на погрешность определения проекций вектора смещения . Из (5)

где и - среднеквадратичные погрешности измерения углов наблюдения и освещения, соответственно; - эквивалентная им среднеквадратичная погрешность измерения порядкового номера интерференционных полос. Учитывая (1) по аналогии с (2) для среднеквадратичной погрешности определения К-ой проекций вектора , имеем:

В отличие от приводе иных в работе /2/ приближенных оценок погрешностей, учитывающих случай самого неблагоприятного расположения вектора смещения относительно направлений наблюдения и освещения, формулы (6), (7) дают точную оцзнку погрешностей для любого конкретного расположения вектора . Приближенную оценку погрешности отдельных проекций вектора смещения можно получить, принимая и заменяя sinθ_i и sinθ₀ на 1. Тогда из (6,7)

Первое слагаемое (8) характеризует вклад, вносимый в ошибками определения направлений наблюдения, второе слагаемое - ошибками определения направления освещения.

Последний фактор приводит к тому, что наблюдаемая интерференционная картина является суммой интерференционных картин, построенных лучами различньд направлений, попадающих во входной зрачок оптической системы. При этом в результирующей картине положение интерференционных полос будет соответствовать некоторому направлению наблвдения, в общем случае не совпадающему с центральным лучом входного зрачка оптической системы. Если при вычислении вектора смещения считать, что направлением наблвдения является центральный луч зрачка, то возникает систематическая ошибка измерения порядковых номеров интерференционных полос, зависящая от апертуры регистрирующей оптической системы, а также от величины и направления вектора смещения . Найдем эту зависимость.

Предположим, что изображение, восстановленное голограммой, заданной методом двойной экспозиции, наблюдают с помощью оптической системы, сфокусированной на некоторую точку 0 диффузного объекта, лежащую на оси оптической системы. Введем сферическую систему координат с началом координат в точке 0 (рис.1). Вклад в интенсивность ее изображения, определяемый излучением, проходящим через бесконечно малый элемент s апертуры с телесным углом Ψ=ξdξdη μожно выразить:

i(ξ,η)=i₀Ψ+iΨcos{kΔπ[cosξ cosξ₀+sinξ sinξ₀ cos(η-η₀)]+φ}, (9)

где i₀ - константа, пропорциональная яркости точки 0 на восстановленном изображении объекта; k - волновой вектор излучения; Δr - модуль вектора смещения; ξ, η - угловые координаты алемента s апертура; ξ₀, η₀ - угловые координчты вектора смещения; φ - разность фаз волновых полей, освещающих точку О в смещенном и несмещенном положениях. В формуле (9) аргумент косинуса в фигурных скобках представляет собой разность фаз волно-

Рис.1. К рассмотрению усреднения интерференционной картины по апертуре оптической системы. ОА - ось оптической системы; О'- смещенное положение точки О; ξ, η - σгловые координаты элемента s апертуры; ξ₀, η₀ - угловые координаты вектора смещения .

вых полей, рассеянных точкой О в двух положениях в направлении, определяемом углами ξ и η. Для удобства дальнейших операций представим i(ξ, η) β виде

i(ξ,η)=i₀Ψ+i₀Ψ re exp{ikΔr[cosξ cosξ₀+sinξ sinξ₀ cos(η-η₀)]+iφ}. (10)

Как было показано в нашей предыдущей лекции на этой школе, для того чтобы учесть случайную зависимость диффузно-когерентных волновых полей от пространственных координат при описании интерференционных эффектов, целесообразно ввести усреднение по пространству. В дальнейшем под i(ξ,η) αудем понимать интенсивность, усредненную в плоскости изображения по некоторому направлению, для которого . Полная интенсивность i изображения точки o, построенного оптической системой, будет равна:

где δ - угловая апертура оптической системы.

В (11) не входит взаимная интенсивность, образованная наложением волновых полей, прошедших через различные участки апертуры, т.к. при указанном выше усреднении она стремится к нулю.

Сделаем вполне оправданное для голографичеcкой интерферометрии предположение, что апертура оптической системы невелика (в противном случае контракт интерференционных полос будет низким). Тогда, заменяя в (10) cosξ на 1-ξ²/2 и используя интегральное представление функций Бесcеля /4/ из (10), (11), получим:

Рассмотрим случай очень малых апертур. При δ→0 из (12)

Как видно из выражения (13), фаза интерференционной картины в рассматриваемой точке o соответствует геометрической разности хода лучей, распространяющихся по оси оптической системы. В общем случае, описываемом выражением (12), к фазе, обусловленной этой геометрической разностью хода и равной аргументу ехр, стоящей перед интегралом, добавляется некоторая дополнительная фаза α,

которая, как следует из (14), зависит от апертуры оптической системы и вектора смещения и . Об этой дополнительной фазе упоминалось в нашей предыдущей лекции на этой школе, где было отмечено, что в результате усреднения интерференционной картины по направлениям наблюдения , попадающим в апертуру оптической системы, к аргументу функции взаимной корреляции добавляется величина α₁₂. Поскольку аргумент функции взаимной корреляции представляет собой фазу наблюдаемой интерференционной картины, величина α₁₂ равна дополнительной фазе α. Интересно отметить, что второе слагаемое выражения (12) с точностью до обозначений совпадает с выражением для трехмерного распределения комплексной амплитуды вблизи фокуса сходящейся сферической волны, приведенный, например, в /5/. Это совпадение не случайно. Действительно, второе слагаемое (12) совпадает также с выражением для функции взаимной когерентности в изображении некогерентного теплового источника. Последнее следует из того, что взаимная когерентность подчиняется тому же волновому ураанению, что и комплексная амплитуда /5/. Как отмечалось на нашей предыдущей лекции, функция взаимной когерентности для диффузно-когерентного излучения, введенная усреднением по пространству, совпадает с функцией взаимной когерентности для теплового излучения, введенной усреднением по времени. При выводе (12) учитывалась только та интенсивность, которая вносит вклад в образование интерференционной картины, т.е. учитывалась взаимная интенсивность, которая после соответствущей нормировки переходит в функцию взаимной когерентности для диффузно-когерентного излучения и, следовательно, совпадает с трехмерным распределением комплексной амплитуды вблизи фокуса. Последнее достаточно хорошо изучено и, при необходимости, может быть использовано для анализа усреднения по апертуре в голографической интерферометрии.

Оценим величину α. Из (14) следует, что α принимает максимальное по модулю значение при ξ =0, т.е. когда смещение направлено вдоль оси оптической системы и α = 0 при ξ=π/2, ς.е. при смещении, перпендикулярном оптической оси. Следовательно, величина может служить оценкой погрешности измерения порядковых номеров интерференционных полос, обусловленной эффектом усреднения интерференци-

онной картины по апертуре оптической системы. Эта погрешность становится заметной лишь при больших смещениях ( ~ 100 мкм) и сравнительно большой апертуре оптической системы (~0,1), однако, при точном измерении дробной части интерференционных полос, например, по методу, предложенному в /3/, эту погрешность следует учитывать и при обычных условиях. Выражение (14), в принципе, позволяет не только получить оценку указанной погрешности, но и скорректировать с ее учетом вычисленные проекции вектора . Для этого целесообразно воспользоваться методом последовательных приближений, приняв за первое приближение значения проекций вектора , рассчитанные по трем интерферограммам без учета α, затем, используя вычисленные по формуле (14) значения α, скорректировать порядковые номера интерференционных полос, повторить расчет и т.д. В результате, систематическая погрешность, вызванная усреднением по апертуре, будет исключена.

Итак, в результате проведенного анализа установлена связь погрешностей определения вектора смещения с погрешностями непосредственно измеряемых величин (формулы (3), (7) и (8)). Входящие в эти формулы элементы обратной матрицы А^-1 являются функциями геометрических параметров гологоафической схемы. Для использованного в ряде работ (например, в /2,6/) расположения направлений наблюдения и освещения (рис.2) можно получить простые зависимости сумм и от углов β и γ, показанных на рис.2.

Для реализуемых на практике схем погрешности определения первых двух проекций (на оси ОХ и ОУ), как правило, в 2-3 раза больше погрешности определения третьей проекции (на ось oz). Например, для схемы с параметрами β = 30°, γ = 0 οри смещении

Δr=10 мкм, λ=0,6 мкм, σ_h=0,1, σ_θ=5∙10^-3 среднеквадратичные погрешности составят: =0,11 мкм, =0,14мкм, =0,04 мкм. Как видно из полученных результатов, по точноcтным характеристикам голографическая интерферометрия уступает классической (в классической интерферометрии мкм для той же длины волны). Таким образом, повышение точности измерений и оценка принципиально достижимой точности в голографической интерферометрии диффузно отражающих объектов является предметом дальнейших исследований.

1. Н.Г.Власов, А.Е.Штанько. Материалы vi Всесоюзной школы по голографии , Л., стр.259, 1974.

4. Джефрис, Б.Свирлc. Методы математической физики. Изд.Мир, М., вып.3, 1970.

5. М.Борн, Э.Вольф. Основы оптики, изд. Наука, М., 1973.