В настоящее время известно большое количество различных разновидностей голограмм. При этом в основу классификации обычно кладутся определенные физические характеристики, признаки и свойства голограмм, регистрирующих сред и схем записи.

В частности, в зависимости от структуры поля, записываемого на голограмме, различают голограммы сфокусированного изображения, голограммы Френеля и Фраунгофера и различные виды голограмм Фурье /1,2/. Выбор схемы голографирования (относительное расположение предметного и опорного пучков) приводит к понятию осевой голограммы с наклонным опорным пучком и голограммы во встречных пучках. При определенном положении интерференционной картины, регистрируемой на голограмме, относительно светочувствительного материала в зависимости от соотношения между толщиной материала и шагом интерференционной картины можно говорить о плоских и объемных голограммах. Использование регистрирующих сред с амплитудной и фазовой модуляцией позволяет выделить, соответственно,

амплитудные и фазовые голограммы /1/. В зависимости от множества точек, в которых осуществляется регистрация интерференционной картины, различают непрерывные и дискретные голограммы. Последние по способу регистрации делятся на физические и математические (машины) /3/.

Приведенный достаточно большой перечень различных типов голограмм показывает, что в настоящее время отсутствует единый подход к классификации голограмм, учитывающий математическую структуру голографической записи. Последнее, естественно, затрудняет прогнозирование новых типов голограмм и схем записи. В то же время процесс регистрации голографической информации обладает резко выраженным свойством симметрии, которое можно описать с помощью принципа взаимности /3/. Иначе говоря, при определенных условиях предметная и опорная волны могут меняться местами.

Теоретико-групповой формализм широко используется в современной физике /5,6/. Основные понятия теории групп (одного из важных разделов "неколичественной" математики) проникли во многие разделы физики и нашли применение в таких ее областях, как например, квантовая механика и кристаллография. При этом теория групп оказывается весьма полезной при систематизации широкого круга различных физических задач, связанных с теми или ввмми проявлениями симметрии (выделение кристаллографических сметем, классифякацхя уровней энергии в квавтогой механике и т.п.).

Абстрактной группой g /4,5/ называется множество элементов g, h, r и т.д. с бинарной алгебраической операцией Ä , заданной на атом множестве. Иначе говоря, для любой пары элементов g, hÎ g определен третий элемент rÎ g, так что

а) введенная операция должна быть ассоциативной, т.е. для произвольных элементов g, h, rÎ g

б) во множестве g должен существовать единичный элемент e, такой что для любого gÎ g

в) кроме того, для любого элемента gÎ g существует обратный элемент g^-1, такой, что

В качестве групповой операции Ä может быть обычное

Примеp.1. Множество комплексных чисел, за исключением нуля, с обычной операцией умножения образует мультипликативную группу. В данном случае выполнение групповых аксиом очевидно. Роль единичного элемента е играет обычная единица, а обратный элемент g^-1=1/g.

Пример 2. В качестве другого примера, результаты которого будут использованы в дальнейшем, рассмотрим аддитивную группу комплексных чисел. Элементы группы - все комплексные числа. Групповая операция Ä - обычное слодение комплексных чис-л, обозначаемое, естественно, знаком +. В случае аддитивной группы единичный элемент е = 0 и называется нулевым элементом. Обратный элемент g^-1=-g обычно называется противоположным элементом.

Пример 3. Элементы группы - множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1. Групповая операция - обычное умножение. Общий вид элемента такой группы g=exp(iφ) , так что e=1, а g^-1=exp(-jφ) . Рассмотренный пример имеет глубокий физический смысл, заключающийся в том, что множество амплитудных коэффициентов пропускания тонких фазовых голограмм образует группу.

Пример 4. Все приведенные выше примеры относятся к классу бесконечных групп. В качестве конечной грушм можно рассмотреть множество, элементами которого служат целые числа 0 и 1. Групповой операцией является сложение по модулю 2, т.е. мы складываем элементы и берем остаток от деления их суммы на 2:

Здесь 0 является нулевым элементом группы, а 1 служит для самой себя противоположным элементом.

Пример 5. Можно привести примеры более сложных групп. Все рассмотренные выше группы являются абелевыми. Примером некоммутативной группы слунит множество невырожденных матриц порядка n с операцией матричного умножения. В общем случае множество всех невырожденных преобразований пространства образует группу, где под произведением преобразований понимают преобразование, получающееся в результате последовательного применения (суперпозиции) преобразований. В частности, можно выделить группу вращении трехмерного пространства и т.п.

2. Подгруппа

Основные свойства некоторой конкретной группы можно выяснить при анализе ее внутренней структуры. Для этого широко используется понятие подгруппы.

Пусть множество g образует группу. Непустое подмножество Нc g называется подгруппой, если выполнены два условия:

а) Элемент h_1Ä h_2Î h, если h₁, h_2Î h (групповая операция Ä замкнута на множестве Н).

б) Обратный элемент h^-1Î h, если hÎ Н (групповая операция Ä обратима на множестве h).

Одна из основных задач теории групп состоит в отыскании всех остальных (собственных) подгрупп данной группы g. Применительно к голографии выявление специфики возможных подгрупп в групповой структуре интерференционного ноля позволяет исследовать различные разновидности голографической записи и выявлять возможные новые типы голограмм.

3. Фактор-группа

Из теории групп известно, что по любой подгруппе hÌ g можно построить, разложение исходной группы g на непересекающиеся множества (смежные классы). В аддитивной записи (групповая операция - сложение) левым смежным классом группы g по подгруппе Н, порожденный элементом gÎ g, называется множество элементов g+Н, представляемых в виде q+h,

где hÎ Н. Аналогично можно ввести понятие правого смежного класса Н+g. Если левые и правые смежные классы совпадают, то подгруппа h называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой. Иначе говоря, разложение группы g в смежные классы по нормальному делителю Н является правильным разбиением этой группы.

С помощью инвариантной подгруппы h и группы g можно построить новую группу, элементами которой являются множества элементов g (смежные классы). При этом под суммой смежных классов g+Н и r+h (g, rÎ g) пониматся смежный класс (g+r)+Н. Роль нулевого элемента выполняет инвариантная подгруппа Н, а противоположным элементом для смежного класса g+Н служит -g+h. Эта группа смежных классов называется фактор-группой группы g по инвариантной подгруппе Н и обозначается g/h.

4. Групповая структура интeрференционного поля

В приближении скалярной теории дифракции комплексная амплитуда любого оптического возмущения (дифракционный образ), распространяющегося в свободном пространстве, удовлетворяет уравнению Гельмгольца /7,8/. На голограмме регистрируется суммарный дифракционный образ, определенный на плоскости или в некотором объеме пространства и являющийся суммой предметной g_н и опорной g_r волны. Причем, реализация этого процесса может носить как физический, так и машинный (дискретный) характер /3/.

В силу линейности уравнения Гельмгольца множество дифракционных образов представляет собой абелеву группу g с операцией вложения, определенной в поле комплексных чисел (пример 2). Иначе говоря, сумма дифракционных образов g_r+g_н снова оказывается дифракционным образом. Нулевым элементом является дифракционный образ gº 0. Противополжным элементом для g служит элемент -g=g exp(jπ), отличающийся фазовым сдвигом π.

в которой она рассматривается. В частности, используя для нахождения дифракционного образа интеграл Френеля-Кирхгофа, можно выделить три основные области дифракции: область геометрической тени, область дифракции Френеля и область дифракции Фраунгофера /2,7,8/. Каждое из рассмотренных подмножеств дифракционных образов в группе g в силу линейного характера описания дифрагированной волны с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа представляет собой соответствующую подгруппу Нc g. Физически это означает, что сумма френелевских, фраунгоферовских и теневых образов снова является соответствующим дифракционным образом.

Таким образом, в структуре группы g всех дифракционных образов можно выделить три характеристические собственные подгруппы, соответственно, Френелевских Ф, фраунгоферовских f и теневых Т образов. Кроме того, дополнительно полезно рассмотреть собственную подгруппу f дифракционных фурье-образов /1,8/, которая очевидно является подгруппой в группе f всех фраунгоферовских образов. Рассмотренный набор собственных подгрупп в рамках скалярной теории дифракции описывает групповую структуру поля, регистрируемого на голограмме. Выделение других собственных подгрупп или в общем случае какой-либо другой произвольный способ построения подгрупп в группе всех дифракционных образов позволит глубже понять характер регистрируемого поля и структуру голографической записи.

Любая подгруппа Н абелевой группы g инвариантна. Тогда по инвариантной подгруппе Н можно построить фактор-группу g/Н, представляющую собой разложение исходной группы g дифракционных образов на непересекающиеся смежные классы g_r+h. При этом произвольный смежный класс g_r+h образуется из множества элементов группы g, представляемых в виде суммы g_r+g_н, где g_rÎ g, g_нÎ Н. Таким образом, суммарную комплексную амплитуду поля, регистрируемую на голограмме, можно рассматривать как элемент фактор-группы (некоторый смежный класс), построенной по подгруппе Н соответствующих дифракционных образов. Физически это означает, что предметная волна g_н принадлежит некоторой выбранной подгруппе Н дифракционных образов (например Т, Ф, f или f), а опорная волна g_r является в общем

случае произвольным дифракционным образом группы g.

Такой подход описывает математическую структуру интерференционного поля, регистрируемого на голограмме. С одной стороны, амплитудно-фазовое распределение поля в предметной волне g_н на практике всегда может быть отнесено к одной из рассмотренных выше собственных подгрупп дифракционных образов Т, Ф, f, f. Иначе говоря, в качестве g_н должны рассматриваться соответствующие элементы g_tÎ t, g_ФÎ Ф, g_rÎ f или g_fÎ f. В то же время на голограмме регистрируется интерференционная картина, которая возникает при сложении соответствующей предметной волны g_н и произвольной опорной волны g_r. Такая структура полностью описывается соответствующим смежным классом g_r+Н, так что на конкретной голограмме записывается определенный представитель g_r+g_н смежного класса.

Построение фактор-группы g/Н задает правильное разбиение группы g дифракционных образов на непересекающиеся подмножества g_r+Н, которые включают в себя вое элементы группы g. В результате каждый дифракционный образ g принадлежит определенному смежному классу g_r+Н (элементу фактор-группы g/h). Вид фактор-группы обусловлен структурой полк, регистрируемого на голограмме.

5. Теоретико-групповая модель голограммы

При анализе процесса восстановления гологрзмма характеризуется некоторой, вообще говоря,комплексной функцией, зависящей от типа голограммы и класса регистрируемых объектов, вида и характера отклика регистрирующей среды, а также от условий записи и обработки. Это может быть амплитудный коэффициент пропускания в случае плоской голограммы или распределение диэлектрической проницаемости и проводимости для объемной голограммы /1/. В свою очередь, как показано выше, структура интерференционного поля, ааписываемого на гопограмме, характеризуется фактор-групповой g/h, построенной по подгруппе Н соответствующих дифракционных образов. Тогда описание математической модели обобщенной голограммы сводится к заданию некоторой функции, которая определена на фактор-группе g/Н.

Построенная модель описывает групповые свойства, присущие природе голографического процесса,и имеет общий характер. Она позволяет с единой теоретико-групповой точки зрения рассматривать все имеющиеся в настоящее время разновидности голограмм/1/. Классификация голограмм в зависимости от характера суммарной регистрируемой волны (голограмма Френеля, Фурье, Фраунгофера, сфокусированного изображения и т.п.) и от схемы записи (осевая голограмма, голограмма с наклонным опорным пучком, голограмма во встречных пучках) задается в виде разложения исходной группы g на непересекающиеся смежные классы, являющиеся элементами фактор-группы g/Н, и выбора представителя в смежном классе. В то же время вид функции, определенной на фактор-группе, позволяет классифицировать голограммы на амплитудные и фазовые, плоские и объемные, непрерывные и дискретные. Наконец, в зависимости от физической реализации смежного класса можно говорить о физических и машинных (синтезированных на ЭВМ) голограммах.

Отправным моментом при построении групповой модели голограммы является выбор собственной подгруппы Н. Отсутствие универсальной собственной подгруппы приводит к различным разбиениям группы g дифракционных образов на смежные классы. При этом один и тот же суммарный дифракционный образ, регистрируемый на голограмме, принадлежит разным смежным классам, структура которых обусловлена соответствующей фактор-группой g/Н.

Однако с физической точки зрения такая неоднозначность не играет существенной роли. На практике при записи голограим Френеля, Фраунгофера или Фурье естественно в качестве собственной подгруппы рассматривать соответствующую подгруппу дифракционных образов Ф, f или f. Выбор собственной подгруппы

для голограммы сфокусированного изображения зависит от характера поля на голограмме. В качестве Н может использоваться как подгруппа Т теневых образов, так и подгруппа Ф Френелевских образов. Детальный анализ группы всех дифракционных образов g может привести к отысканию новой собственной подгруппы, учитывающей геометрию записи голограмм сфокусированных изображений.

Известны различные критерии качества изображения, восстанавливаемого с голограммы /1/. В работе /1/ для оценки качества топографического процесса введено понятие пространственной параметрической кривой "отношение сигнал/шум-дифракционная эффективность-коэффициент нелинейности" (ОСШ-ДЭ-КН). Тогда с теоретико-групповой точки зрения в общем случае для описания процесса восстановления математическая модель голограммы представляет собой некоторую вектор-функцию, которая определена на фактор-группе, построенной по подгруппе соответствующих дифракционных образов. В частности, параметрическая кривая ОСШ-ЛЭ-КН /9/ также должна быть задана на фактор-группе.

6. Фурье-подобные голограммы

Известен ряд схем записи голограмм, при которых в плоскости голограммы регистрируется либо точный фурье-образ объекта, либо произведение этого фурье-образа на квадратичный фазовый множитель. При этом различают фурье-голограмму, квази-фурье-голограмму и безлинзовую фурье-голограмму /1/. В основе такой классификации голограмм лежат различные схемы записи.

представляет собой собствечную подгруппу f в группе g (fcg) всех дифракционных образов. С помощью этой подгруппы можно построить правильное разбиение группы g на непересекающиеся смежные классы g_r+f, являюицюся элементами фактор-группы g/f. Тогда с теоретико-групповой точки зрения при записи голограммы по одной из схем фурье-голографии на ней регистрируется интерференционное поле, структура которого задается соответствующим смежным классом. Конкретная интерференционная картина зависит от вида представителя g_r+g_f (g_rÎ g,) в смежном классе.

Фурье-голограммой называется голограмма, на которой регистрируется результат интерференции двух волн с комплексными амплитудами в плоскости гологюммы, являющимися фурье-образами объекта и опорного источника /1/. Суммарное поле в плоскости голограммы складывается из плоской волны g'_f (фурье-образ точечного источника) и фурье-образа g''_f телеграфируемого объекта, так что

Так как сумма фурье-образов снова является фурье-образом, то на голограмме-регистрируется представитель нулевого смежного класса 0+f=f в фактор-группе g/f, роль которого играет исходная подгруппа f дифракционных фурье-образов. Интенсивность интерференционной картины определяется квадратом модуля |g_f|² регистрируемого представителя g_fÎ f.

Тогда описание математической модели истинной фурье-голограммы сводится к заданию амплитудного коэффициента пропускания t₀ плоской голограммы на нулевом смежном классе 0+f факторгруппы g/f, построенной по подгруппе f дифракционных фурье-образов, иначе говоря, в качестве предметного и опорного волнового фронта используется фурье-образы, а выражение для амплитудного коэффициента пропускания t₀ зависит от выбора конкретного представителя в нулевом смежном классе 0+f. Если q'_f представляет собой плоскую волну, то получается определение фурье-голограммы, приведенное выше.

располагается в задней фокальной плоскости линзы, а предмет и опорный точечный источник находятся в одной и той же плоскости, не являющейся передней фокальной плоскостью линзы /1/. Во всех трех случаях (транспарант расположен вплотную к линзе, перед линзой и за линзой) структура смежного класса имеет вид: g_r+f, где элемент g_rÎ g, порождающий соответствующий смежный класс, определяется схемой записи. Суммарное поле, записываемое на голограмме, задается представителем g_r+g_f. Однако структура эткх смежных классов такова, что квадрат модуля любого представителя совпадает с квадратом модуля соответствующего представителя из нулевого смежного класса f, так что

где g'_f - фурье-образ точечного источника.

Все вышеизложенное легко переносится на случай безлинэовой фурье-голограммы, при записи которой опорный источник располагается в плоскости транспаранта /1/. При этом в качестве элемента g_f рассматривается фурье-образ произведения амплитудного пропускания транспаранта и квадратичного фазового множителя.

Обобщая вышеизложенное, можно ввести понятие Фурье-подобной голограммы, заданной такой совокупностью смежных классов g_r+f, для которых выполняется равенство (6). Иначе говоря, математическое описание Фурье-подобной голограммы сводится к заданию амплитудного коэффициента пропускания t₀ на некотором подмножестве снежных классов {g_r+f} в фактор-группе g/f, таком, что квадрат модуля любого представителя g_r+g_f равен квадрату модуля соответствующего представителя из нулевого смежного класса, 0+f. Частными случаями Фурье-подобной голограммы являются истинная фурье-голограмма, квази-фурье-голограмма и безлинзовая фурье-голограмма.

7. Голография бегущих волн интенсивности

В работе /10/ рассмотрены отображающие свойства бегунах волн интенсивности, которые возникают при изменении длины волны излучения, рассеянного объектом. С теоретико-групповой точки зрения это приводит к параметризации соответствующей собственной подгруппы Н.

В общем случае /10/ предметная g_h и опорная g_r волна характеризуются различными частотами ω и имеют вид:

где D ω=ω₀-ω_r. Очевидно, что координатные функции g_h0 и g_r0 являются некоторыми дифракционными образами. При этом g_h0 принадлежит соответствующей собственной подгруппе Н(g_h0Î h), а g_r0, вообще говоря, является произвольным элементов группы g(g_r0Î g).

Тогда на основании (9) можно ввести в рассмотрение параметрическую /4,5/ подгруппу Н_ω(g_h(Δω)=g_h0exp(jΔωt)Î h_ω). Иначе говоря, при регистрации голограммы бегущих волн интенсивность интерференционного поля определяется параметрическим смежным классом g_r0+h_ω, который задается представителем

g_r0+g_h(Δω). (10)

8. Голографическая интерферометрия

В качестве простого примера приценения теоретико-группового подхода рассмотрим структуру голографической записи в методе голографической интерферометрии /1/. Нетрудно видеть, что как в способе двух (или нескольких) экспозиций, так и в методе голографической интерферометрии в реальном масштабе времени, интерференционное поле характеризуется суммарным снежным классом. При сложении смежных классов в зависимости от характера опорной волны мы либо остаемся в пределах одного и того же класса, либо получаем новый смежный класс.

Построение теоретико-групповой модели обобщенной голограммы, по сути говоря, представляет собой доказательство существования голограмм с заданными групповыми свойствами (теорема существования в голографии). При этом модель описывает возможные типы голограмм, для которых следует разрабатывать схемы записи, но не указывает конкретные пути их получения, что естественно для любой теоремы существования. В частности, проведенный выше анализ схем фурье-голографии и введение понятия Фурье-подобной голограммы наводят на мысль о существовании подобной структуры в подгруппе Ф френелевских дифракционных образов и в других собственных подгруппах.

В работе теоретико-групповой подход при исследовании структуры голограмм рассмотрен в приближении скалярной теории дифракции. Однако он может быть распространен и на более общий случай поляризационной записи /11/ путем анализа групповой структуры векторного поля. Кроме того, интерференции двух сигналов произвольного спектрального состава /12/ можно также описывать с теоретико-групповой точки зрения с помощью функций корреляции.

3. Э.И.Крупицкий. Основные теоремы голографии для линейной стационарной среды. Материалы vi Всесоюзной школы по голографии, Л., стр.128, 1974.

7. М.Борн, Э.Вольф. Основы оптики, изд. "Наука", стр.346, 1973.

9. В.Б.Немтинов, О.В.Рожков. Метод оценки качества голографического процесса. Материалы vi Всесоюзной школы по голографии, Л., стр.192, 1974.

11. Ш.Д. Какичашвили. Поляризованный свет в голграфии и метод поляризационной записи. Материалы v Всесоюзной школы по голографии, Л., стр. 511, 1973.

12. Г.В.Скроцкий. Интерференция и когерентность. Материалы vi Всесоюзной школы по голографии. Л., стр.37, 1974.