Процесс отравения света является сложным явлением, особенности которого существенно зависят как от свойств отражающей среды, так и структуры падающего излучения /1/. Анализ этого явления как в случае обычных отражающих сред, так и сред с необычными свойствами проще всего выполнить, рассматривая отражения плоских монохроматических волн от полубеоконечной однородной среды. Знание коэффициентов отражения для плоских волн в рамках линейной теории позволяет исследовать отражение электромагнитных волн любой сложной структуры.

Хорошо известно, что задача нахождения коэффициентов отражения (и прохождения) плоских волн от полубеоконечной среды, при использовании только уравнений Максвелла и граничных условий на поверхности отражающей среда не имеет однозначного решения /2/. В случае, когда отражающая среда обладает конечным поглощением, к уравнениям Максвелла и обычным граничным условиям добавляют в качестве дополнительного условия принцип излучения в формулировке Зоммерфельда или Мандельштама, который определяет поведение преломленных волн на бесконечности и позволяет получить однозначное решение задачи /2,3/. Введение принципа излучения, естественно, требует определенного физического обоснования. Поэтому обычная постановка задачи об отражении плоской волны от полубесконечной среды неудобна тем, что при рассмотрения отражения от сред нового

Согласно работе /1/, один из возможных путей решения поставленной задачи в случае недиспергирующих сред заключается в следующем. Рассматривается отражение плоских волн от плоскопараллельного слоя однородной среды конечной толщины l. В этом случае граничных условий на двух поверхностях слоя оказывается достаточно для однозначного определения коэффициентов отражения (и прохождения). Соответствующие результаты для полубесконечной среды получаются путем предельного перехода l→∞. Этот метод позволяет уточнять условия применимости и показать физический смысл принципа излучения для процесса стационарного отражения плоских волн.

1. Принцип излучения Зоммерфельда и Мандельштама

Напомним некоторые особенности решения задачи об отражении плоских волн от полубесконечной поглощающей однородной и изотропной среды, существенные для исследования отражения от усиливающих сред. Как мы уже отметили, для однозначного нахождения амплитуд отраженной и преломленной волн, граничных условий, требующих непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей

недостаточно. Легко видеть, что этим условиям удовлетворяют две возможные преломленные волны: идущая от границы раздела под обычным углом преломления θ₂ и идущая к границе раздела под углом π-θ₂ (см.рис.1) /2/. Это приводит к необходимости установить некоторое правило, позволяющее выбрать реализующуюся преломленную

волну. В качестве такого правила обычно используют принцип излучения Зоммерфельда, согласно которому фазовая скорость преломленной волны в поглощающей среде должна быть направлена от границы раздала в глубь отражающей среды /3/. Иными словами, принцип излучения Зоммерфельда накладывает условие на вещественную часть волнового вектора преломленной волны rek_2z> 0. Здесь k_2z - нормальная составляющая волнового вектора преломленной волны. При введении принципа излучения предполагается, что в страдающей среде источники излучения (на бесконечности) отсутствуют.

При обосновании принципа излучения само собой разумеется, что при неограниченном росте толщины отражающего слоя l роль отраженной и преломленной на задней поверхности слоя волн стремилась к нулю. Последнее условие безусловно выполняется для однородных плоских волн в сколь угодно слабо поглощающей среде, однако, в случае усиливающей или достаточно сильно рассеивающей или поглощающей среды это условие может не выполняться. Поэтому правило отбора преломленной волны, основанное на принципе излучения Зоммерфельда или Мандельштама, в этих случаях теряет силу.

2. Принцип излучения для усиливающей среды

Для анализа отражения плоской волны от усиливающей среды применим метод, основанный на предельном переходе от отражающего слоя конечной толщины к полубесконечной среде. Для простоты будем считать, что среда, из которой падает свет, прозрачная, а отражаю-

Как будет видно из дальнейшего, этот метод, эквивалентен принципу отбора, согласно которому из двух возможных преломленных волн следует выбрать такую, амплитуда которой при z→∞ стремится к нулю. Следовательно, этот принцип отбора накладывает условие на j_mk_2z. Поскольку принцип излучения Зоммерфельда накладывает условие на rek_2z, то весьма интересно проследить, когда оба метода дают одинаковый результат, а когда - различный.

Коэффициент отражения слоя, имеющего толщину l, получаемый путем решения граничной задачи, можно записать в форме /3/

Здесь ρ₁₂ - обычный коэффициент отражения (коэффициент Френеля) для передней поверхности слоя; Φ=k_2z - набег фазы преломленной волны за один проход слоя; k_2z - нормальная к поверхности слоя составляющая волнового вектора преломленной волны, re k_2z > О, а ρ₂₃ - коэффициент отражения преломленной волны от второй поверхности слоя. Если толщина слоя l>l_c, где l_с определяется из уравнения

|ρ₁₂ρ₂₃|exp(-2j_mk_2zl_c)=1,

то коэффициент отражения слоя ρ является непрерывной функцией l и в формуле (1) возможен предельный переход к полубесконечной среде l→∞. для усиливающей среды j_m k_2z < 0 , поэтому при l→∞ величина exp(-2j_mk_2zl) неограниченно растет и выражение (1) принимает вид:

ρ=1/ρ₁₂ (2)

Подставляя в (2) соответствующие выражения для ρ₁₂ найдем выражение для коэффициента отражения плоских волн, поляризованных перпендикулярно

Здесь n=n₂/n₁ - относительный показатель преломления слоя, а k_1z - нормальная к поверхности слоя составляющая волнового вектора падающей волны, re k_1z >0, re k_2z >0 .

Формулы (3) и (4) отличаются от хорошо известных формул Френеля для пассивных сред знаком при k_2z, что формально соответствует преломленной волне, распространяющейся к границе раздела под углом π-θ₂, и амплитуда которой экспоненциально убывает с увеличением z. Здесь θ₂ - обычный угол преломления (см. рис.1). Полученный результат становится вполне понятным, если вспомнить, что идущая к границе раздела волна возникает благодаря отражению обычной преломленной волны от второй поверхности, поэтому для усиливающего слоя достаточно большой толщины амплитуда подходящей волны на передней поверхности может оказаться во много раз больше амплитуды обычной преломленной волны.

Таким образом, при решении задачи о стационарном отражении плоских волн от неограниченной усиливающей среды в качестве преломленной волны всегда следует выбирать такую, для которой поток энергии направлен к границе раздела пассивной и активной сред. В этом случае должно реализоваться необычное преломление света, на возможность которого неоднократно указывал еще Мандельштам /2/. Обратим внимание на то, что наблюдение такого непривычного преломления возможно такие и для поглощающих сред о дисперсией, если групповая скорость преломленной волны направлена в сторону, противоположную ее фазовой. При этом, согласно принципу излучения, в формулировке Мандельштама, мы должны выбрать такую преломленную волну, групповая скорость которой направлена от границы, раздела, а ее фазовая - соответственно, к границе раздела. Такая ситуация может иметь место, например, как для упругих /8/, так и электромагнитных волн /7/.

3. Зависимость коэффициентов отражения от угла падения

Используя закон преломления и записывая относительный показатель преломления в виде n=n₂/n₁=n₀(1-iκ), находим явную зависимость k_2z от угла падения θ₁:

Выбирая отрицательный знак в степени множителя exp(-iωt), описывающего временную зависимость полей для усиливающей среды, следует полагать κ>0. Фаза подкоренного выражения в (5) при всех значениях θ₁ лежит в интервале (0,-π) и re k_2z > 0. Отсюда следует, что коэффициенты отражения (3) и (4) при всех углах падения θ₁ и любых значениях κ являются непрерывными функциями θ₁, а их модули всегда больше единицы. Нетрудно видеть, что при κ→0 формулы (3) и (4) переходят в соответствующие формулы для прозрачной среды только в области полного отражения. Следовательно, условие непрерывности перехода, использованное в /9,10/ для выбора преломленной волны, является, вообще говоря, неверным.

Подставляя k_2z из (5) в (3), получаем, что величина |ρ_⊥(θ₁)| достигает своего максимума, равного |n₀+1/n₀-1|, κ<<n₀ при нормальном падении, а с увеличением θ₁ она монотонно уменьшается, оставаясь все время больше единицы. Более интересна кривая зависимости |ρ_||(θ₁)|, имеющая один максимум при нормальном падении и второй порядка 2n₀²/κ|n₀²-1| (при равенстве θ₁ углу Брюстера θ_b(tgθ_b=n₀). Следовательно, естественный свет, падающий на усиливающую среду под углом Брюстера, при стационарном отражении оказывается поляризованным в плоскости падения, в то время как естественный свет при отражении от пассивной среды под углом Брюстера, как известно, поляризуется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Из формул (3) и (4) видно, что при |κ|<<1 произведение модулей коэффициентов отражения от активной и пассивной сред c одинаковыми вещественны-

Рис.2. Зависимость модулей коэффициентов отражения от угла падения θ₁ для поглощающей (две нижние кривые) и усиливающей (две верхние кривые) отражавших сред, построенные для случая n₀=0,5; κ=±0,2; θ_c=33°; θ_b=26°36. Значки ⊥ и || обозначают перпендикулярную и параллельную поляризации падающей волна, соответственно.

4. Экспериментальное исследование отражения света

Для экспериментального наблюдения процесса стационарного отражения необходимо, чтобы он был устойчивым. Из формулы (1) видно, что она переходит в (2) при условии |ρ₁₂ρ₂₃exp(2iФ)|>>1, которое означает экспоненциальное нарастание любых малых возмущений поля внутри слоя. Таким образом, для усиливающего слоя достаточно большой толщины основной вклад в интенсивность отраженного света, начиная с некоторого момента времени, начинают давать усиленные возмущения и процесс отражения неизбежно приобретает нестационарный характер. Очевидно, что при предельном переходе к неограниченной усиливающей среде мы такие получаем неустойчивый режим стационарного отражения, причем этот результат не зависит ни от угла падения θ₁, ни от значения n₀.

Экспериментальное исследование отражения света от активных сред представляет большой практический интерес. Возможность усиления света при его отражении от активных сред была, по-видимому, впервые указана в /11/, экспериментальное измерение коэффициентов отражения для усиливающих сред проводилось в /5,6/. Эти измерения показали, что максимум коэффициентов отражения соответствует критическому углу полного отражения θ_c, причем величина максимума может достигать значения порядка 10³ /6/.

Рассмотренная выше теория стационарного отражения плоских волн не может объяснить ни появления максимума, ни его величины. Оценка максимально возможных коэффициентов отражения для θ₁=θ_c дает величину порядка 6 /6/, что на два порядка меньше значений, полученных экспериментально.

Для применения нестационарной теории необходимо существова-

ние сильного отражения преломленной волны на некоторой глубине в усиливающей среде. В экспериментах /5,6/ необходимое отражение может быть обусловлено неоднородностью усиливающей среды. Эта неоднородность может быть вызвана тепловым нагревом среды от излучения накачки /12/. Тогда при условии dn₂/dt>0, где Т - температура, полное отражение для определенного интервала углов падения происходит на некотором расстоянии z₀ от границы раздела пассивной и активной сред. В этом случае усиленная преломленная волна после отражения на глубине z₀ монет дать основной вклад в интенсивность отраженного света, причем максимальное значение коэффициентов отражения экспоненциально растет с увеличением z₀ /12/. К сожалению, знак производной dn₂/dТ в экспериментах /5,6/ неизвестен.

Другая возможная причина сильного отражения преломленной волны связана с неоднородностью мнимой части n₂. Действительно, распространение преломленной волны описывается эффективной электрической проницаемостью

где величины κ₊(z) и κ_-(2) описывают усиление и поглощение света в отражающей среде. κ₊(0)>κ_-(0). В работах /5,6/ инверсная населенность создавалась излучением накачки, падающим нормально на поверхность раздела пассивной и активной сред. Благодаря поглощению излучения накачки величина κ₊(z) экспоненциально убывает с ростом z, причем при z→∞ κ_->κ₊. В результате, как следует из (6), при θ₁=θ_c на некотором расстоянии от границы раздела ε_эфф обращается в нуль и преломленная волна испытывает полное отражение. Вне небольшой области, где |sin²θ₁-sin²θ_c|õ κ₊(0), отражением света на не однородноcтях j_mn₂ можно пренебречь. Такой механизм усиления отраженного света не зависит от знака dn₂/dt и, в принципе, может объяснить все основные особенности результатов экспериментов /5,6/. Для окончательного выяснения вопроса, разумеется, необходимо провести специально поставленные эксперименты.

5. Отражение плоских волн от поглощающих сред

Метод нахождения коэффициентов стационарного отражения плоских волн, описанный выше, применим, конечно, не только в случае усиливающих, но и поглощающих сред. Рассмотрим стационарное отражение от поглощающей среды с электрической проницаемостью ε=ε₂' +iε₂'', причем будем считать, что среда (1), из которой падает свет, также является поглощающей и имеет электрическую проницаемость ε=ε₁' +iε₁''. Ограничимся анализом наиболее интересного случая, когда ε₁'' > ε₂''.

Для определения k_2z как однозначной функции угла падения θ₁ достаточно задать фазу подкоренного выражения φ для θ₁=0. Очевидно, что при нормальном падении преломленная волна должна распространяться от границы раздела, а ее амплитуда в процессе распространения - экспоненциально затухать, поэтому

В дальнейшем мы будем для определенности считать, что ε₂''/ε₂₁'> ε₂''/ ε₂'. Тогда из (7) видно, что c увеличением угла падения θ₁ фаза φ при некотором угле θ_a определяемом из уравненения

sin²θ_a = ε₂''/ε₁'',

обращается в нуль, а затем становится отрицательной. Следовательно, в области θ₁>θ_a j_mk_2z<0 и амплитуда преломленной волны, имеющая re k_2z>0, экспоненциально растет с увеличением z. Этот экспоненциальный рост амплитуды поля не противоречит закону сохранения энергии, выражаемому уравнением

поскольку при θ₁>θ_a затухание преломленной волны вдоль поверхности раздела сред превышает максимально возможное затухание плоских волн в отражающей среде, определяемое величиной ε''₂. Иными словами, уменьшение потока энергии, переносимой преломленной волной параллельно границе раздела, происходит быстрее, чем это может быть обеспечено реальным поглощением среды (2). Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии поток энергии, переносимой волной нормально к поверхности раздела, должен в процессе распространения увеличиваться.

Для углов падения θ₁>θ_a вновь возникает вопрос о выборе преломленной волны. Как указывалось выше, метод предельного перехода выделяет ту преломленную волну, амплитуда которой убывает при z→∞. В соответствии с этим при θ₁<θ_a мы должны выбрать преломленную волну, идущую от границы раздела, а при θ₁>θ_a - преломленную волну, идущую к границе раздела. Следовательно, в области θ₁<θ_a для коэффициентов отражения справедливы обычные формулы Френеля, а в области θ₁<θ_a - формулы (3) и (4), в которых К₂₇ определяется выражением (7). Отсюда следует, что при θ₁>θ_a модуль коэффициентов отражения больше единицы. Это не противоречит, однако, закону сохранения энергии, поскольку для корректного анализа энергетического баланса необходимо рассмотреть отражение пучка и учесть краевые эффекты.

Для процесса стационарного отражения величина К_2z меняет знак при θ₁=θ_a, поэтому в этой точке коэффициенты отражения испытывают скачок и определены неоднозначно. Этот скачок существует лишь в предельной случае полубесконечной отражающей среды. ecли отражавшая среда имеет конечную толщину l, то размер области значений углов θ₁, в которой, осуществляется переход обычных формуя Френеля в формулы (3) и (4), определяется следующим выражением:

В пределе l→∞ размер переходной области обращается в нуль и коэффициенты отражения становятся разрывными функциями угла падения θ₁.

Рассмотрим, теперь случай ε₁''/ε₁'< ε₂''/ε₂', ε₂''<ε₁''. Из (7) видно, что c увеличением угла θ₁ от 0 до π/2 фаза φ монотонно растет, оставаясь все время в интервале (0, 3/2 π). Поэтому при всех углах падения j_mК_2z > 0 и коэффициенты отражения являются непрерывными функциями θ₁. В этом случае при θ₁>θ_a rek_2z<0, т.е. преломленная волна распространяется к граница раздела.

Таким образом, при стационарном отражении плоских волн от поглощающей среды принцип излучения Зоммерфельда и Мандельштама не выполняется в области θ₁>θ_a, что связано о особенностями распространения неоднородных волн в поглощающей среде.

Мы ограничились здесь рассмотрением основных особенностей стационарного отражения плоских монохроматических волн от усиливающей и поглощающей сред.

В принципе все задачи, связанные c отражением электромагнитных волн от пассивных сред, могут быть обобщены на случай усиливающих. Вcе полученные здесь в применений к световым волнам результаты в равной степени относятся к отражению скалярных звуковых волн от активной по отношению к звуку среде.

1. В.А.Кизель. Отражение света. М., Наука, 1973.

4. А.А.Колоколов. Письма в ЖЭТФ, 21, 660, 1975.

5. Б.Я.Коган, В.М.Волков, С.А.Лебедев. Письма в ЖЭТФ, 16, 144, 1972.

6. С.А.Лебедев, В.М.Волков. Б.Я.Коган. Оптика и спектроскопия, 35, 976, 1973.

7. В.Г.Веселаго. УФН, 92, 517, 1967.

9. Г.Н.Романов, С.С.Шакиджанов. Письма в ЖЭТФ, 16, 298, 1972.

10. Б.Б.Бойко, Н.С.Петров, И.З.Дживалдари. ЖПС, 18, 727, 1973.

12. Б.Б.Бойко, И.З.Джилавдари, Н.С.Петров. ЖПС, 22, 545, 1975, в сб. "Квантовая электроника и лазерная спектроскопия", Минск, Наука и техника, стр.449. 1974.