Голографический принцип позволяет зарегистрировать амплитудно-фазовое распределение монохроматического волнового поля на некоторой поверхности или в объеме в среде, где происходит его распространение. При этом регистрация может осуществляться на непрерывном либо дискретном множестве точек. Первый случай характерен для оптической голографии, а второй - радио и акустической. Непрерывная регистрация осуществляется путем использования физической опорной волны в среде, параметры которой меняются под действием интерференционного поля. Дискретная предусматривает использование

- восстановление зарегистрированного волнового поля во внешней области пространства "за голограммой", где отсутствуют источники поля ("внешняя задача голографии");

- восстановление зарегистрированного волнового поля во внутренней области пространства "до голограммы" и одновременное определение при необходимости неизвестных параметров среды, рассеивающих тел или источников ("внутренняя задача голографии").

Сформулированные выше основные задачи голографии охватывают практически все многочисленные и разнообразные ее применения. Возможность их математического и "физического" решения базируется на ряде общих теорем, формулированию и доказательству которых и посвящена настоящая работа. Однако этим не ограничивается смысл основных теорем: они позволяют правильно интерпретировать практически наблюдаемые закономерности, помогают выявить и оценить источники погрешностей, появляющиеся в процессе практической реализации и т.п. Оказалось, что многие из указанных теорем можно сформулировать для весьма общего случая так называемой линейной стационарной среды без пространственной дисперсии. Эта среда может быть анизотропной, активной (гиротропной), неоднородной и обладать временной дисперсией. Линейность же ее проявляется в линейности материальных уравнений связи (линейности связи индукции и напряженности поля).

Эта задача является наиболее типичной для голографии. К ней относятся такие частные направления как получение мнимых объемных изображений предметов, голографическая интерферометрия, голографические запоминающие устройства, голографическое кодирование плоских изображений и многие другие */.

1. Уравнении поля в линейной среде

Приведем некоторые сведения из электродинамики, которые понадобятся нам в дальнейшей.

Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд монохроматического поля в предположении, что временная зависимость определяется функцией exp(iw t), имеют вид:

где - амплитуды векторов напряженностей и индукций электрического и магнитных полей, а и - плотности сторонних электрических и магнитных токов, причем является величиной фиктивной, вводимой обычно по соображениям удобства математического анализа.

Для полноты системы уравнений поля к (1) следует добавить так называемые материальные уравнения или уравнения связи векторов с и с .В случае общей линейной среды они имеют вид:

где и - тензоры среды. Эти уравнения являются очевидным следствием соотношений:

которые справедливы для достаточно общей зависимости от времени. Если ввести какую-либо систему координат, характеризуемую в каждой точке пространства тройкой некомпланарных единичных векторов , то, учитывая правила умножения тензора на вектор /1/, получим для

Зависимость тензоров и от частоты w учитывает временную дисперсию среды. Зависимость же от радиус-векторов и учитывает пространственную дисперсию среды и ее неоднородность. При отсутствии пространственной дисперсии вместо (2) и (4) имеем:

В общем случае анизотропной, активной и диссипативной среды тензоры и можно представить в виде

где ’, ’ - симметричные, вещественные тензоры проницаемости; - антисимметричные, вещественные тензоры гирации, учитывающие активность среды; - симметричные, вещественные тензоры потерь.

Таким образом, в общем случае и - комплексные несимметричные и неэрмитовые тензоры, при отсутствии потерь в среде (=0) тензоры и становятся эрмитовыми.

В дальнейшем нам понадобится понятие транспонированной среды, которая характеризуется транспонированными тензорами ^T и ^T. Транспонирование соответствует перестановке индексов компонент, т.е. e ^Т_iк=e _кi, m ^Т_iк=m _кi Следовательно, . Изменение знака перед определяется тем, что тензор гирации антисимметричен. Активность среды чаще всего

обусловлена постоянным магнитный полей при этом транспонирование эквивалентно изменению направления на обратное (замене на -). Следует отметить, что у известных сред либо = 0, либо = 0; среды, одновременно являющиеся и гироэлектрическими и гиромагнитными, пока не обнаружены /2/. Однако это не мешает нам рассматривать общий случай ¹ 0, ¹ 0.

При наличии поверхностей разрыва непрерывности параметров и в точках этих поверхностей уравнения (1) должны быть заменены граничными условиями:

где индексы соответствуют двум средам, разделенным поверхностью разрыва, a - вектор нормали, направленный во вторую среду. Если одна из сред - идеальный проводник, электрический или магнитный, то вместо (8) имеем:

а вместо (9) соответственно,

где , - плотности поверхностных токов.

Лемма Лоренца для общей линейной среды может быть получена по аналогии с выводом для изотропной среды /2/.

Введем в рассмотрение вспомогательное поле , порождаемое токами в транспонированной среде. Тогда

В результате для точек пространства, где и непрерывные находим:

Легко видеть, что при отсутствии пространственной диспероч¹, когда справедливо (5), первые две скобки обращаются в нуль и мы получаем обобщенную лемму Лоренца

2. Существование и единственность решения внешней задачи голографии

Попытаемся сформулировать требования к голографической записи поля в линейной среде, характеризуемой тензорами и , которые обеспечивают существование и единственность решения внешней задачи восстановления. Теорема существования и единственности, доказываемая виде, имеет много общего с аналогичной теоремой, доказываемой в электродинамике, обычно, для более частного случая линейной, однородной и изотропной среды /2/.

колебания, когерентных с волновым процессом, отличающихся между собой функциями распределения фазы на p /2.

Доказательство.

U² = А²₀ + A² + 2А₀АСоs(y - y ₀) (18)

Для доказательства достаточности условия леммы предположим, что регистрируется интерференционное поле для двух опорных колебаний U₀₁ и U₀₂, когерентных с U, фаза которых отличается на величину p /2, а амплитудные функции совпадают, т.е. А₀₁ = А₀₂ = А₀; y ₀₂ = ± p /2 Согласно (18) будем иметь пару голограмм:

Рассматривая (19) как систему уравнений относительно А и y , получим

значений углов y _1,2, определяемых (22), следует добавить к y ₀₁ сов падающее значение. Формулы (20)-(22) однозначно определяют величины А и y . Следовательно, условие леммы достаточно. Две записи (19) оправданно называть квадратурными голограммами; этим термином мы будем в дальнейшем пользоваться.

Обратим внимание на то, что квадратурные голограммы принципиально позволяют найти функции А и y без каких-либо ограничений как самих функций, так и функций А и y .

Для доказательства необходимости условия леммы допустим, что опорные колебания U₀₁ и U₀₂ отличаются только амплитудными функциями А₀₁ и А₀₂ (y ₀₁ = y ₀₂ = y ₀). Тогда получим голограммы:

Рассматривая (23) как систему уравнений, можно однозначно определить функции А и Cos(y - y ₀). Что же касается фазовой функции y , то ее нельзя определить однозначно по известному значению косинуса. Следовательно, условие леммы и необходимо.

U= А₀АСоs(y -y ₀₁); V = А₀АСоs(y -y ₀₂) (24)

Достаточно принять A₀₁ = А₀₂ и y ₀₂ = y _{01 ± p} /2. Тогда

Некоторые схемы получения квадратурных голограмм и их использования для физического восстановления волн приводятся в работах /3-5/.

Предположим теперь, что источники регистрируемого поля Е ,Н расположены внутри конечной области V_вн (рис.3). Окружим эту область замкнутой поверхностью S. Среда внутри S может быть

неизвестной, а вне S задана (либо в виде данных о параметрах и , либо "физически"). Как внутри, так и вне поверхности S могут существовать поверхности разрыва непрерывности параметров и , в том числе границы идеально проводящих тел. Тогда имеет место следующая теорема существования и единственности.

Рис.3. К Доказательству теоремы I.

Для возможности полного восстановления монохроматического волнового поля в любой точке вне замкнутой поверхности S в линейной стационарной среде без пространственной дисперсии, необходимо и достаточно зарегистрировать на поверхности S две пары квадратурных голограмм.

Доказательство. Для доказательства достаточности приценки обобщенную лемму Лоренца (15) к внешнему объему V, ограниченному поверхностью S, поверхностями идеально проводящих тел S_i и сферической поверхностью S_R достаточно большого радиуса R (рис.3).

Интегрируя (15) по объему V, , получим

где - вектор внешней нормали к поверхности SS = S+ S S_i + S_R. По отношению к поверхности S и S_i, взятым в отдельности, нормаль будет внутренней.

Предположим теперь, что вспомогательное поле создается только электрическим током , т.е. элементарным диполем, расположенным в объеме V_R в точке с радиусом-вектором , и удовлетворяет на поверхности S и тех из поверхностей S_i, которые соответствуют идеальным электрическим проводникам, граничному условию . На поверхностях же S_i, соответствующих идеальным магнитным проводникам, пусть выполняется граничное условие . Кроме того, положим R® ¥ и учтем, что в любой реальной среде поля и при r® ¥ убывают быстрее, чем 1/r. Тогда получим

где ’ - радиус-вектор точки интегрирования; - вспомогательное магнитное поле электрического диполя в транспонированной среде, при условии выполнения перечисленных выше граничных условий.

Полагая теперь и и меняя местами и в граничных условиях, найдем

Введем на поверхности S систему координат, характеризуемую в каждой точке единичными векторами и , касательными к поверхности S, образующими вместе с вектором внешней нормали (вектором ) правовинтовую тройку. Тогда соотношения (27) и (28) перепишутся в виде:

где E_a и Н_а - означают компоненты векторов и в направлении вспомогательного вектора . Придавая соответствующие направления, можно определить все компоненты векторов и . Соотношения (29) и (30) показывают, что в рассматриваемом общем случав поле в любой точке вне поверхности S полностью определяется касательной составляющей любого из векторов или на этой поверхности. Если, например, известно поле , то поле определится из соотношения , в обратном случае поле определится из соотношения .

Учитывая (6) можно записать эти соотношения в виде равенств:

которые представляют собой системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных компонент Н_к или Е_к. Справа фигурируют соответствующие компоненты ротора. Далее имеем:

Согласно лемме 1, для определения функций А^Эt , А^Э_ℓ, y ^Эt , y ^Э_ℓ необходимо и достаточно зарегистрировать две пары квадратурных голограмм на поверхности S. Тоже относится и к функциям, определяющим магнитное поле. А так как достаточно определить одно из

касательных полей: электрическое или магнитное, то условие теоремы выполняется. Мы доказали, таким образом, достаточность условия теоремы для существования решения. Докажем теперь, что при этом обеспечивается и единственность восстановления поля вне S.

С помощью квадратурных голограмм функции А^Э_ℓ,t и y ^Э_ℓ,t определяются однозначно, следовательно, однозначно определяются компоненты Е_ℓ, Еt на S. Они, в свою очередь, однозначно определяют поле в любой точке вне S. Действительно, допустим, что некоторому распределению Е_ℓ и Еt по S соответствует два разных поля и . Оба эти поля должны удовлетворять соотношению (29), где справа стоят одни и те же функции Е_ℓ и Еt . После вычитания справа получим нуль (в силу линейности оператора (29), следовательно, . Индукция однозначно определяется через соотношением . Вектор в некоторых средах неоднозначно связан с вектором (явление гистерезиса). Однако, если напряженность поля такова, что среду можно считать линейной, то при этом обеспечивается и однозначная связь векторов и . Те же рассуждения справедливы и в случае определения компонент Н_ℓ, Нt на S.

Необходимость условия теоремы доказывается элементарно. Предположим, что регистрируется не четыре голограммы, а только три. Тогда какая-либо из функций А, y определится неоднозначно и решение задачи восстановления не будет единственным. Отсюда и следует необходимость условия теоремы для полного восстановления.

В заключение мы поясним необходимость ограничения средами, свободными от пространственной дисперсии. Если среда обладает пространственной дисперсией, т.е. имеет место, по крайней мере, одно из соотношений (4), то формулы (15), (26)-(30) перестают быть действительны и, следовательно, условие теоремы не выполняется. Покажем это в предположении, что имеет место пространственная дисперсия электрического поля. В этом случае мы обязаны исходить из соотношения (14). При интегрировании по объему V_R появится дополнительное слагаемое

не равное нулю и зависящее от распределения вектора по объему V_R. В самом деле, учитывая (4), а также тот факт, что определяется в транспонированной среде, нетрудно привести (35) к виду

Так как объемы V и V_R не совпадают, то даже при симметрии функций e _ik по переменным и ' интегралы не равны тождественно нулю.

Таким образом, при наличии пространственной дисперсии, строго говоря, поле должно регистрироваться не только на поверхности S, но и во всех точках объема V_R.

Несмотря на это, теорема 1 может быть использована для приближенного решения внешней задачи восстановления в голографии и при наличии пространственной дисперсии среды. Это следует из того факта, что практически функции e _ik(w ,,’) и m _ik(w ,,') быстро убывают при увеличении расстояния между точками с радиусами-векторами и ’. Иначе говоря, индукция в точке определяется напряженностью поля в этой точке и в точках, принадлежащих лишь некоторой ее окрестности с эффективным "радиусом дисперсии". Этот радиус всегда можно выбрать таким, чтобы влиянием точек, не принадлежащих окрестности, можно было пренебречь. Следовательно, если точка наблюдения с радиусом вектором удалена от поверхности S на расстояние большее, чем эффективный "радиус дисперсии", то значение функции q() будет пренебрежимо малым и поле по-прежнему будет определяться лишь касательными составляющими , либо на S, т.е. потребуется зарегистрировать две пары квадратурных голограммы на поверхности S.

Следствие 1. Для внешнего физического восстановления поля в линейной среде необходимо и достаточно восстановить во всех точках поверхности S касательную составляющую электрического или магнитного поля.

источника: неоднородные слои с записью интерференционного поля, модулированные отражающие поверхности и т.п. Тот факт, что вне поверхности S возникнет полз, которое имело место при регистрации, следует из единственности решения внешней задачи восстановления. Рассматриваемое; следствие является основным теоретическим положением голографии для линейных стационарных сред.

Ясно, что идеальным был бы такой способ, который позволяет непосредственно получить в каждой точке поверхности S требуемое значение амплитуды и фазы касательных составляющих поля. На практике приблизиться к такому способу удается лишь в диапазоне достаточно длинных волн (радио, акустика) путем использования решетки управляемых излучателей. Регулируя амплитуду и фазу питания излучателей и выбрав надлежащим образом их поляризацию, можно с большей степенью точности реализовать требуемое распределение касательных составляющих поля на S. Однако наибольший интерес физическое восстановление представляет для оптического диапазона, где такой способ практически не удается реализовать и приходится идти по пути использования пространственных модуляторов света. Чаще всего их роль выполняют неоднородные; слои с записью интерференционного поля, т.е. голограммы в узкой смысле этого слова. При дифракции восстанавливающей волны на таких слоях на границе возникает распределение касательных составляющих поля, которое содержит требуемое распределение в качестве полезной компоненты. Наиболее выражена эта компонента в случае толстых слоев "объемных голограмм"). Естественно, что более просто решается задача восстановления одного фазового распределения касательных составляющих. Однако, это допустимо лишь при равномерности амплитудного распределения. Этим отчасти можно объяснить широкое использование в голографии голограмм Френеля, но не Фурье.

Требования теоремы 1 на практике обычно выполняются лишь частично, что является причиной погрешностей восстановления зарегистрированного поля. Чаще всего они вызываются следующими факторами:

- игнорированием векторного характера поля;

- использованием одной топографической записи вместо пары

квадратурных;

- незамкнутостыо поверхности регистрации;

- дискретностью голограммы.

- неполная когерентность и монохроматичность полей;

- несовершенство регистрирующих сред;

- дифракционные явления в модуляторе восстанавливающей волны и другие.

Следствие 2. Для математического восстановления поля , вне поверхности регистрации S необходимо найти поля и , создаваемые вспомогательными диполями в транспонированной среде, а затем воспользоваться интегральными представлениями поля через касательные составляющие на S, которые определяются с помощью голограммы. Наиболее простые выражения для нахождения поля , , имеющие вид (27), (28), получаются в том случае, когда вспомогательные поля удовлетворяют нулевым граничным условиям на S и S_i. Однако при этом сами вспомогательные поля определить наиболее трудно, в особенности, в анизотропной среде, так как приходится решать краевую задачу дифракции сферической волны на идеально проводящих поверхностях, совпадающих с S и S_i. Максимально просто вспомогательные поля определяются в однородном пространстве, когда налагается лишь требование, подобное условию излучения на бесконечности, т.е. выделяются волны, уходящие от диполя, но не сходящиеся к нему. Но зато при этом интегральные представления для полей в точке наблюдения вне S становятся более сложными, чем (27) и (28). Так как теперь на S, то согласно (26), получим

где ^Э_b, ^Э_b, ^M_b, ^M_b - поля, создаваемые электрическим и магнитными диполями в безграничной транспонированной среде. Важно

подчеркнуть, что представления (35), (36) справедливы только в случае отсутствия вне S идеально проводящих тел с поверхностями S_i. Выражения (35), (36) менее удобны, чем (27), (28), так как в них фигурируют касательные составляющие векторов и на S одновременно. Если путем голографирования найдено распределение на S только одного из. полей: электрического либо магнитного, то второе может быть найдено с помощью соотношений (31), учитывая которые, можно записать (35) и (36) в виде

где через и обозначены тензоры с матрицами, обратными матрицам и .

Методика определения полей излучения диполей в произвольной линейной анизотропной и однородной среде изложена в работе /6/, которую можно использовать для нахождения вспомогательных полей, фигурирующих в (35)-(38).

Особый практический интерес представляет случай, когда поверхность регистрации S есть бесконечная плоскость и вне S (для конкретности в правом полупространстве) среда однородна и отсутствуют идеально проводящие тела. Этот случай наиболее близок к типичным реальным условиям голографирования. В этом случае можно воспользоваться соотношениями (27) и (28), определив вспомогательные поля в предположении, что плоскость S есть поверхность идеального проводника: электрического или магнитного. В случае анизотропной среды это можно сделать, используя методику, изложенную в Ввиду громоздкости получающихся формул и необходимости конкретизации тензоров и мы не .будем рассматривать здесь случай анизотропной среды и ограничимся лишь случаем изотропной среды. Для простоты рассмотрим получение точных интегральных представлений электрического поля. Формулы для магнитного поля легко получить по аналогии. Пусть поверхность регистрации S есть плоскость z=0, а правое

полупространство соответствует Z > 0. Тогда соотношение (29) запишется в виде

где магнитное поле вспомогательного диполя, расположенного в точке наблюдения, должно определяться на S в предположении, что плоскость является идеальным электрическим проводником. Поле вспомогательного электрического диполя, расположенного в точке с координатами х,у,z. в безграничной однородной и изотропной среде, ориентированного вдоль вектора , определяется формулами /2/

Координаты х,у,z соответствуют точке наблюдения. Заменяя идеально проводящую плоскость изображением диполя, получим:

При подстановке выражений (41)-(44) в (39) необходимо положить

Z’® 0. В результате получаем следующие точные интегральные представления для компонент поля при Z > 0:

При r ₀ >> l слагаемым 1/ikr ₀ в (45)-(47) можно пренебречь. Если, кроме того, область D плоскости z = 0, за пределами которой можно пренебречь значениями E_х(х’,у’,0) и E_y(х’,у’,0), имеет ограниченные размеры, то в точках наблюдения, для которых

Таким образом, при сделанных предположениях точные формулы (45)-(47) переходят в приближенные представления Гюйгенса-Кирхгофа. В оптике это соответствует рассмотрению параксиальных пучков.

Если голографическим методом найдены составляющие E_X и E_У на плоскости z = 0, то по формулам (45)-(50) можно полностью рассчитать поле в любой точке z > 0.

К сожалению, расчет поля по этим формулам требует значительных затрат машинного времени. В этой связи целесообразно использовать также эквивалентные спектральные представления поля, удобные для применения алгоритма быстрого преобразования Фурье. Подставляя в (48)-(50) разложение сферической волны в интеграл Фурье

и выполняя дифференцирование, получим для любой из компонент Е_X, Е_У, E_Z при Z > 0 представление

где e (w _x,w _y) - пространственно частотный спектр компоненты на плоскости z = 0, определяемый формулами

3. Дискретизация поля при голографической регистрации

При рассмотрении теоремы существования и единственности решения внешней задачи голографии мы предполагали, что используется непрерывная голографическая регистрация касательных составляющих поля на поверхности s . На практике может применяться дискретная регистрация в отдельных точках поверхности S . Такая регистрация характерна для радиоголографии и акустической голографии. В оптическом диапазоне с дискретизацией мы сталкиваемся главным образом при получении математических голограмм, синтезируемых на вычислительных машинах.

Восстановление поля по дискретным голограммам эквивалентно восстановлению по дискретным отсчетам его касательных составляющих на поверхности S и является процессом интерполяции. Этот процесс неизбежно сопровождается погрешностью, которая зависит от числа и расположения точек отсчета, а также алгоритма восстановления. Поэтому первостепенное значение имеет вопрос о сходимости интерполяционного процесса, т.е. о возможности получения сколь угодно малой погрешности аппроксимации волнового поля в любой точке пространства путем увеличения числа точек отсчета на поверхности S. Ниже мы рассмотрим теорему, которая определяет общие требования к

Будем в дальнейшем предполагать, что s есть неограниченная поверхность, не обязательно плоская. Можно считать, что замыкание поверхности происходит на бесконечности. Условимся для конкретности осуществлять замыкание слева.

Введем на S координаты x ,h (рис.4) и предположим, что поле на S имеет интегрируемый с квадратом финитный пространственно-частотный спектр, отличный от нуля лишь в области Dw . Это означает, что любая из компонент вектора E(x ,h ) может быть представлена в виде

В дальнейшем нам удобнее будет пользоваться более компактной записью (59)

где вектора и имеют компоненты {x ,h } и {w x ,w h }, соответственно, а e () - пространственно-частотный спектр компоненты поля такой, что e Î L₂(Dw )

Если S - плоскость z = 0, то согласно (55),можно написать более общее представление

Из (61) и (62) следует, что если спектр поля отличен от нуля только в области Dw на плоскости z = 0, то это свойство сохраняется для любой другой плоскости z = Const, z > 0. Это легко объяснить, физически учитывая, что (61) есть разложение поля по плоским волнам. Ограниченность области Dw соответствует ограничению углов, которые образуют направления распространения плоских волн с осью z. Эти углы, естественно, не зависят от z. Обозначим множество точек отсчета при регистрации дискретных голограмм через М. Имеет место следующая теорема.

Для возможности сколь угодно точного восстановления поля в любой точке пространства вне замкнутой поверхности S, включая границу, с помощью дискретных голограмм в линейной стационарной среде без пространственной дисперсии необходимо и достаточно

зарегистрировать на S две пары квадратурных голограмм, выбирая множество M точек отсчета {_k} так, чтобы система функций

{exp[-i_k]} была полной в пространстве L₂(Dw ); для любой конечной области Dw подобные множества точек отсчета существуют.

Доказательство. Согласно лемме 1, для однозначного определения касательных составляющих поля (либо ) на поверхности S в точках отсчета необходимо и достаточно использовать две пары дискретных квадратурных голограмм. Таким образом, доказательство теоремы сводится по существу к доказательству второй ее части, касающейся выбора множества точек отсчета M. Предположим, что дискретные значения касательных составляющих поля на S: Et (_k) и E_ℓ(_k) определены по дискретным голограммам с помощью формул (20)-(22) или (24), (25). Введем некоторое конечное подмножество точек отсчета M_N Î М M_N ® M при N ® ¥ ) и рассмотрим достаточность условия теоремы. Для этого аппроксимируем функцию e () в области Dw суммой

определяя коэффициенты a_k из условия минимума среднеквадратичной погрешности приближения, т.е.

Решение задачи (64) всегда существует для любого конечного N и определяется путем подстановки (63) в (64) и приравнивания нулю частных производных по всем a_k*, где звездочка означает комплексное сопряжение */

*/ Так как a_k в общей случае комплексные, то следует дифференцировать по a_k и a_k*. Однако это приводит к эквивалентным системам уравнений, поэтому достаточно дифференцировать по a_k*.

и учитывая, что правые части (65) равны EfPn) , найден

Подставляя (63) в (60), получим интерполяционный многочлен

где коэффициенты a_k определяются путем решения системы линейных алгебраических уравнений (67), в общем случае комплексный. Полагая в (68) = _n и учитывая (67), находим, что E_N(_n) = E(_n) n=1,2,...N.

Цели система функций {exp[-i_k]} полная относительно L_k(Dw ), то при n® ¥ суммы (65) сходятся в средней к e (), осуществляя наилучшее приближение в метрике этого пространства.

Так как ядро exp[i) равномерно ограничено при всех и , то сходимость e _N() в среднем к e () означает равномерную сходимость E_N() к E()на всей поверхности S. Кроме того, имеет место и наилучшее приближение в среднем E_N() к E() на S. Последнее следует из (64) и равенства Парсеваля, примененного к разности E() – E_N(), a именно

В этом смысла построенный алгоритм (67), (68) восстановления

касательных составляющих на s no их дискретным отсчетам на заданном множестве точек (_k) можно считать оптимальным, так как он обеспечивает Минимум погрешность аппроксимации.

Аппроксимируя касательные составляющие Et () и E_ℓ() вектора на S с помощью рядов вида (68) и подставляя в (29), получим

Коэффициенты a_k^{(t ,ℓ)} определяются из решения систем линейных уравнений

Так как при ядра H^Эt _,ℓ,b равномерно ограничены по модулю, то, учитывая равномерную сходимость E_N() к E(), можно утверждать, что суммы (70) также равномерно сходятся к E_a() при N® ¥ . Следовательно, многочлен (70) позволяет путем увеличения числа точек отсчета n сколь угодно точно восстановить поле в любой точке пространства вне поверхности S по дискретным отсчетам касательных составляющих. Таким образом, условие достаточности доказано. Одновременно мы построили оптимальный алгоритм внешнего восстановления поля по дискретным отсчетам, взятым на заданном множестве точек.

Необходимость условия ,теоремы доказывается проще. Предположим, что система {exp[-i_k]} не является полной. Тогда найдется такая функция y (w )¹ 0, принадлежащая L₂(Dw ), что имеют место равенства

Рассмотрим спектр , которому соответствует функция

В силу (73) , k=1,2,..., т.е. функции и Е() совпадают в точках отсчета. В остальных точках они отличаются. Следовательно, при отсутствии полноты по дискретный отсчетам можно восстановить две разные функции: и Е(), т.е. восстановление будет неоднозначный. Таким образом, полнота системы

{exp[-i_k]} необходима.

Остается доказать существование множеств {_k}, обеспечивающих полноту системы при любой форме конечной области Dw , которая может быть как односвязной, так и многосвязной. Для этого достаточно привести хотя бы один пример соответствующего множества. Заметим предварительно, что если система полная в некоторой области w , включающей в себя Dw (Dw С w ), то она полная и в Dw . Выберем в качестве w прямоугольник, содержащий в себе Dw , причем w x Î [-w _m1,w _m1], w h Î [-w _m2,w _m2], где w _m1 и w _m2 - максимальные пространственные частоты в спектре e (w ) по осям x и h . Определим отсчетные точки координатами x _r=d₁·r, h _S=d₂·S, r,S=±1; ±2,..., где d_{1£ p} /w m₁, d_{2 £ p} /w m₁ - шаг дискретизации по осям x и h . Система функций {exp[-i(x _{rw x} +h _{Sw h} ]} будет полной в замкнутом прямоугольнике, так как системы {exp[-ix _{rw x} ]} и {exp[-ih _{Sw h} ]} являются полными на отрезках [-w _m1,w _m1],

[-w _m2,w _m2], соответственно. Следовательно, множество точек отсчета с координатами x =d₁r и h =d₂S обеспечивает полноту системы в области Dw .

Следствие 1. При дискретной голографической регистрации поля на поверхности s математическое восстановление его в любой точке пространства вне этой поверхности может быть осуществлено двумя способами: 1) компоненты поля восстанавливаются во всех

точках поверхности S по дискретным отсчетам с помощью формул (67) и (68), а затем используется интегральное представление (29); 2) поле в произвольной точке вне S определяется по формулам (70)-(72) непосредственно через отсчеты, сделанные; на поверхности регистрации, для восстановления же поля в произвольных точках поверхности s используются формулы (67), (68). Хотя выше мы отметили представление (29), фактически для внешнего восстановления поля по дискретным отсчетам могут быть использованы любые его интегральные представления через касательные составляющие на поверхности регистрации: (29), (37), (45)-(47) и т.п.

Рассмотрим применение сформулированных выше способов восстановления в наиболее важном для практики случае плоской поверхности s и однородного и изотропного полупространства. В этом случае при восстановлении по первому способу целесообразнее определять не компоненты поля Е_Х(х’,у’,0), E_y(x’,y’,0) по дискретным отсчетам, а их спектры по формулам

где в соответствии с (67) коэффициенты а^(x)_k, а^(y)_k определяются из решения систем

Подставляя рассчитанные по (75)-(78) функции e _xN и e _yN в (55) и (58) к применяя алгоритм быстрого преобразования Фурье, можно вычислить все три компоненты поля Е_x, Е_y, E_z в любой точке

правого полупространства, включая и плоскость регистрации z = 0. Аналитические выражения функции Q(х’,у’) могут быть получены для многих областей Dw Формулы (70)-(72) для восстановления поля по второму способу проще всего получить, подставляя спектральные функции (75), (76) в (61), (62) и учитывая (58). В результате будем иметь при Z ³ 0

Коэффициенты a^(x,y)_k по-прежнему определяются решением системы (77).

Функции F, Ф₁, и Ф₂ связаны дифференциальными соотношениями

¶ Ф1	=-	¶ F		¶ Ф2	=-	¶ F	(85)
¶ z		¶ x		¶ z		¶ y

Наличие корня квадратного в показателе степени в (84) существенно затрудняет получение аналитических выражений для этих функций. Если, однако, Dw есть круг радиуса Rw , то имеем:

Ф₁(x.,y,z) = Ф₁(x,y,z)

где J₀(х), J₁(x) - функции Бесселя.

Второй способ восстановления особенно удобен в тех случаях, когда удается получить простыв аналитические выражения для функций F, Ф₁, и Ф₂. В некоторых частных случаях можно для этого воспользоваться приближенными представлениями интегралов (82)-(87). Так, например, при w ²_x+w ²_y£ k², что часто выполняется на практике, полагая , нетрудно выразить эти функции через интегралы Френеля, если область Dw состоит из прямоугольников. При вычислении на ЭВМ можно также использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Следствие 2. Физическое восстановление поля по дискретным отсчетам касательных составляющих может быть осуществлено путем создания на поверхности S интерполяционных распределений составляющих поля или , найденных по формулам типа (67), (68). В случай плоской поверхности s процесс интерполяции (68) легко реализуется средствами аналоговой оптики. Схема, выполняющая эту операцию для одной поляризации, показана на рис.5. При необходимости восстановления двух поляризаций (Е_Х и Е_У) можно поместить две подобные схемы в плечи интерферометра.

Во входной плоскости Р₁ устанавливается транспарант, пропускающий свет лишь в отдельных точках с координатами x’_k, y’_k (для простоты мы не учитываем здесь элементарных масштабных преобразований, которые могут потребоваться на практике). Пропускание транспаранта в точке (x’_k,y’_k) должно быть сделано равным a^(x)_k или a^(y)_k, где a^(x)_k, a^(y)_k определяются путем решения систем (77).

Диафрагма, размещенная в частотной плоскости Р₂, имеет отверстие, форма и размер которого соответствуют области Dw . Таким образом, схема реализует функции Q(-_k). Если когерентный линейно поляризованный свет освещает весь входной транспарант, то в выходной плоскости P₃ распределение амплитуды будет пропорционально E_xN() или E_yN(). В результате за плоскостью Р₃ восстановится поле, соответствующее зарегистрированной волне. Если поле в выходной плоскости зарегистрировать голографическим методом, то получим непрерывную голограмму, оптимальную с точки зрения минимума погрешности интерполяции поля на плоскости регистрации S для фиксированного множества точек отсчета.

Замечание 1. Теорема 2 может быть доказана и для случая конечной замкнутой поверхности S, если ввести на S периодические координаты и рассматривать функцию E() как периодическую

Замечание 2. Нетрудно указать один широкий класс множеств точек отсчета (вообще неравноотстоящих), обеспечивающий полноту системы {exp[-i_rS), r,S = 0, ±1. ±2,..., относительно пространства L₂(Dw ), где Dw - прямоугольник со сторонами [-w _m1,w _m1], [¾ w _m2,w _m2]. Этот класс определяется условиями

Дискретизация, определяемая условиями (68), является асимптотически равномерной с шагами d₁ и d₂ по осям x и h соответственно.

В частном случае равномерной дискретизации с d₁=p /w _m1 и d₂=p /w _m2 функция Q() обладает свойством

где d _kn - символ Кронекера.

В результате вместо системы (67) получаем равенства

а многочлен (68) обращается в известный ряд Котельникова для функций двух переменных. Таким образом, полученное нами представление (67), (68) является обобщением ряда Котельникова на случай произвольной формы области Dw и неравномерной дискретизации.

Замечание 3. Алгоритмы восстановления поля по дискретным отсчетам (68), (70) оптимальны при фиксированной системе точек отсчета {_k}. Дальнейшая оптимизация возможна путей специального выбора этой системы (способа размещения точек отсчета). Этот вопрос затрагивался в ряде работ (например, /7/). В случае роспределения с "полосовым спектром" можно уменьшить частоту дискретизации /8/.

Замечание 4. Развитый выше аппарат интерполяции может быть, в частности, использован для восстановления интенсивности интерференционного поля (18) по дискретным отсчетам. В данной случае спектральная область Dw состоит из трех площадок, покрытых двойной штриховкой на рис.6. Для упрощения вычисления функции Q(_k) целесообразно использовать область w ,É Dw , состоящую из трех прямоугольников (рис.6).

Подставляя это выражение в (77),можно вычислить коэффициенты a^(x,y)_k, по которым определяется поле в любой точке внешнего пространства, включая плоскость регистрации. Следует отметить, что интерполяция рядом Котельникова соответствует в данном случае использованию области ^(k)w в виде прямоугольника со сторонами

[-w _0x - _{D w 2x},w _0x + _{D w 2x}] и [-w _0y - _{D w 2y},w _0y + _{D w 2y}] т.е.

Использование функций (90) проще с точки зрения вычислений, но дает худшую сходимость процесса интерполяции, так как совершенно не учитывает формы области Dw (обращения в нуль спектра внутри прямоугольника ^(k)w ).

4. Принцип взаимности в голографии

Предположим, что голографическая запись поля осуществляется с физической опорной волной. Согласно (18), интенсивность скалярного интерференционного поля симметрично зависит от распределений амплитуды как сигнальной, так и опорной волн в точках регистрации. Эта тривиальная закономерность носит, на самом деле, весьма общий характер и приводит к своеобразному принципу взаимности в голографии,

Голографическая запись монохроматического волнового поля ₁, ₁, с когерентной опорной волной ₂, ₂ в произвольной линейной среде является одновременно голографической записью поля ₂, ₂ с опорной волной ₁, ₁.

Доказательство. Прежде всего, ясно, что если лемма справедлива для непрерывной записи, то она справедлива и для дискретной записи (и наоборот). Поэтому не требуется различать эти два случая. Согласно теореме 1, полная голографическая запись поля в линейной среде включает в себя в общем случае четыре голограммы - квадратурные записи касательных компонент Еt , Е_ℓ на поверхности регистрации. Эти записи определяются величинами:

Из (91) видно, что регистрируемые величины V² и U² одинаково зависят от компонент первого и второго полей, откуда и следует справедливость леммы.

Следствие 1. Для полного физического, либо математического восстановления поля ₁, ₁ (₂, ₂), записанного на поверхности S с опорной волной ₂, ₂ (₁, ₁), необходимо и достаточно задать на этой поверхности касательные составляющие поля ₂, ₂ (₁, ₂). Это замечательное свойство голограмм уже давно нашло практическое применение в ряде задач и устройств. Можно, например, указать следующие его приложения: ассоциативная голографическая память Габора, согласованные голографические фильтры для идентификации изображений, коррекция индикатрисы излучения лазеров, коррекция объективов с .помощью голографических фильтров и другие.