Рассмотрим теорию простейших фазовых и амплитудных динамических объемных голограмм. Пусть на границу среды, изменяющей комплексную диэлектрическую проницаемость под действием светового поля,, падают под углами ± q к нормали две плоские монохроматические волны с амплитудами С₁(0) и С_-1(0). Предполагается, что обе волны поляризованы нормально к плоскости падения и имеют одинаковую частоту w . При этих условиях распространение света в среде можно описать стационарным волновым уравнением для амплитуды напряженности электрического поля Е

Ñ ²Е + к²_0e (Е) = 0 (1)

где к₀=w /с - волновое число падающего излучения, e =e ₀+D e (e) - комплексная диэлектрическая проницаемость среды, причем | D e (Е)| <<| e _0| . Примем, что e ₀=1, оси координат x и y

направим вдоль поверхности среды, ось z - ортогонально этой поверхности, x₀z - плоскость падения волн. Малость изменения диэлектрической проницаемости и периодичность условий на границе голограммы позволяет искать решение уравнения (1) в виде

где c_n(z) - медленно меняющиеся функции от z, к_z=к₀Соsq и к_x=к₀sinq . Подставляя (2) в (1) и отбрасывая вторые производные от С_n no z, получим соотношение, связывающее амплитуды c_n(z) плоских волн, распространяющихся в голограмме:

При рассмотрении фазовых динамических голограмм зададимся следующими зависимостями D e (e):

Формула (4) соответствует случаю, когда динамическая решетка совпадает по положению с образующей ее интерференционной картиной, а (5) - случаю, когда решетка сдвинута относительно этой картины на четверть периода. В дальнейшем такие решетки будем называть соответственно, несмещенными и сдвиговыми. Подставляя (4) и (5) в (3) приравнивая нулю суммы коэффициентов при экспоненциальных членах с одинаковыми показателями, получим системы дифференциальных уравнений для амплитуд волн, распространяющихся в несмещенных и сдвиговых голограммах. Мы ограничимся рассмотрением в этих системах лишь нескольких уравнений, соответствующих наиболее интенсивным волнам. При этом в соответствии с важным для практики случаем, будем предполагать, что одна из падающих на голограмму волн значительно превосходит другую по амплитуде, например, | С₁(0)| >> | С_-1(0)| .

Принятые предположения позволяют при анализе несмещенных фазовых решеток рассматривать систему из трех уравнений для амплитуд волн С₁, С_-1, и С₃:

(6а)

(6б)

(6в)

где ; и ; j=1,2,3

Из уравнений (6) следует, что для усиления амплитуды слабой исходной волны С_-1 в несмещенных фазовых решетках необходимо участие волны высшего порядка (С_3¹ 0), причем эта волна вблизи границы голограммы как и волна С_-1, усиливается экспоненциально с показателем, равным a|С₁(0)| ²z. Однако из-за рассогласования фаз волн при распространении вглубь голограммы (третий член в левой части уравнения (6в)) амплитуда волны С₃, а вместе с ней и С_-1, эффективно усиливается лишь в слое толщиной z_{эф» L} ²/2l (L - период интерференционной картины). Следовательно, несмещенные фазовые динамические решетки ведут себя как тонкие, независимо от их действительной толщины. Стремление повысить эффективность таких голограмм путем перехода к более объемной записи за счет увеличения угла схождения пучков может привести лишь к противоположному результату, т.к. при этом уменьшается длина эффективного усиления z_эф. При достаточно больших q пучки в таких голограммах будут распространяться практически без обмена энергией.

Наиболее существенное отличие уравнений, описывающих распространение волн в сдвиговых голограммах, состоит в наличии членов, обеспечивающих непосредственный обмен энергией между исходными волнами. Это позволяет, пользуясь критерием подавления волн высших порядков */ ограничиться при достаточно больших q

*/ Данное условие получено в результате анализа системы из трех уравнений для С₁, С_-1 и С₃. Левая часть неравенства представляет собой оценку отношения амплитуд третьей и минус первой волн.

dc1	=-g | c-1| 2c1	(7а)
dz
dc-1	=g | c1| 2c-1	(7б)
dz

где g = b К²₀tgq . Знаки правых частей уравнений (7) задаются направлением сдвига решетки относительно интерференционной картины. В данном случае предполагается, что решетка смещена в сторону волны с, . Решение уравнений (7) дает следующее выражение для интенсивности j_-1(z):

Согласно (8) на достаточно большой глубине энергия сильной волны может практически полностью перейти к первоначально более слабой волне независимо от соотношения интенсивностей этих волн на границе голограммы. Ход изменения интенсивностей волн, рассчитанный с помощью формулы (8), изображен на рис.1 для случая D e _max=10^-5, j_-1(0)/j₁(0)= 10^-8, l =7·10^-5 см. Там же представлено распределение глубины модуляции диэлектрической проницаемости в объеме голограммы, определяемое соотношением

Видно, что D e (z) имеет максимум, ширина которого D z определяет физическую толщину динамической голограммы и может быть приближенно оценена как D z» 3l /D e _max. Оценка коэффициента усиления по интенсивности слабого пучка в слое, прилегающем к границе голограммы, дает

где D n(e) - характерное изменение показателя преломления среды под действием света. Подставляя в (9) l =7·10^-5 см, cosq =1 и типичные для динамических голограмм значения D n(Е)=10^-5¸ 10^-4, находим, что начальные коэффициенты усиления для динамических голограмм лежат в пределах от 2 до 20 см^-1, что на два-три порядка

Рис.1. Кривые, показывающие ход изменения интенсивностей волн j₁(z), j_-1(z) и распределение глубины модуляции диэлектрической проницаемости D e (z) в объеме голограммы.

где e ”₀=c ₀/k₀, c ₀ - начальный коэффициент поглощения (усиления) по интенсивности. Поглощающим средам соответствует c ₀>0, а усиливающим c ₀<0. Положим, как и прежде, | С₁(0)| >>| С_-1(0)| .

Условие объемности амплитудных динамических голограмм c /k₀sin^2q <<1 позволяет ограничиться рассмотрением уравнений для двух волн:

(11б)

*/ Изменение действительной части D e (Е), обусловленное изменением коэффициента поглощения, в (10) не учитывается, что физически соответствует случав совпадения w с центром спектральной линии.

действия амплитудной динамической решетки является изменение с глубиной отношения j_-1(z)/j₁(z), определяемого формулой

j-1(z)	=	j-1(0)	·	1 + bj1(0)	(12)
j1(z)		j1(0)		1 + bj1(z)

В усиливающих средах отношение (12) убывает, что соответствует подавлению усиления слабой волны. В средах с поглощением это отношение растет, увеличиваясь в пределе при z® ¥ в 1+bj₁(0) раз, однако амплитуда слабой волны c_-1(z) не усиливается ни при каких значениях b и j₁(z). Проведенное рассмотрение показывает, что использование амплитудных объемных динамических голограмм с записью в поглощающих и усиливающих средах не позволяет достигнуть эффективного преобразования световых пучков.