Для оценки качества голографического цикла запись-воспроизведение рассмотрено понятие пространственной параметрической кривой "отношение сигнал/шум - дифракционная эффективность - коэффициент нелинейности", индуцируемой в силу единой параметризации голографического процесса. Исследованы плоские параметрические кривые "коэффициент нелинейности - дифракционная эффективность" и "отношение сигнал/шум - дифракционная эффективность". Такой подход позволяет оценить предельно достижимое качество изображения для данного типа голограммы и класса регистрируемых объектов, а также оптимизировать условия записи и обработки. Применение метода проиллюстрировано на примере тонкой фазовой голограммы.

В то же время существует целый ряд дополнительных критериев качества реконструированного изображения, которые связаны только с геометрией схем записи и воспроизведения. Сюда можно отнести, например, пятнистость восстановленного изображения (см., например, §2 гл.12 /1/) и наложение на восстановленное изображение дифракционных пучков других порядков (см., например, /1,2/). Эти недостатки могут быть устранены путем соответствующего выбора схем голографирования и восстановления. Известно, например, что для

разделения восстановленных изображений достаточно, чтобы ширина полосы частот спектра голографируемого объекта не превышала 1/3 от величины пространственной несущей частоты голограммы /2,5/.

Можно выделить нелинейные искажения, присущие определенному типу голограммы /3,4/. Например, зависимость амплитудного коэффициента пропускания тонкой фазовой голограммы от экспозиции даже в случае регистрирующей среды с линейным откликом носит нелинейный характер. Изображение, восстанавливаемое с таких голограмм, может быть искажено как за счет наложения других, более высоких порядков, так и за счет амплитудной модуляции реконструируемой волны /4-6/.

В общем случав нелинейные искажения, присущие процессу восстановления голограмм, зависят от структуры голографируемого объекта. При переходе от голограммы двух плоских волн к голограмме произвольного объекта в реконструированном изображении возникают дополнительные, так называемые интермодуляционные искажения /3,4,6-10/. Иначе говоря, в случае произвольной объектной волны нелинейности, присущие процессу восстановления, приводят к появлению нежелательного реконструированного светового потока, дифрагированного в направлении волны 1-го порядка, Интермодуляционные искажения представляют собой причинно-обусловленные возмущения. Однако из-за специфического характера влияния этих искажений на восстановленное изображение их удобно рассматривать как интермодуляционный шум.

Свойства реальных регистрирующих сред и условия обработки голограмм накладывают свои ограничения на качество восстановленного изображения (см., например, §5 гл.10 /1/), из которых наиболее известными являются шум зерна фотографического материала (см., например, §3 гл.12 /1/) и нелинейный характер голографической записи /1,3,11-13/.

Существенно, что в некоторых случаях шум зерна регистрирующего материала может быть уменьшен как в результате оптической согласованной фильтрации на стадии восстановления /14/, так и за счет выбора беззернистых регистрирующих (например, термопластических /15/) сред с молекулярной структурой.

В работе /16/ Лином предложена модель идеальной регистрирующей

среды, восстанавливающей волновой фронт, линейно пропорциональный исходному предметному волновому фронту. Нелинейные искажения, вносимые реальной регистрирующей средой, характеризуются нелинейностью зависимостей корня квадратного из дифракционной эффективности от экспозиции или контраста интерференционной картины (см., например, §6 и 7 гл.10 /1/). Эти кривые дают качественную оценку всего голографического процесса с точки зрения нелинейных искажений при передаче градаций яркости в восстановленном изображении.

К_Н = h _реал/h _ид (1)

Для оценки контраста в восстановленной изображении используют два определения отношения сигнал/шум /7/. В первом случае отношение сигнал/шум (s/n)_к характеризует контраст реконструированного изображения, и его величина зависит как от вида объекта. так и от точки, в которой измеряется контраст. Во втором случае отношение сигнал/шум (s/n)å вычисляется как отношение суммарного нерассеянного потока к потоку рассеянного света. Такие характеристики широко применяются для оценки влияния интермодуляционного шума за качество реконструированного изображения /4,6-8/.

можно говорить о параметрической зависимости КН-ДЭ-ОСШ /18-21/ Эта зависимость индуцируется внутренними свойствами голографического процесса и геометрически интерпретируется в виде пространственной параметрической кривой в координатах КН-ДЭ-ОСШ.

В данной работе на примере рельефно-фазовых голограмм введены понятия параметрических кривых КН-ДЭ и ДЭ-ОСШ, которые имеют общее значение для любого типа голограмм. Для диффузного объекта рассмотрено построение пространственной параметрической кривой - КН-ДЭ-ОСШ.

1. Параметрическая кривая КН-ДЭ

Известно, что только тонкие амплитудные голограммы в случае регистрирующей среды с линейной зависимостью амплитудного коэффициента пропускания от экспозиции воспроизводят неискаженное распределение градаций яркости (К_Н = 1) в восстановленном изображении /17/.

В общем случае зависимость ДЭ от параметров записи для произвольного типа голограммы носит нелинейный характер. Например, в случае тонких и толстых фазовых пропускающих голограмм она определяется, соответственно, функциями j²₁ и sin /1/. При этом для малых значений аргумента при линейном отклике регистрирующей среды величина К_Н » 1.

Переход к произвольному голографическому процессу требует введения общего критерия для оценки нелинейных искажений при передаче градаций яркости (в частности, для определения КН в восстановленном изображении при максимально достижимой для данной конкретной голограммы дифракционной эффективности). В работах /18-20/ показано, что единая параметризация голографического процесса записи и восстановления индуцирует параметрическую зависимость КН-ДЭ, обусловленную нелинейными свойствами процесса и задающую соответствие, которое устанавливается между величиной нелинейных искажений в передаче градаций яркости и ДЭ. Рассмотрим построение такой параметрической кривой на примере рельефно-фазовой голограммы.

D = b _лН (2)

где b _л - коэффициент пропорциональности, определяющий чувствительность регистрирующей среды. Амплитудный коэффициент пропускания t_a рельефно-фазовой голограммы для случая плоской объектной = s·exp(jj _s) и опорной =r·ехр(jj _r) волн имеет вид /20/:

где t₀ - модуль амплитудного коэффициента пропускания, определяемый, в основном, поглощением подложки и по величине близкий к 1; k = 2p /l - волновое число; n - показатель преломления; t - время экспонирования. Используя разложение

для t_a найдем

Если восстанавливающая волна = c·exp(jj _c) совпадает с опорной, то при восстановлении голограммы с таким амплитудным коэффициентом пропускания получим набор плоских волн:

При этом в направлении первого порядка (q= +1) будет реконструирована волна

= jt₀rexp[jk(n-1)b _лt (r²+s²)]j₁[2k(n-1)b _лt rs]exp(jj _s) (6)

i₊₁ = t²₀r²j²₁[2k(n-1)b _лt rs] (7)

h _л = i₊₁/r² = t²₀j²₁[2k(n-1)b _лt rs] (8)

Для малых (например, по /3/ < 0,6) значений аргумента 2k(n-1)b _лt rs рассматриваемый голографический цикл приближается к идеальному. Действительно, в этом случае

_{+1 »} j₁[2k(n-1)b _лt rs]exp(jj _s) _» k(n-1)b _лt r[sexp(jj _s)] (9)

h _ид = t²₀[k(n-1)b _лt rs]² = t²₀[k(n-1)b _л]²h_rh_s (10)

где h_r=t r² и h_s=t s² - экспозиция опорного и объектного пучков.

В соответствии с (1) коэффициент нелинейности рельефно-фазовой голограммы, зарегистрированной в среде с линейным откликом,

k_нл = 4j²₁(b_л)/b²_л (11)

где В_л=2k(n-1)b _Лt rs=2k(n-1)b _л - общий параметр записи.

Тогда искомая параметрическая зависимость, выражающая соответствие между двумя (из трех) основными характеристиками голограммы (КН и ДЭ), которая индуцируется за счет нелинейных свойств процесса восстановления, может быть представлена в виде

Кнл = 4j21(Вл)/b2л	(12)
h л = t20j1(Вл)

На рис.1 параметрическая кривая КН-ДЭ (К_нл - h _л) для этого случая (РФ^л_теор) показана точками.

Рис.1. Параметрические кривые КН-ДЭ для разных типов голограмм, зарегистрированных на различных материалах; цифры у кривых для фотоматериалов соответствуют экспозиции опорного пучка h_r в мкДж/см²; в скобках приведено условное обозначение варианта модели идеальной регистрирующей среды, соответствующее прямым на рис.2-а.

изменению дифракционной эффективности и, соответственно, нелинейных , искажений. В результате происходит либо усугубление, либо (частичная или полная) компенсация нелинейностей, присущих процессу восстановления голограммы. Рассмотрим это на примере двух видов от -клика, характерных для рельефно-фазовых голограмм, получаемых методов термопластической записи /18-20/.

где b _k - коэффициент пропорциональности при квадратичном отклике. Тогда (8) примет вид

На рис.2а показана зависимость дифракционной эффективности рельефно-фазовой голограммы, зарегистрированной в среде с квадратичным откликом, от экспозиции объектного пучка h_s при разных экспозициях опорного пучка h_r (n = 1,5; l =0,63 мкм). Существенно, что как и в случае линейного отклика, изменение Ир меняет лишь масштаб аргумента (Н_s), но не форму кривой "дифракционная эффективность - экспозиция объектного пучка".

Изменение знака второй производной рассматриваемых кривых на участке от нуля до максимума требует нахождения способа построения прямой, описывающей модель Лина для идеальной регистрирующей среды. С этой целью в /20/ применительно к случаю квадратичного отклика предложены два возможных варианта модели "квазиидеальной среды" (прямые 4 и 1 на рис.2а). Первая из них соответствует условию h _{ид ³} h реал, а вторая h _ид(h_s.экстр)=h _реал(h_s.экстр)=h _{реал.макс}.

Вариант идеальной модели Лина, которому эквивалентна реальная регистрирующая среда при малых значениях экспозиции объектного пучка, задается проходящей через начало координат касательной к кривой h _к(h_s). Очевидно, что в случае квадратичного отклика такой

Зависимость ДЭ от экспозиции Н_s объектного пучка для различных экспозиций h_r опорного пучка:

вариант модели не имеет физического смысла, поскольку соответствующая ей дифракционная эффективность при любой экспозиции равняется нулю. Это приводит к неоднозначности выбора варианта идеальной модели регистрирующей среды. Заметим, что если первая производная кривой h _к(h_s) монотонно убывает от некоторого положительного значения, то прямая 4 и прямая, соответствующая модели Лина для малых значений h_s, совпадают. В этом случае выбор варианта идеальной модели Лина носит вполне определенный характер.

Параметрические кривые КН-ДЭ (К_нк - h _к) для рельефно-фазовой

При регистрации голограммы на фототермопластике зависимость высоты (синусоидального) рельефа от экспозиции имеет вид /20/

где D _макс - максимально достижимая высота рельефа, Н₀ - характеристическая экспозиция.

Зависимости ДЭ h _к от экспозиции сигнального пучка h_s=t s² при разных экспозициях опорного пучка Н_r=t r² показаны на рис.2б (для D _макс = 0,5 мкм). На рис.1 сплошной линией (ФТП^Э_теор) показана параметрическая кривая КН-ДЭ (К_нэ-h _э), соответствующая h_r = 5Н₀, что обеспечивает наименьшие нелинейные искажения. Следует отметить, что в случае экспоненциального отклика наблюдается слабая зависимость К_нэ от экспозиции опорного пучка в весьма широком диапазоне h_r(2h₀ < h_r < 10Н₀).

Реальный фототермопластик /22/ имеет почти экспоненциальный отклик с некоторой квадратичностью при малых значениях средних экспозиций и малых контрастах интерференционной картины, что хорошо видно на рис.2в вблизи начала координат (кривая, соответствующая Н_r = 0,1 Дж/см², смещена вправо на 0,1 Дж/см лишь для удобства вычерчивания графика). Соответствующая параметрическая кривая КН-ДЭ (ФТП_{реальн.}) показана на рис.1 сплошной линией с кружками. Из графика видно, что происходит частичная компенсация нелинейных искажений - нелинейность отклика частично компенсируется нелинейностью при восстановлении. В результате нелинейные искажения рельефно-фазовых голограмм, зарегистрированных на реальном фототермопластике

при Н_r = 0,6 Дж/см², меньше, чем в случае идеального фототермопластика с чисто экспоненциальным откликом при оптимальной экспозиции опорного пучка h_r = 5Н₀ (кривые фТП^э_теор на рис.1).

Для сравнения на том же рис.1 приведены семейства параметрических кривых КК-ДЭ для тонких амплитудных голограмм (К_нт-h _ат), зарегистрированных на фотопластинках Агфа-Гевэрг 10Е70 (пунктир) и Кодак 649f (штрих-пунктир), из которых видно, сколь высоки в этом случае требования к точности экспозиции опорного пучка. Как видно из соответствующих параметрических кривых КН-ДЭ (К_н0-h _ф0) объемные фазовые голограммы на отбеленных пластинках Кодак 649f (штрих-пунктир) и бихромированной желатине (длинный пунктир) обладают наивысшей ДЭ и наименьших нелинейными искажениями. Кроме того, в этом случае допустимо примерно двухкратное изменение экспозиции опорного пучка без заметного увеличения нелинейных искажений. Все упомянутые в данном абзаце кривые построены по графикам §§ 8 и 9 гл.10 /1/.

Таким образом, полученные параметрические кривые позволяют выявить оптимальные условия записи и обработки, а также предельную величину нелинейных искажений при заданной дифракционной эффективности (или наоборот). Более того, они носят общий характер и дают возможность провести сравнительную оценку различных типов голограмм с точки зрения нелинейных искажений при передаче градаций яркости. Количественный анализ всех приведенных на рис.1 кривых дан в /20/.

ii. Параметрическая кривая ОСШ-ДЭ

Под шумом в голографии понимается нежелательный световой поток, распространяющийся в направлении восстановленной волны и вызывающий паразитную модуляцию реконструированного изображения. Таким образом, действие шума сводится к уменьшению контраста и к ухудшению разрешающей способности в восстановленном изображении. В работе /1/ (см., например, § 5 гл.10) дана классификация шумов и указаны возможные пути их подавления.

В последнее время широко используются на практике. При этом одним из преимуществ рельефно-фазовой голограммы является возможность ее массового тиражирования путем тиснения /4,5,9,10,23/, что практически снижает стоимость копии-реплики примерно до стоимости ее материала (например, виниловой ленты).

Вопрос о контрасте восстанавливаемого изображения при использовании толстых фазовых голограмм, регистрируемых на фотопластинках Кодак 649f с последующим отбеливанием, теоретически и экспериментально рассмотрен в ^/ Ч. Показано (см. рис. 5 /7/), что хотя суммарное отношение сигнал/шум (s/n)å не дает непосредственного значения контраста восстановленного изображения, но, по крайней мере, до (s/n)å < 10 хорошо с ним согласуется. Поэтому с учетом относительной простоты аналитического и экспериментального определения этой характеристики суммарное отношение сигнал/шум (s/n)å может быть использовано в качестве критерия для оценки контраста реконструированного изображения.

Рассмотрим построение параметрической кривой ОСШ-ДЭ ((s/n)-h å )на примере рельефно-фазовой голограммы /21/, зарегистрированной в среде с линейным откликом, что соответствует, например, записи голограммы на фототермопластике (на начальном участке рельефно-экспозиционной характеристики). Пусть объект состоит из большого числа М излучателей, создающих в плоскости голограммы х,у амплитуды s_pexp(jj _sp), так что результирующий объектный волновой фронт

где y _mp =j _m - j _p, m = ℓ,r.

Действие первого фазового фильтра с амплитудным коэффициентом пропускания,

t_n = t₀exp[j(n-1)b _лt r²] (19)

Рис.3. Модель рельефно-фазовой голограммы для построения параметрической кривой ОСШ-ДЭ.

Полезная информационная структура записана на фазовом фильтре (информационной субголограмме) с амплитудным коэффициентом пропускания

откуда на основании (4)

Считая, что фильтры воздействуют на восстанавливающую волну независимо друг от друга, найдем нерассеянную часть плоской волны, прошедшей через шумовую субголограмму. Нормированная амплитуда, не рассеянная интермодуляционными членами, равна амплитуде на нулевой частоте в пространственном спектре амплитудного коэффициента пропускания t_ш /7/, так что

Так как в общем случае функция i(x,у) неизвестна, то соответственно, не может быть найдено и (s/n)å . Однако, если i(х,у) имеет известные статистические свойства, то

где р(i) - плотность распределения вероятности случайной величины i.

В частном случае, зля широко используемой на практике модели рассеивателя Рэлея /1,7/ с плотностью распределения вероятности амплитуды в плоскости голограммы

р(s) = (s/s ²)ехр(-s²/2s ²) (27)

амплитуда a₀ и суммарное отношение сигнал/шум равны соответственно,

(s/n)å = 1/(2m s ²)² = [r/k(n-1)b _лt r²]² (29)

где r = r²/<i> - отношение интенсивностей опорного и объектного пучков.

Если восстанавливающая волна совпадает с опорной , то в направлении первого порядка реконструируется волна ₊₁(х,у), которую с учетом (19), (23), (24) можно представить в виде

₊₁(x,y) = jrt_na₀j₁[2k(n-l}b _лt rs(x,y)]exp(jj _s) (30)

h å =t²_0| a_0| ²exp{-[2k(n-1)b _Лt rs ]²}i₁{[2k(n-1)b _Лt rs ]²}(31)

где i₁(х) - модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.

h å = eкp(-2u²r}i₁(2u²r)/(1+u²) (33).

где u = k(n-1)b _лt r²/r. На рис.4 вверху приведено семейство таких параыетрических кривых для нескольких r.

Нетрудно видеть, что наличие шума наиболее заметно при больших дифракционных эффективностях и малых отношениях интенсивности опорного пучка к средней интенсивности сигнального пучка. По мере роста r ОСШ растет почти линейно. Интермодуляционный шум становится практически незаметным (ОСШ > 100 /9/) при максимально достижимой (для данного вида голограммы) дифракционной эффективности (~22%) при r » 100.

В работе /21/ при построении параметрической зависимости ОСШ-ДЭ в случае рельефно-фазовой голограммы диффузного рассеивателя

величина ДЭ определена для статистически эквивалентной решетки /7/.

В свою очередь, используя приближения exp(-x)» 1 и i₁(х)» x/2, параметрическую кривую (32), (33) можно привести к виду, совпадающему с формулами (36), (37). Полученный результат подчеркивает как общий характер параметрической кривой ОСШ-ДЭ, так и неразрывную связь характеристик голограммы с параметрами голографического процесса.

iii. Параметрическая кривая КН-ДЭ-ОСШ

Единая внутренняя параметризация голографического процесса позволяет установить связь между тремя основными характеристиками голограммы: КН, ДЭ и ОСШ. Параметрическая кривая в координатах КН-ДЭ-ОСШ дает достаточно полную оценку качества восстанавливаемого изображения и характеризует голографический цикл в целом. Практически пространственная кривая строится по двум плоским проекциям (КН-ДЭ и ОСШ-ДЭ), соответствующим одинаковым условиям записи (определенного объекта) и обработки голограммы.

Рассмотрим построение такой кривой на примере рельефно-фазовой голограммы диффузного рассеивателя. В этом случае, как следует из (37), для малых значений u

Семейство параметрических кривых ОСШ-ДЭ (вверху) и КН-ДЭ (внизу) для тонкой фазовой голограммы диффузного объекта, зарегистрированной в среде с линейным откликом; на поле верхнего графика приведена пространственная параметрическая кривая ОСШ-ДЭ-КН для указанной голограммы при r® ¥

h å _» t²₀ru² = t²₀[k(n-1)b _Л]²h_r<h_s> (37)

где <h_s> = t <i>, так что голографический цикл в среднем приближается к идеальному. Иначе говори, усредненная дифракционная эффективность пропорциональна экспозиции опорного пучка Н_r и средней экспозиции объектного пучка <h_s> (ср. с формулой 10).

Тогда, введя в рассмотрение коэффициент нелинейности К_Нå , характеризующий нелинейные искажения при передаче градаций усредненных значений яркости, соответствующую параметрическую кривую КН-ДЭ в случае рельефно-фазовой голограммы диффузного рассеивателя (зарегистрированной в среде с линейным откликом) с учетом (33) и (38) можно представить в виде:

К_Нå = exp(-2u²r)i₁(2u²r)/ru²(1+u²) (39)

Семейство параметрических кривых К_hå -h å для разных r приведено в нижней части рис.4. Как видно из сравнения этого графика с кривой РФ^П_теор на рис.1, для случая диффузного объекта происходит некоторое увеличение нелинейных искажений, зависящих от отношения интенсивностей r опорного и предметного пучков.

Пространственную параметрическую кривую КН-ДЭ-ОСШ можно получить, объединяя две плоские кривые КН-ДЭ и ОСШ-ДЭ, связанные единой параметризацией. Тогда на основании (32), (33) и (39),(40) имеем

К_Нå = exp(-2u²r)i₁(2u²r)/ru²(1+u²) (41)

1. Р.Кольер, К.Берхарт, Л.Лин. Оптическая голография, "Мир", М., 1973.

2. Дж.Гудмен. Введение в Фурье-оптику, "Мир", М., 1970.

6. В.И.Локшин, Г.Б.Семенов. Дифракционная эффективность и отношение сигнала к шуму фазовых голограмм диффузных объектов. Материалы iv Всесоюзной школы по голографии, 313, Л., 1973.

7. j.upatnieks, С.leonard, efficiency and Image contrast of dielectric holograms. j.opt.soc.amer., 60, 3, 297, 1970.

9. У.Дж.Хэннан. Голографические кинофильмы, полученные тиснением. Техника кино и телевидения, 8, 42 (часть i) и 9, 37 (часть ii), 1973.

11. И.С.Барбанель, Э.И.Крупицкий. О требованиях к голографическим

материалам, ЖНПФК, 17, 4, 276, 1972.

12. Г.В.Островская. Нелинейные эффекты в голографии. Материалы iv Всесоюзной школы по голографии, Л., стр.51, 1973.

13. Г.Б.Семенов. Проблема нелинейности в голографическом изображении. Материалы v Всесоюзной школы по голографии, 5, Л.,1973.

17. Ю.Н.Денисюк, Г.Б.Семенов, Н.А.Савостьяненко. О влиянии нелинейности фотоматериала на характеристики амплитудных голограмм* Опт. и спектр., 29, 5, 994, 1970.

18. В.Б.Немтинов, О.В.Рожков. Нелинейные свойства тонких фазовых голограмм. В сб. "Использование ОКГ в современной науке и технике", Л., ЛДНТП, стр.80, 1973.

19. В.Б.Немтинов. О.В.Рожков. Передача градаций серого в голографическом изображении. В сб. "Голографические методы обработки информации", 15, РДЭНТП, К, 1973.

20. В.Б.Немтинов, О.В.Рожков. Нелинейные искажения тонких фазовых голограмм, записанных на фототермопластике. В сб. "Способы записи информации на бессеребряных носителях", вып.6, "Вища школа", К., 1974.

21. В.Б.Немтинов, И.М.Почерняев, О.В.Рожков. Интермодуляционный шум рельефно-фазовых голограмм. В сб. "Способы записи информации на бессеребряных носителях", вып.6, "Вища школа", К, 1974.

22. Н.Г.Кувшинский, А.А.Костик, Н.И.Соколов, И.М.Почерняев. Фототермопластический способ регистрации голограмм. В сб. "Проблемы голографии", вып.iii, 161, МИРЭА, М., 1973.

23. h.gerristen, d.l.greenway. shulterless playback device for holographic motion picture record pressings. Пат. США КЛ. 178-6.8, (Н 04 n 7/00, g 27/00) nо 3746783.

24. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции, "Наука", М., 1968.