В настоящее время достаточно подробно изучено влияние нелинейности на качество восстановленного изображения. В частности, показано, что при сравнимых величинах интенсивностей референтного и объектного пучков, используемых в процессе регистрации голограммы, помимо двух сопряжённых изображений в первом порядке дифракции, голограмма при её реконструкции образует также и дополнительные изображения в более высоких порядках дифракции: 2, 3 и выше. Причём все эти изображения, в том числе и изображения первого порядка, могут оказаться заметно искажёнными /1-3/. Известно также, что вследствие нелинейности регистрирующего материала может нарушиться относительное распределение освещённости в изображении сложного объекта, особенно в тех случаях, когда объект состоит из нескольких точек, сильно отличающихся по яркости /4/.

В настоящей работе был проведён аналяв дифракционной эффективности голограаи, зарегистрированных на нелинейном фотоматериале, в результате которого получены графические зависимости, позволяющие в значительной степени сократить объём вычислений. Особенность этого анализа состоит в том, что дифракционная эффективность представлена в виде произведения двух сомножителей. Один из сомножителей представлявляет собой линейную составлявшую дифракционной эффективности, которая может быть вычислена о помощью простого выражения по известным значениям средней амплитудной прозрачности голограммы τ₀, коэффициенту контраста интерференционной картины, регистрируемой на голограмме р и коэффициенту контрастности фотоматериала γ, а другой сомножитель, названный нами коэффициентом нелинейности, учитывает влияние нелинейности фотоматериала на дифракционную эффективность голограммы. Значения этого коэффициента представлены в виде графиков зависимости от р для нескольких значений γ. В работе приведены также выражения и графики для расчёта величины светового потока, который дифрагирует во второй порядок спектра, образованного голограммой.

где i_max и i_min - максимальное и минимальное значения интенсивности интерференционной картины. Подставляя в (4) значения i_max и i_min , полученные с помощью (5) найдём

Параметр р, входящий в формулу (6), зависит в общем случае от координат, т.е. контраст интерференционной картины различен для различных областей голограммы. Ограничим дальнейшее рассмотрение случаем, когда объект и референтный источник удалены от голограммы на расстояние, много большее её размеров. Тогда можно считать, что А₀ и А_r, а следовательно, и р не зависят от координат.

где τ(х,у) характеризует изменение амплитуды волны, a θ(x,σ)-изменение её фазы при прохождении через голограмму. В дальнейшем мы будем считать, что голограмма имеет одинаковую толщину, т.е. θ не зависит от координат х и у. Практически это имеет место, если поместить голограмму в иммерсионную среду. При этом предположении амплитудная прозрачность обработанной голограммы связана с прозрачностью по интенсивности Т(х,у) следующим простым соотношением:

где γ - коэффициент контрастности фотоматериала, численно равный тангенсу угла наклона кривой, а Н₀- точка инерции фотоматериала. Экспозиция Н пропорциональна интенсивности излучения i.

Значение волновой функции Ψ(x,y) излучения, восстановленного голограммой в плоскости самой голограммы, найдём, умножая волновую функции восстанавливающего источника (2) на амплитудную прозрачность голограммы (11)

При нелинейной записи задача наховдения волновой функции, которая, подчиняясь волновому уравнению, удовлетворяет на поверхности голограммы граничному условию (13), существенно усложняется. Для нахождения такой функции воспользуемся тем обстоятельством, что в рассматриваемом случае, когда р не зависит от координат, член в квадратных скобках выражения (13) остаётся чётной периодической функцией разности фаз [φ₀(x,y)-φ_r(x,y)] при любом значении γ. Очевидно, что в этом случае функция Ψ(х,y) может быть представлена в виде ряда Фурье по косинусам [φ₀(x,y)-φ_r(x,y)]:

Можно показать, что при достаточно малых углах между объектным и референтным лучами по крайней мере несколько первых членов (15) соответствуют обычным бегущим волнам, распространяющимся в пространстве за голограммой. При этом, как видно из (15) и (16), первым двум членам ряда соответствуют недифрагированное излучение, а также истинное и ложное изображения, аналогичные случаю линейной записи. Члены более высокого порядка описывают пространственно разделенные пучки, которые, однако, не образуют какого-либо изображения. И, наконец, начиная с некоторого значения n, членам ряда (15) соответствуют волны, затухающие в непосредственной близости от голограммы.

Для определения дифракционной эффективности голограмм необходимо знать поток Ф_n излучения, дифрагированного в искомое изображение. Амплитуда излучения, образующего этот поток,определяется коэффициентом при втором члене разложения (15). В соответст-

вии с этим выражение для потока Ф_n можно записать в следующем виде:

где s_г- площадь голограммы.

Дифракционную эффективность голограммы d найдём, отнеся (17) к величине потока, падающего на неё при реконструкции

Коэффициент К(р,γ) удобнее выразить через постоянную составляющую амплитудной прозрачности экспонированной голограммы τ₀, которую легко измерить экспериментально. Учитывая, что τ₀ соответствует первый член разложения (15), получим

d=d_Λk_h (20)

Таким образом, выраяение для дифракционной эффективности может быть представлено в виде двух сомножителей d_Λ и k_h. Можно показать, что из этих сомножителей - d_Λ в точности соответствует дифракционной эффективности голограммы для случая линейной записи. Действительно, в соответствии с (14) амплитуда волны, дифрагированной в один из первых порядков, определяется сяедувдим образом :

Учитывая, что падающий на голограмму поток равен и что для случая линейной записи , получим следующее выражение для d_Λ:

Из сказанного следует, что влияние нелинейности фотоматериала на дифракционную эффективность в рассматриваемом случае полностью учитывается коэффициентом К_Н (22). Зависимость этого коэффициента от параметров р и γ можно найти следующим образом. Разложим выражение в квадратных скобках (16) в биномиальный ряд и выполнив интегрирование, получим выражение для коэффициентов f₀ и f₁. Подставляя полученные выражения в (22), найдём

Входящие в (25) значения k_m для первых 16 членов рядов приведены в таблице 1. Используя формулы (25)÷(27) и значения k_m из таблицы 1, можно подсчитать коэффициенты нелинейности,а следовательно, и дифракционную эффективность голограмм для широкого диапазона значений р и γ.

Значения коэффициентов k_m выражении (25)

На рис.1 приведены вычисленные таким образом зависимости коэффициента К_Н от р для нескольких значений γ. Как видно из рисунка 1, эффекты нелинейности начинают заметно влиять на дифракционную эффективность, начиная со значений р≈0,3. Как и следовало ожидать, при γ = -2 эффекты нелинейности отсутствуют при любых значениях р. Несколько неожиданным оказалось то, что эффекты нелинейности не влияют на дифракционную эффективность голограммы и при γ=4. Однако этот случай всё же не эквивалентен линейной записи, поскольку изображения высших порядков при этом не исчезают.

При этом d определяется с помощью выражения (21), а можно выразить через названные выше параметры р и γ следующим образом:

а Г_m, определяется с помощью выравения (27). Входящие в (29) значения l_m для первых 16 членов ряда приведены в таблице 2. На рисунке 2 изображены вычисленные с помощью формул (27), (29) и (30) графики зависимости коэффициента от р дяя нескольких значений γ. Κак видно из этого рисунка, величина обращается в нуль при γ = -2 для любой величины контраста р, а также стремится к нуле для любого γ при уменьшении р. Оба эти случая соответствуют линейной записи и характеризуются отсутствием дифрагиро-

Значения коэффициентов l_m выражения (29)

ванного света в высших порядках дифракции (выше первого). Однако по мере увеличения контраста величина начинает заметно расти, что соответствует увеличению интенсивности света во втором порядке дифракции. Из рис.2 также следует, что увеличение коэффициента контрастности фотоматериала γ при одном и том же значении р приводит к увеличению .

Для проверки основных положений теории были измерены дифракционные эффективности d и d₂ нескольких голограмм с различными р, γ и

На голограммах записывалась картина интерференции двух плоских волн, распространяющихся под углом 30 мин. друг к другу. При этом регистрация осуществлялась на фотоматериале с разрешающей способностью порядка 100 лин./мм (фотоплёнка изопанхром, тип 17). Коэффициент контраста этой картины р рассчитывался, исходя из соотношения интенсивностей интерферирующих волн, которое измерялось с помощью ФЭУ. Для измерения γ рядом с голограммой на фотоплёнке регистрировалась сенситограмма, с помощью которой строилась соответствующая характеристическая кривая фотослоя. С помощью такой характеристической кривой можно было судить также о том, находятся ли изменения оптической плотности голограммы в пределах линейного участка характеристической кривой.

Для устранения фазовой модуляции голограммы помещались при измерениях в иммерсионную среду. В качестве иммерсии нами были использованы бензин и дистиллированная вода. Показатель преломления бензина n_δ= 1,5 был близок к показателю преломления сухого эмульсионного слоя (n_c=1,52). Показатель преломления дистиллированной воды (n_b= 1,33) был близок к показателю преломления размоченного слоя.

В процессе реконструкции голограмм с помощью ФЭУ были измерены величины потоков, дифрагированных в первый и второй порядки, а такие потока излучения, прошедшего через неэкспонированную проявленную и отфиксированную часть фотоплёнки той же площади, что и голограмма. Дифракционные эффективности голограмм d и d₂ вычислялись как отношение первой или второй из этих величин к третьей. Величина измерялась аналогичным образом через отношение недифрагированной части излучение к излучению, прошедшему через неэкспонированный проявленный и отфиксированный фотослой.

Полученные таким образом значения d и d₂ приведены в таблице 3. В этой же таблице представлены теоретические значения

эффективностей d_Т и d_Т2, вычисленные с помощью формул (20),(21), (28) и графиков, изображенных на рис.1 и 2.

Из таблицы 3 видно, что в первом порядке дифракции при использовании в качестве иммерсии воды отличие экспериментальных значений d от теоретических не превышает 10%, что является достаточно хорошим совпадением. Однако при использовании в качестве иммерсии бензина в тех же порядках дифракции наблюдается заметное превышение измеренных значений d над теоретическими. Это можно объяснить тем, что бензин устраняет только ту часть фазовой модуляции, которая обусловлена наличием регулярного рельефа на поверхности голограммы. По-видимому, существует ещё заметная модуляция показателя преломления в обработанном фотослое. В разбухшем в воде слое эта часть модуляции исчезает и голограмма становится чисто амплитудной.

Во вторых порядках дифракции наблюдается заметное расхождение экспериментальных и теоретических значений эффективности. Причём во всех случаях, когда в качестве иммерсии использован бензин, эти расхождения заметно меньше, чем при использовании воды. Можно предположить, что при разбухании эмульсии в воде происходят небольшие искажения рисунка голограммы, к которым вторые порядки дифракции обладают значительно более высокой чувствительностью, чем первые.

3. o.bryngdahl, А.lohmann. josa, 58, 1325, 1968.