ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

М.Милер (ЧССР)

Голограмма не только заключает в себе информацию о трёхмерном предмете, но также обладает функцией изображающего оптического элемента, и параксиальной приближении расстояния главного и сопряжённого изображений от голограммы описаны формулой

(1)

Буквой z обозначаем расстояния центров волновых фронтов, принадлежащих главному изображению Р и сопряжённому изображению К, восстанавливающей волне С, предметной точке s и опорной волне r. μ=λ_i\λ_s отношение длин волн, использованных для восстановления и регистрации голограммы, и m=x_i/x_s - увеличение масштаба голограммы. Анализ осуществим для простого случая μ = m = 1 , который встречается на практике.

Уравнение (1) можно записать в виде двух отношений, которые подобны формуле, отdечающей оптическому элементу. Это преобразование может быть осуществлено двумя практически выгодными способами: либо объединением пары изображение и восстанавливающая

волна:

(2)

либо пары изображение и предмет

(3)

Первое удобно для экспериментальных целей, так как мы обыкновенно изменяем положения изображении, варьируя расстояния центра восстанавливающей волны. Второе равенство, с другой стороны, удовлетворяет стабильной установке и позволяет изучать соотношение изображение - предмет.

Получим четыре пары формул изображения:

(4)

(5)

(6)

(7)

У первых двух пар фокусные расстояния f_h одинаковы по абсолютному значению, у вторых двух пар фокусные расстояния для главного и сопряжённого изображений f_р и f_к различны.

Необходимо заметить, что пары (4) и (6) аналогичны формулам изображения для фокусирующей линзы, тогда как вторая формула в (5) выражает рассеивающую линзу, а формула (7) - зеркальное изображение.

Для графического определения положений голографических изображений применим монограмму, принцип которой приведён на рис.1. Полупрямые ОА, ОВ, ОС образуют одинаковые углы. Эти прямые пересекаются прямой АВС и отрезки ОА, ОВ, ОС при подходящем выборе масштабов находятся в отношении

(8)

Это выражение имеет такой же вид, как и формула, описывающая оптический элемент.

Монограмму такого рода применяют для быстрого определения положений изображения, предмета или фокуса классического оптического элемента. Обыкновенно полупрямые для положения предмета ОА и изображения ОА' взаимно-перпендикулярны и их масштабы равны (рис.2). Полупрямая для положения фокуса разделяет угол квадранта пополам и маситаб увеличен в раза. Какая либо прямая, которая проходит через фокусную точку, пересекает полупрямые пред-

Рис.1. Рис.2.

мета и изображения в точках, определяющих расстояние предмета и изображения. При этом можем определить также характеристику изображения по знаку полупрямой. Например, изображение С' на рис.2 -мнимое.

Если для изображения применить большее число оптических элементов, то для каждого элемента можем определить положение изображения, если только предметную ось заменить осью изображения и, наоборот, отодвинуть новую предметную ось на расстояние, соответствующее расстоянию оптических элементов.

Согласно с предыдущими рассуждениями, мы можем построить монограмму и для голографического изображения, которая показана на рис.3. Выгодно выбрать угол между отдельными полупрямыми равным 60°. Тогда масштабы всех осей будут одинаковы. Получим три оси. На первой откладываем расстояния фокуса f_h, на второй - расстояния предмета s и изображения i и на третьей - расстояния центров опорной волны r и восстанавливающей волны С.

Последовательность работы с номограммой следующая. Во-первых, на основании расстояний, использованных при регистрации голограммы, мы установим положение фокуса f_n. Это мы сделаем таким образом,

Рис.3.

что на третью ось отложим расстояние центра опорной водны r и на вторую ось расстояние предмета s. Прямая, которая соединяет эти две точки, пересечёт первую ось в точке f_h, определяющей положение фокуса. Фокусное расстояние отложим также на обратную сторону первой оои и подучим положение фокуса - f_h для сопряжён ного изображения. На прямой, которая соединяет точку r с фокусом - f_h, лежит точка пересечения со второй осью, которую обозначим s'. Эта точка определяет положение сопряжённого изображения в предположении, что для восстановления использована волна, идентичная с опорной. Положение главного изображения идентично с положением предмета.

Если для восстановления выбрать волну, отличную от опорной волны, например С, то положения обоих изображений определятся как точки пересечения прямых, соединяющих С с фокусами, f_h и - f_h со второй осью. Изображения являются мнимыми, если они лежат на положительной полуоси, и действительными, если лежат на отрицательной полуоси.

На рис.4 показаны области нахождения изображений при разных положениях центра восстанавливающей волны С. Общими параметрами при съёмке голограммы были выбраны положения фокусов f_h и - f_h. Если центр восстанавливающего волнового фронта находится в области, которая ограничена расстоянием фокуса сопряжённого изображения и бесконечностью, то главное изображение является мнимым и помещается в области, границами которой являются половинное фокусное расстояние и бесконечность. Сопряжённое изображение является действительным и лежит в области, ограниченной фокусный расстоянием и бесконечностью. Если центр восстанавливающей волны лежит внутри фокусного расстояния, то мнимое главное изображение находится внутри половинного фокусного расстояния и мнимое сопряженное изображение может быть на любом месте на всей мнимой полуоси изображения.

Центр восстанавливающей волны можно переместить на мнимую полуось. Тогда отдельные области положения изображений меняются по сравнению с первый случаем на противоположные, причём главное изображение изменяется на сопряжённое и наоборот и, кроме того, изменяются характеристики изображения.

При плоском восстанавливающем волновом фронте оба изображения одинаково удалены от голограммы, но в обратных направлениях и с обратными характеристиками.

Рис.5 представляет два возможных случая. Первый - когда при экспозиции голограамы опорная волна является плоской. Второй случай представляет квазифурьеголографию. При плоской опорной волне получаем фокус f_h на том же расстоянии, как и предмет. Так как фокус - f_h находится на равном расстоянии, но в противоположном направлении, то сопряжённое изображение при плоской волне восстановления одинаково удалено в противоположном направлении. В случае голограммы типа квазифурье, то есть когда расстояние до предмета равно расстоянию до центра опорной волны, оба фокуса находятся в бесконечности. Тогда при любом расстоянии центра восстанавливающей волны оба изображения помещены на том же самом расстоянии от голограммы. Голограмма ведёт себя как плоскопараллельная пластинка, т.е. как линза с бесконечно удалёнными фоку-

Рис.4.

 

Рис.5.

 

сани. Оба изображения должны обладать одинаковой характеристикой:

оба или мнимые, или действительные.

До сих пор мы изучали только способ изображения, когда комбинировалась пара изображение и восстанавливающая волна. Теперь перейдём к способу голографического изображения, когда изображение комбинируется с предметом и восстанавливающая волна с опорной.

Опять можно применить номограмму для определения расстояний. В отличие от предыдущего случая мы теперь получим два фокусных

расстояния f_p и f_k. Первый фокус получится таким же образом, как и раньше, но при построении второго фокуса надо принять во внимание, что равенство (7) отвечает уравнению зеркального изображения.

Номограмму составляем следующим образом. Снова берём три оси, углы между ними по 60°, как видно на рис.6. Первая ось это ось

Рис.6.

 

 

 

фокусов, вторая принадлежит восстанавливающей волне и изображениям и на третью откладываем расстояние центра опорной волны и расстояние до предмета. Надо принять во внимание, что здесь имеется разница направлений осей изображений, в то время как в предыдущем случае одна полуось явдялась мнимой для обоих изображений и вторая действительной для обоих изображений, и этом случае положительная полуось будет мнимой для главного изображения и действительной для сопряжённого изображения, а отрицательная полуось наоборот.

На основании расстояний r и С строится положение фокуса f_p. Затем откладывается расстояние С в противоположном направлении оси и точка пересечения прямой,соединяющей r и -С с первой осью, даёт положение f_k. Если мы знаем поподение обоих фокусов, то получим положения изображений из положения предмета. И в этом случае прямая, соединяющая предмет s с фокусами f_p и f_k, пересекает вторую ось в точках i_p и i_k , которые определяют расстояния изображений от голограммы и их характеристики.

На рис.8 показаны области полодений изображений, если изменяется положение предмета. Опять, как в предыдущем счучае, третья ось разделена на несколько отрезков с граничными точками в расстоянии фокусов. Если предмет приближается к такой точке, то изображение удаляется в бесконечность и при переходе точки изменяется характеристика изображения. Предмет в бесконечности дает изображения на фокусных расстояниях.

Рис.8 изображает случай, когда восстановление осуществляется при помощи волны, у которой центр волнового фронта одинаково удалён от голограммы как и центр опорной волны. Тогда фокус для главного изображения находится в бесконечности, а фокус для сопряжённого изображения в половине расстояния центров опорной и восстанавливающем волн. Положение главного изображения совпадает в этом случае с точкой пересечения прямой, параллельной с осью фокусов, со второй осью, а сопряжённое изображение получится обычным способом, Как видно из рис.8, главное изображение может находиться на бесконечности только в том случае, если предмет тоже на бесконечности, и сопряжённое изображение появится на бесконечвэсти тогда,

Рис.7.

 

Рис.8.

 

 

когда предмет на расстоянии фокуса f_k .

На рис.9 показаны положения фокусов для случая, когда опорная волна будет плоской. Из рисунка видно, что фокусы находятся на расстояниях центра восстанавливающей волны. Оба фокусных расстояния идентичны.

Восстановление плоской восстанавливающей водной представлено на рис.10. В этом случае точка С находится на бесконечности а -С на бесконечности на отрицатеньной полуоси, и оба фокуса идентичны. Аналогична оба изображения помещены на тех же самых расстояниях, но в противоположных направлениях. Одно из них - действительное, а второе-мнимое.

Тип голографии квазифурье показан на рис.11. В этом случае центр опорной волны r находится на том же самом расстоянии, что и предмет. Тогда обе фазы голографии, т.е. съёмка и восстановление, выражены идентичными прямыми и расстояния главного и сопряжённого изображений равны друг другу и идентичны с расстоянием центра восстанивливающей волны. Оба изображения на одной полуоси и одновременно или мнимые или действительные.

Рис.9.

Рис.10.

Рис.11.

Предыдущее изложение относилось к проблеме параксиального изображения. В этом случае поперечные расстояния обыкновенно не принимаются во внимание. Но как показал Шампань, можно при изучении положений голографических изображений не ограничиваться только параксиальным пространством. Возможно учитывать как угодно большие углы между отдельными прямыми, соединяющими центры волн с началом координат. При этих предположениях для расстояния центров отдельных волн имеем идентичные соотношения как и для продольных расстояний в параксиальном случае

(9)

Буквами r с индексами, относящимися к разным волнам голографического процесса, обозначены наклонные расстояния. Углы, которые образуют векторы r с координатными плоскостями, даны соотношениями

(10)

(11)

которые могут быть написаны в виде функций косеканса,

(12)

(13)

В этом виде они подобны тем, которые мы применили к графической обработке.

На основании приведённых соотношений можно построить номограммы и аналогичным образом определить расстояния обоих изображений и направления их положений.