СОГЛАСОВАННАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В.К.Соколов
В лекции рассматриваются принципы согласованной пространственной фильтрации, реализуемой на базе голографических согласованных фильтров, влияние неточностей установки фильтра-голограммы в оптической схеме на работу схемы согласованной пространственной фильтрации, а также влияние изменения размеров сигнала и его ориентации. В качестве критерия оценки влияния указанных факторов на работу схема фильтрации использовано отношение сигнал/шум на выходе схемы. Лекция носит обзорный характер и представляет интерес для начинающих заниматься этой областью.
В в е д е н и е
На предыдущих двух школах были прочитаны лекции о согласованной пространственной фильтрации /l,2/, в которых наряду с принципами весьма подробно были рассмотрены вопросы методики эксперимента и применений. Принимая во вникание неослабевающий интерес слушателей школы к рассматриваемому вопросу, обусловленный тем, что метод согласованной пространственной фильтрации находит применение при решении широкого круга задач, связанных как с распознаванием образов, так и с технологическим контролем и измерениями, и учитывая материал предыдущих лекций, в настоящей лекции предпринята попытка сделать обзор работ по физическим основам согласованной пространственной фильтрации, реализуемой с помощью фильтров-голограмм Вандер Люгта. Только что вышла в русском переводе великолепная книга Дж.Гудмена /3/, в которой,в частности, этот вопрос подробно рассмотрен. Лекция рассчитана на начинающих.
1. Принципы согласованной пространственной фильтрации
Согласованные фильтры используются в радиолокации для решения задачи обнаружения детерминированного сигнала в аддитивном белом гауссовом шуме /4/. Согласованный фильтр осуществляет оптимальную линейную обработку сигнала с точки зрения следующих трёх критериев /5/: отношения сигнал/шум, отношения правдоподобия, максимума апостериорной вероятности. Результаты, полученные в теории согласованной фильтрации электрических сигналов, могут быть легко распространены и на случай двумерных пространственных фильтров.
Пространственный фильтр называют согласованным с двумерным сигналом s(x,у), если его импульсная характеристика удовлетворяет условию
(1)
Данное определение предполагает, что фильтр является линейным и пространственно-инвариантным. Тогда отклик согласованного фильтра на произвольное входное воздействие g(x,y) может быть определён следующим интегралом свёртки
(2)
Подставляя значение импульсной характеристики согласованного фильтра, получаем
(3)
Таким образом, отклик согласованного пространственного фильтра представляет собой функцию взаимной корреляции входного воздействия и сигнала, с которым фильтр согласован.
Функцию передачи согласованного пространственного фильтра найдём, преобразовав по Фурье его импульсную характеристику:
(4)
Из (4) следует, что амплитудная прозрачность собственно фильтра-транспаранта, помещаемого в частотную плоскость схемы фильтрации, должна изменяться пропорционально комплексно-сопряжённому спектру сигнала.
Рассмотрим работу оптической схемы, осуществляющей согласованную пространственную фильтрацию, отвлекаясь пока от вопросов реализации самого комплексно-сопряжённого фильтра (рис.1). Пусть во входной плоскости помещён транспарант, на которой записана аддитивная смесь сигнала и шума q(x,y) = s(x,у) + n(x,y), причём n(x,y) - однородный стационарный шум (белый шум) со спектральной плотностью n(р,q)= n0. Поскольку сигнал и шум аддитивны, а согласованный фильтр является линейной системой, мы можем рассматривать прохождение сигнала и шума через фильтр раздельно.
Плоская однородная монохроматическая волна, пройдя сквозь транспарант, оказывается пространственно промодулированной по амплитуде и по фазе по закону g(х,y) = s(x,y)+n(x,y). Преобразующая линза Лn формирует в частотной плоскости p2 пространственно-частотный спектр сигнала s(р,q) и спектральную плотность шума n(р,q). И спектр сигнала, и спектральная плотность шума видоизменяются функцией пропускания согласованного фильтра, причём эти изменения различны для сигнала и шума. Поскольку пропускание согласованного фильтра в каждой точке пропорционально
Рис.1. Схема согласованного пространственного фильтра.
комплексно-сопряжённоиу спектру сигнала, то световая волна, выходящая из плоскости фильтра, оказывается промодулированной только по амплитуде, а все фазовые сдвиги, имевшиеся между пространственными гармониками сигнала, сказываются полностью скомпенсированными. Действительно, непосредственно за фильтром мы имеем
(5)
Другими словами за фильтром формируется неоднородная плоская волна. Она преобразуется восстанавливающей линзой Лв в небольшое яркое дифракционное пятно в выходной плоскости Рз. Таким образом оптический согласованный фильтр можно рассматривать как фазокомпенсирующую пластину, которая преобразует деформированный фронт волны спектра сигнала в плоскую волну. Сигнальную часть отклика схемы согласованной фильтрации можно представить в таком виде:
(6)
Отсюда видно, что дифракционное пятно является автокорреляционной функцией сигнала.
Рассмотрим теперь прохождение шума. Ввиду того, что фаза спектральной плотности шума в каждой точке частотной плоскости является случайной, то согласованный с сигналом фильтр не оказывает фазокомпенсирующего влияния на фазу спектральной плотности шума. В результате волна на выходе фильтра будет иметь такой же сложный фронт, что и на входе. Фильтр, однако, ослабляет амплитуду спектральной плотности шума в тех местах, где амплитуда спектральных составляющих сигнала мала. В результате шум становится амплитудно-взвешенным и линза Лв создаёт в плоскости Рз изображение шума, существенно не изменённое, но ослабленное относительно пика сигнала.
Таким образом, за счёт концентрации энергии сигнала в неболь-
шом по размерам дифракционном пятне и усреднения по площади энергии шума достигается максимизация пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума.
В общем случае функция пропускания согласованного фильтра-транспаранта должна быть комплексной. Это значит, что, помимо пространственной амплитудной модуляции транспарант должен осуществлять и пространственную фазовую модуляцию проходящей сквозь него когерентной волны света. Требуемый транспарант может быть получен путём контактного наложения друг на друга двух масок, на одной из которых записан модуль комплексной функции в виде изменения её пропускания, а на другой записан аргумент комплексной функции в виде изменения её толщины (или показателя преломления). К сожалению, в настоящее время такой комплексный транспарант можно реализовать только для простейших случаев изменения фазы. Изготовление фазового транспаранта с изменяющейся по требуемому (произвольному) закону толщиной встречает большие технологические трудности. Поэтому дня создания требуемых фазовых распределений сейчас используются оптические преобразования амплитудных распределений. Причём запись комплексных функций производится на фотоплёнку.
Известно два способа записи комплексных функций на фотоплёнку:
1) способ, предложенный Катрона с сотрудниками в работе /6/ и реализованный Козна и Келли в работе /7/ который основан на записи вещесвенной части смещённой по частоте комплексной функции;
2) способ, предложенный Кандер Люгтом /8/ и основанный на использовании голографического принципа записи.
Оба способа по существу реализуют один и тот же голографический
принцип записи комплексных сигналов на фотоплёнку, но отличаются по методике, поскольку первый предложен для регистрации временных сигналов, а второй - пространственных.
2. Согласованная пространственная фильтрация с помощью Г С Ф
В предложенной Вандер Люгтом схеме согласонанной пространственной фильтрации в качестве оптического согласованного фильтра используется Фурье-голограмма интересующего нас двумерного сигнала. Поэтому целесообразно такие фильтры называть голографическими согласованными фильтрами (ГСФ).
Согласованная пространственная фильтрация, реализуемая на базе Г С Ф, осуществляется с помощью схемы (рис.2), которая ничем не отличается от рассмотренной ранее схемы пространственного фильтра. Анализ схемы фильтрации начнём с процесса получения Г С Ф. Обычно Г С Ф изготавливают в той же самой схеме. При этом во входной плоскости Р1 устанавливают транспарант, на котором записан сигнал s(х, у), а в частотную плоскость Р2 помещают фотопластинку Ф. На фотопластинку под углом направляют плоскую опорную волну. Практические схемы изготовления Г С Ф подробно проанализированы в работе /9/.
Рассмотрим распределение светового поля в плоскости фотоэмульсии, создаваемое Фурье-образом сигнала и опорным пучком. Нас будет интересовать только его электрическая составляющая, вызывающая почернение эмульсии. Для мгновенных значений поля имеем:
Здесь ω - угловая частота используемого монохроматического источника света; pa = f sinθ - набег фазы, обусловленный падением опорного пучка под углом θ.
Результирующее распределение комплексных амплитуд электрического поля на фотослое будет равно сумме
Регистрируете фотоэмульсией распределение интенсивности в плоскости Р2 будет равно:
(7)
Предположим, что мы осуществили линейную запись распределения интенсивности (7) и получили голограмму-фильтр, амплитудная прозрачность которой с точностью до постоянного множителя определяется выражением (7):
(8)
Последнее слагаемое этого выражения с точностью до фазового множителя равно требуемой характеристике пропускания согласованного фильтра.
Рассмотрим теперь процесс обработки. Установим в частотную плоскость p2 полученный фильтр-голограмму t(p,q) точно в то же самое место, которое занимала фотопластинка при изготовлении фильтра, а во входную плоскость Рт поместим транспарант g(x,у) = s (х, y) + n (x,y) и определим распределение света в выходной плоскости Р3. Распределение комплексных амплитуд в волне, прошедшей сквозь ГСФ, будет равно
(9)
В плоскости Р3 будем иметь обратное Фурье-преобразование от (9), отображаемое линзой Лв:
(10)
Из (10) видно, что световое поле в выходной плоскости состоит из трёх областей: центральной u0 и двух боковых u-1 и u+1. Рассмотрим эти области подробнее.
(11)
Таким образом, центральная область, форимруется пучком, распространяющимся вдоль остической оси, образуется двумя слагаемыми, первое из которых отображает входное воздействие g(u,v), а второе есть свёртка функции автокорреляции сигнала bs(u,v) с входным воздействием g(u,v).
Верхняя боковая область u-1, формируемая пучком, отклоняемым Г С Ф от оси на угол θ в направлении, противоположном тому, под которым шёл опорный пучок при записи, может быть представлена в таком виде:
(12)
Следовательно, в этой области отображается свёртка сигнала s(u,v). На который изготовлен Г С Ф, с входным воздействием g(u,v). Она локализуется вокруг точки v=-а. Эту область удобно называть пространствоv свёрток.
Нижняя боковая область v+1, формируемая пучком, выходящим на Г С Ф в том же направлении, в каком шёл опорный пучок при изготовлении фильтра, выглядит следучщим образом:
(13)
Итак, в этой области отображается функция взаимной корреляции сигнала и входного воздействия. Поэтому её будем называть пространством корреляций. Она локализуется вокруг точки с координатой v = a.
На рис.3 показано взаимное расположение центральной области,
Рис.3. Взаимное расположение пространств свёрток и корреляций
на выходе схемы согласованной пространственной фильтрации.
пространства свёрток и пространства корреляций. Нас будет интересовать пространство корреляций, в котором отображается результат согласованной пространственной фильтрации, осуществляемой Г С Ф. Для нормальной работы схемы необходимо, чтобы пространство корреляций не перекрывалось первой областью. Чтобы выполнить это условие, угол наклона опорной волны следует выбирать по формуле (3):
(14)
где ls и lg соответственно,ширина сигнала s(x,у) и ширина
входного воздействия g(x,y) вдоль оси y; f - фокусное расстояние преобразующей линзы.
Поскольку в рассматриваемом нами случае входное воздействие представляет собой аддитивную смесь сигнала и шума, то в плоскости Р3 мы будем иметь:
- в пространстве свёрток автосвертку сигнала s*s и свёртку сигнала с шумом s*n;
- в пространстве корреляций функцию автокорреляции сигнала s*s и функций взаимной корреляции сигнала и шума s
n. Можно показать /10/, что в силу пространственной инвариантности схемы фильтрации (в определённых пределах) отклики ss и s*s локализуются в точках, оптически сопряжённых с координатами "центра тяжести" сигнала во входной плоскости. При отсутствии или достаточно слабой статистической связи сигнала с шумом сигнал автокорреляции s
s будет по величине иного больше фона, образованного взаимной корреляцией сигнала и шума.
3. Влияние неточностей установки Г С Ф в оптической схеме
Приведённый выше анализ работы схемы согласованной пространственной фильтрации был сделан в предположении, что Г С Ф установлен точно в частотной плоскости и в той же самом положении, в каком находилась фотопластинка при экспонировании. На практике, однако, при установке Г С Ф в исходное положение неизбежны незначительные отклонения от оптимального положения, которые, к сожалению, приводят к заметному ослаблению интенсивности корреляционного пятна на выходе. Рассмотрим поэтому влияние следующих неточностей установки Г С Ф на качественные показатели схемы фильтрации:
- смещение Г С Ф в плоскости, перпендикулярной оптической оси;
- смещение Г С Ф вдоль оптической оси.
В качестве критерия для оценки влияния небольших поперечных и продольных смещений Г С Ф удобно взять отношение сигнал/шум на выходе схемы фильтрации. Детальный анализ рассматриваемого вопроса приведён в работе /11/, результатами которой мы и воспользуемся.
Смещение Г С Ф в плоскости, перпендикулярной оптической оси, будет эквивалентно смещению начала координат оси частот, связанной с фильтром, на величину, равную смещению. Если фильтр сместить в частотной плоскости вдоль оси р на величину Δр , то передаточная функция фильтра окажется смещенной по частоте на ту же величину, и мы можем определить сигнал на выходе схемы фильтрации, воспользовавшись формулой
(15)
Почагая, что входное воздействие представляет собой аддитивную смесь сигнала и шума, можно определить с помощью (15) сигнальную и шумовую составляющие реакции схемы согласованной пространственной фильтрации с Г С Ф, смещённым на величину Δр , и найти отношение сигнал/шум на выходе в виде /11/:
(16)
Нормализуя (16) таким образом, чтобы Ψ(0)=1 при Δр=0, получаем:
(17)
Как видно из (17), закон уменьшения отношения сигнал/шум при сдвиге Г С Ф в частотной плоскости будет определяться величиной сигнала и характером его изменения вдоль оси сдвига.
Дрп оценки допустимых смещений Г С Ф наибольший интерес представляет случай резко выраженной зависимости отношения сигнал/шум от величины смещения. Сигнал, который максимизирует первую производную числителя выражения (17) гри малых значениях u, имеет вид:
| |s(u)|2=1 при 0≤u≤l
|s(u)|2=0 в остальной области.
Здесь l - длина сигнала.
Подставляя (18) в (17), получаем
(19)
Поскольку пространственная частота р связана с координатой ξ в частотной плоскости (расстоянием от оптической оси) соотношением
то, заменив в (19) частотное смещение фильтра Δр на физическое Δξ, οолучаем
(20)
На рис.4 приведены кривые, характеризующие уменьшение отношения сигнал/шум с увеличением смещения для различных значений параметра l/f, эквивалентного эффективной числовой апертуре преобразующей линзы. С помощью этих кривых легко определить требования к точности установки Г С Ф. Так, при допустимой уменьшении отношения сигнал/шум на 3gδ ошибка в установке фильтра не должна превышать 60 мкм при l/f = 4·10-3 и 26 мкм при l/f = 10·10-3. Таким образом, чем больше размеры сигнала l , тем выше требования к точности установки Г С Ф на этот сигнал.
На практике чаще встречаются неоднородные шумы. Получение аналогичных зависимостей для случая неоднородных аддитивных шумов сопряжено со значительными вычислительньыи трудностями и необходимостью использовать ЭЦВМ.
На рис.5 причедены кривые зависимости отношения сигнал/шум для случая неоднородного шума-фона аэрофотоснимков, спектральная плотность которого аппроксимировалась выражением /11/:
lg(|n(p)|2)=10,55[exp(-0,5|p|)-l] . (21)
Из сравнения рис.4 с рис.5 видно, что в случае неоднородных шумов на входе имеет место более резкое падение отношения сигнал/шум на выходе от величины смещения Г С Ф по сравнению с белым шумом и требования к точности установки Г С Ф возрастают почти на порядок.
Рис.4. Зависимость отношения сигнал/шум от смещения фильтра в поперечном направлении для случая однородного шума на входе.
Рис.5. Зависимость отношения сигнал/шум от смещения фильтра в поперечном направлении для случая неоднородного шума на входе.
Смещений Г С Ф вдоль оптической оси также приводит к уменьшению отношения сигнал/шум, однако влияние продольных смещений значительно слабее поперечных. Влияние продольных смещений можно оценить с помощью выражения (20), если заменить смещение фильтра вдоль оси на эквивалентное смещение в поперечном направлении. Для разобранного выше случая сигнала в виде прямоугольного импульса имеем /11/:
(22)
Здесь Δz - смещение плоскости фильтра относительно частотной плоскости системы, x0 - величина смещения сигнала на входе относительно оптической оси.
Как видно из (22), по отношению к сдвигу Г С Ф вдоль оси схема фильтрации не является пространственно-инвариантной: отношение сигнал/шум зависит не только от величины смещения Δz, но и от положения сигнала во входной апертуре х0. На рис.6 приведе-
Рис.6. Зависимость отношения сигнал/шум от смещения фильтра в продольном направлении для случая однородного шума на входе.
ны зависимости отношения сигнал/шум на выходе от отношания x0/f при постоянных значениях смещения Δz и параметра l/f = 10·10-3, которые наглядно иллюстрируют пространственную неинвариантность схемы фильтрации. Если задаться допустимыми ухудшениями отношения сигнал/шум в 3gδ νа краю апертуры (например, приняв x0/f = 40·10-3), то допустима ошибка в установке Г С Ф вплоть до 4000 мкм. Аналогичные результаты получаются и для случая неоднородных шумов на входе.
4. Влияние изменения разменов сигнала и его ориентации
Согласованный пространственный фильтр, реализуемый на базе Г С Ф, оказывается весьма чувствительным не только к неточностям установки Г С Ф в оптической схеме, но и к изменениям размеров и ориентации входного сигнала. Влияние изменения размеров сигнала исследовалось в работах /12-14/.
В работе /13/ дан теоретический анализ влияния изменения размеров сигнала на интенсивность и форму корреляционного пятна на выходе фильтра для частного случая сигнала в виде прямоугольника. Результаты расчёта приведены в виде графиков на рис.7. По горизонтальной оси отложен относительный размер корреляционного пятна, а по вертикальной - интенсивность корреляционного пятна, нормированная к своему значению при совпадении размеров входного сигнала с номинальным размером, на который изготавливается Г С Ф (случай К=1,0). Параметр К равен отношению номинального размера сигнала к размерах сигнала на входе. Штриховая линия определяет форму автокорреляционной функции сигнала при неограниченных размерах апертуры оптической системы. Коэффициент s характеризует когерентность излучения. Случай s=0 соответствует абсолютно когерентному излучению. Из графиков видно, что изменение размеров входного сигнала по сравнению с номинальными на 10% вызывает уменьшение интенсивности корреляционного максимуыа на 30%, а изменение размеров на 20% уменьшает интенсивность корреляционного пика почти в 2,5 раза.
Рис.7.
Влияние изменения размеров сигнала на интенсивность и форму пятна взаимной корреляции.
Аналогичные экспериментальные результаты были получены в работе /14/ для сигнала в виде квадрата. На рис.8 приведены зависимости отношения сигнал/шум от изменения размеров квадрата для двух Г С Ф, отличающихся точностью установки фотопластинки в фокальной плоскости преобразующей линзы при изготовлении Г С Ф. Пунктирная кривая соответствует случаю точной установки (Δf/f = 0), сплошная - наличию ошибки в установке Δf/f = 0,01. Обе зависимости напоминают резонансную кривую контура высокой добротности. Введение небольшой дефокусировки расширяет допустимые пределы изменения размеров сигнала почти вдвое, однако и в этом случае они не превышают ±5%.
В общем случае сигнала произвольной формы характер зависимости сохранится, однако допустимые изменения размеров будут определяться формой и структурой сигнала.
Изменение ориентации сигнала на входе по сравнению с исходной, для которой изготавливался Г С Ф, приводит к такому же эффекту, что и изменение его размеров. Влияние поворота сигнала на отношение сигнал/шум на выходе исследовалось в работе /15/. На рис.9 приведена экспериментальная зависимость отношения сигнал/шум
Рис.8. Зависимость отношения сигнал/шум от изменения размеров сигнала на входе схемы согласованной пространственной фильтрации.
Рис.9. Влияние поворота фильтра (сигнала) на отношение сигнал/шум на выходе схемы согласованной пространственной фильтрация.
от угла поворота Г С Ф для двух сигналов: квадрата и участка карты. Очевидно, что вращение фильтра эквивалентно повороту сигнала. Из кривых видно, что поворот сигнала вокруг своего центра тяжести сопровождается резким падением отношения сигнал/шум. Допустимые углы поворота не должны превышать 5,5° для квадрата и 7° для карты, если задаться 50% допустимым уменьшением отношения сигнал/шум.
З а к л ю ч е н и е
Согласованная пространственная фильтрация, реализуемая с помощью Г С Ф, находит широкое применение при создании оптико-электронных устройств обнаружения и распознавания, а также в различного рода корреляторах. Но сравнению с другими системами когерентные оптические системы обнаружения и распознавания, использующие Г С Ф, не требуют сканирования входных изображений, допускают в значительных пределах смещения распознаваемого образа на входе системы параллельно самому себе, допускают в небольших пределах изменения размеров (±5÷10%) и ориентации (±3÷5%) распознаваемого образа, позволяют регулировать степень селективности между образами путём изменения частотной характеристики Г С Ф, позволяют определять координаты распознаваемого образа во входной плоскости.
Недостатком рассматриваемых систем согласованной пространственной фильтрации является относительная сложность введения в систему подлежащей обработке информации, особенно при необходимости работы в реальном масштабе времени. Эти трудности связаны в основном с использованием в настоящее время в качестве носителя информации фотоплёнки, которая требует сравнительно длительной фотохимической обработки и не допускает повторной записи. Однако успехи, достигнутые в разработке новых носителей информации для систем оптической обработки (термопластические и фотопластические материалы, фотохромные плёнки и кристаллы, электрооптические и жидкие кристаллы и др. материалы), позволяют надеяться, что эта трудность будет преодолена в ближайшем будущем.
Л и т е р а т у р а
1. Л.Д.Бахрах, Г.А.Соболев. Оптическая обработка инфориации. Согласованная фильтрация изображений. Материалы i Всесоюзной школы по голографии. Л-д, стр.322-341, 1971.
2. Г.А.Соболев. Оптическая согласованная фильтрация (методика
эксперимента и приложения). Материалы i i Всесоюзной школы по
голографии. Л-д, стp.200-208, 1971.
3. Дж.Гудмен. Введение в фурье-оптику. "Мир", М., 1970.
4. Г.Л.Турин. Согласованные фильтры, "Зарубежная радиоэлектроника". №3, стр.30-63, 1961.
5. c.e.cook, m.bernfeld. radar signals. acad.press, n.y., 18, 1967.
6. Л.Катрона и др. Оптические системы фильтрации и обработка сигналов. "Зарубежная радиоэлектроника", №10, стр.3-30, 1962.
'7. a.kozma, d.l.kelly. spatial filtering for detection of signal submerged in noise. appl.optics, v.4, n4, 387-392, 1965.
8. a.vander lugt. signal detection by complex spatial filtering. ieee trans., it-10, v.2, n4, 139, 1964.
9. a.vender lugt. practical consideration for the use of spatial carrier-freq. filters. appl.optics, 5, 11, 1760, 1966.
10. h.m.smith. principles of holography. wiley intersci., n.y., 206, 1969.
11. a.vander lugt. the effects of small displacements of spatial filters. appl.optics, 6, 7, 1221, 1967.
12. Вандер Люгт, Ротс, Клустер. Считывание символов с помощью оптической пространственной фильтрации. "Зарубежная радиоэлектроника", №3, стр.53-67, 1968.
13. b.watrasiewics. effets of spatial coherence on the corelations spot intensity. optica acta, 16, 3, 321, 1969.
14. j.bulabois, a.caron, j.ch.vienot. selectivity hologram filters as a function of pass band characteristics. optics technology, aug., 192, 1969.
15. j.ch.vienot. applications de 1'holographie et du filtrage des frequences spatiales quelques problems d'optique coherente. l'onde electrique, 48, 492, 226, 1968.
