Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть U(x) - комплексная амплитуда светового поля в плоскости объекта, ограниченного апертурой [а, b]. Тогда комплексная амплитуда поля в некоторой плоскости, находящейся на расстоянии l от исходной, определяется формулой:

Как показано в работе [I], одно измерение интенсивности в плоскости l не позволяет восстановить исходное поле; для этого необходимо провести дополнительные измерения интенсивности либо использовать априорно известную информацию о поле. Исследуемый метод, описанный ранее в работе [2], основан на реше-

нии параксиального параболического уравнения для светового поля [3]:

Выразив F(x,l) через интенсивность и фазу: , получим

Здесь . Таким образом, можно восстановить фазу поля, зная распределение интенсивности и производной в некоторой плоскости. Кроме того, нужно знать граничное условие для производной фазы в некоторой точке x₀ . Как показано в

работе [2], его можно получить из измерений интенсивности, используя ее аналитическое продолжение в комплексную плоскость z = х + iy:

где z₀ =x₀ + iy₀ - нуль аналитического продолжения комплексного поля F(z,l). Отметим, что аналитическое продолжение интен-

сивности имеет два сопряженных нуля -

и , из которых принадлежит F(z,l) , a - . Отметим, что только в случае, когда верхний предел интегрирования в (5) равен z₀, интеграл в (5) принимает вещественное значение, благодаря этому мы можем из этой пары выделить нуль, принадлежащий F(z,l).

В случае, когда z₀ = х₀ - вещественный нуль, выражение (4) можно привести к виду:

где n - число вещественных нулей на интервале [а,х] с учетом кратности. Производную можно заменить ее разностным аналогом, измерив интенсивность в двух близких плоскостях l и l+dl:

Данный метод был реализован в программе, написанной на языке Turbo Pascal. Комплексные распределения были представлены в виде массивов значений в 1024 точках. Прямое и обратное преобразования Френеля реализованы с помощью алгоритма БПФ Все интегралы вычислялись по формуле Симпсона. Аналитическое продолжение функций и осуществлялось с помощью полиномов Ньютона [4] в окрестности глобального минимума интенсивности, так как именно в этой области нуль F(z,l) располагается ближе всего к вещественной оси. Число узлов при интерполяции выбиралось равным 20. Нуль функции I(z) находился с

помощью итерационного метода Ньютона решения нелинейного уравнения I(z)=0:

Затем с помощью аналитического продолжения и по формуле

(5) рассчитывались значения C₀ для найденного и сопряженного

ему нулей I(z), а потом из двух значений выбиралось то, которое ближе всего к вещественному. После этого по формуле (4) вычислялась фаза.

Цель проведенных в данной работе численных экспериментов - оценка границ применимости описанного выше метода по l и Dl, а также исследование влияния шумов на точность восстановления фазы дальнего поля и поля в плоскости объекта. Выясним характер возникающих в ходе вычислений погрешностей. Во-первых, вследствие финитного характера дискретного преобразования Фурье возникает так называемый эффект Гиббса, который, в частности, выражается в появлении осцилляции амплитуды восстановленного поля. Существенные ошибки возникают в расчете по формулам (4)-(6) из-за неточного определения x₀ (что, в свою очередь, является следствием ошибок при интерполяции). Это выражается в появлении усредненного наклона восстановленного объектного поля по отношению к исходному. Использовалось объектное поле со ступенчатой амплитудой и фазой вида на апертуре [-а,а],

В первой серии экспериментов объектное поле восстанавливалось при различных значениях l. Наилучшее восстановление наблюдалось при значениях l от 20 до 450 мм, что соответствует значениям параметра l/D от 0.05 до 1.1 (среднеквадратичное отклонение амплитуды - 124 26% , фазы - 0.024 0.041) (рис. 1, с.68). Восстановление несколько ухудшилось при l от 500 до 5000 мм. (средне-квадратичное отклонение амплитуды - 204 43%, фазы - 0.084 0.191), но при этом сохранялась форма фазового профиля. Ухудшение происходило и при уменьшении l до 8 мм, а при

l > 5000 мм. и при l < 8 мм. адекватного восстановления не наблюдалось. Это согласуется с ранее проведенной теоретической оценкой [2], основанной на анализе функции корреляции между амплитудой и фазой. Отметим, что снижение информативности измерений в дальней зоне связано с тем, что распределение интенсивности становится подобным преобразованию Фурье объекта и при распространении не меняется.

Во второй серии экспериментов объектное поле восстанавливалось при фиксированном значении l = 200 мм. и меняющихся D_l. Оценка на максимально возможное значение D_l была получена ранее [2] из условия малости второго члена разложения функции I(x,l+ D_l) в ряд по D_l по сравнению с первым:

Увеличение D_l от 0.1 до 5 мм. не привело к заметному ухудшению качества восстановления (среднеквадратичное отклонение амплитуды - 16 ± 18%, фазы - 0.029 ± 0.035 1). При D_l = 15 мм. качество все еще остается удовлетворительным (среднеквадратичное отклонение амплитуды - 25%, фазы - 0.072 1), а при D_l / 15 мм., что по порядку величины приближается к теоретическому пределу, резко падает.

чувствительны к шуму значения , поэтому D_l выбиралось настолько большим, насколько позволяет теоретическая оценка. Результаты показывают, что шум J 0.3% практически не влияет на восстановление. При шуме 1% форма фазового профиля все еще воспроизводится. Таким образом, исследуемый метод показал довольно высокую устойчивость к шумам детектирования.

Видно, что интеграл в правой части этого выражения не что иное, как аналитическое продолжение в комплексную плоскость преобразования Фурье функции . На практике это преобразование реализуется с использованием астигматической оптики и может быть использовано для восстановления фазы по распределению нулей интенсивности полученного аналитического продолжения [I]. В настоящее время исследуются возможности этого метода.

1. Ферверда Х.А. Проблема восстановления фазы волнового фронта по амплитудному распределению и функциям когерентности // Обратные задачи в оптике. М.:Машиностроение, 1984. С. 21-41.

4. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука,1979.

Рис.2. Исходное и восстановленное объектное поле при l = 80 мм. и D_l=2.5 мм., отношение сигнал-шум = 100