Оптический образ в виде самосветящегося объекта или освещенного пространственно некогерентным излучением транспаранта наблюдают через пару решеток. При этом интерференционные полосы, возникающие вследствие эффекта Лау, модулируют изображение объекта, что математически можно представить как произведение распределения интенсивности по объекту I(х) на модулирующую функцию вида а + b cos ωх (рассматриваем для простоты одномерный случай), описывающую интерференционные полосы. Рассмотрим второе слагаемое I(х) b cos ωx в этом произведении. Оно интересно тем, что I(x) b cos ωx dx представляет собой Фурье- образ объекта. Если фотоприемник, расположенный позади решеток, интегрирует излучение, поступающее от всех точек объекта, то воспринимаемый им сигнал содержит Фурье компоненту F(ω) исходного образа I(х). Правда, таким способом можно зарегистрировать лишь одну Фурье- компоненту, а не Фурье-образ.

Пусть имеется пара соосных решеток H₁ и H₂ в виде зонных пластинок Френеля, расположенных на расстоянии D друг от друга (см. рис.2). Для простоты будем учитывать только +1-е порядки дифракции на решетках. Рассмотрим сходящуюся сферическую волну с центром в некоторой точке zo на общей оси решеток. В результате дифракции этой волны на решетке H₁ в +1-x порядках возникнут две сферические волны различной кривизны, каждая из которых продифрагирует на решетке Н₂. Мы рассмотрим пару двукратно дифрагированных волн, образованных сочетанием +1-го порядка дифракции на решетке H₁ с -1-м порядком дифракции на решетке Н₂ и -1-го порядка дифракции на решетке H₁ с -4-1-м порядком дифракции на решетке Н₂. Найдем условия, при которых обе эти волны будут иметь одинаковую кривизну, то есть сойдутся в общем центре.

Для зонной пластинки справедлива формула линзы, связывающая координаты восстанавливающего источника zo с координатами z₁ и z₂ его изображений, построенных в +1-м и -1-м порядках дифракции соответственно (начало координат находится в точке пересечения зонной пластинки с осью Z). Для решетки H₁.

где f - фокусное расстояние решетки Hi в 1-м порядке дифракции.

Две сферические волны с центрами z₁ и z₂, полученные в результате дифракции на решетке H, являются восстанавливающими для решетки Н₂. Координаты изображений z₃ и z₄, построенных этой решеткой, в системе координат, связанной с решеткой H₁, будут определяться соотношениями.

где δf - разница между фокусами решеток H₁ и Н₂.

Мы ищем условия, при которых волны, двукратно дифраги-рованные на решетках H₁ и Н₂, имеют одинаковую кривизну, то есть требуем, чтобы z₃ = z₄. Тогда

Будем полагать, что z₁ > Δ, z₂ > Δ θ f > δf. Β этих предположениях уравнение (5) может быть записано следующим образом

С учетом (1) и (2) выражение (6) упрощается

выражение (7) приобретает вид

Выполнение условия (10) обеспечивает совпадение кривизн обеих двукратно дифрагированных на решетках волн. Используя соотношение (10), с помощью формул (3) и (1) можно вычислить координату Z3 центра этих сферических волн.

Следует отметить, что полученный результат справедлив не только для осевой точки гз, но и для всей плоскости z = z₃. Это вытекает из того, что исходные формулы линзы (1), (2), если не рассматривать аберрации, справедливы и для внеосевых точек в пространстве предметов и изображений.

Таким образом, координата z₃ определяет положение плоскости z = z₃, при наблюдении из которой кривизны обоих двукратно дифрагированных на решетках волн совпадают. Эти волны, полученные делением общей первоначальной сферической волны, взаимно когерентны и образуют интерференционную картину.

Для описания этой картины рассмотрим процесс прохождения через решетки внеосевой сферической волны V(x), сходящейся в произвольную точку с координатой ξ в плоскости z = z₀. Распределение комплексной амплитуды этой волны в плоскости первой решетки представим как

где k - волновое число, А - амплитуда волны (для простоты рассматриваем плоский случай). Комплексное пропускание G₁ первой решетки в +1 -х порядках дифракции можно представить

где k₁ - волновое число волны, использованной при записи решеток H₁ и H₂ (предполагаем, что решетки изготовлены голографическим путем), f - фокусное расстояние решетки H₁ для волны с волновым числом k₁.

Перемножая V(x) и G₁(x), мы получим распределение комплексной амплитуды дифрагированных волн сразу за решеткой H₁. Далее следует учесть изменение кривизны этих волн на величину А зазора между решетками Н₁ и Н₂ и перемножить полученные распределения амплитуды волн на комплексное пропускание G₂ второй решетки. В результате получим распределения амплитуд V₁ и V₂ двух интерферирующих волн сразу за второй решеткой. Мы приводим конечный результат, опуская громоздкие промежуточные преобразования

Волны V₁ и V₂ представляют собой две сферические волны, сходящиеся в плоскости z = z₃ вблизи точки ξ,. Эти волны отличаются друг от друга лишь вторыми экспонентами, фаза которых линейно зависит от х. Интерферируя, эти волны образуют распределение интенсивности I

пропорциональна координате ξ, то есть величине смещения точки наблюдения от оси z. Следует отметить, что величина ω не зависит от длины волны, так как входящие в (17) величины k₁ и f являются величинами, фиксированными при записи решеток H₁ и H₂. Таким образом, наблюдаемые интерференционные полосы будут ахроматическими.

Для простоты мы рассматривали лишь одномерный объект. Нетрудно показать, что в общем случае интерференционная картина, наблюдаемая в плоскости z = z₃, будет представлять собой эквидистантные параллельные полосы, перпендикулярные линии, соединяющей точку наблюдения с точкой z₃. Пространственная частота этих полос равна

где x,h - координаты в плоскости наблюдения.

Действительно, найдем распределение интенсивности I₁ в плоскости наблюдения z = z_з, вызываемое объектом, имеющим распределение интенсивности I₀ и расположенным в плоскости первой решетки H₁. На основании (16) с точностью до постоянного множителя

Второе слагаемое представляет собой косинусоидальный интеграл

Фурье от распределения интенсивности по объекту I₀(х). то есть плоскость наблюдения z = z₀ является Фурье плоскостью по отношению к плоскости объекта H₁. Задача состоит в том, чтобы выделить указанное слагаемое из общей суммы I₁(ξ). Физически это возможно сделать, если управлять фазой модулирующих интерференционных полос. Пусть I₁(ξ) - исходное распределение интенсивности в плоскости наблюдения, a I₁( ξ) - распределение интенсивности в этой плоскости, полученное при изменении фазы модулирующих полос на π. Тогда на основании (19)

Tаким образом, разность двух распределений интенсивности I₁-I₂ пропорциональна косиносному интегралу Фурье от распределения интенсивности по объекту I₀.

Физически менять фазу модулирующих полос без изменения их частоты возможно лишь путем изменения начальной фазы полос, составляющих структуру одной из решеток H₁ или Н₂. Например, можно разделить решетку H₁ на 4 сектора, в каждом из которых начальная фаза полос отличается на π /2 от фазы полос в соседнем секторе. При вращении этой решетки вокруг оси Z сектора последовательно будут устанавливаться против решетки Н₂ и фаза модулирующих полос будет меняться на π /2 при каждой смене сектора. При этом в соответствующие моменты времени необходимо регистрировать распределения интенсивности в плоскости наблюдения. Такая регистрация может осуществляться матрицей фотоприемников, сопряженных с компьютером, проводящим последующую обработку информации.

Действительно, рассмотрим сходящуюся сферическую волну с центром, имеющим координаты (ξ, ,z₀). Проходя через решетку H, эта волна в + 1-х порядках дифракции восстановит две волны, у которых осевые координаты центров z₁ и z₂ определяются формулой линзы (1), (2), а поперечные координаты ξ ₁ и ξ ₂ определяются из линейных соотношений

Пусть величины A, z₀ и δf связаны соотношением (10). Тогда две восстановленные волны, дифрагируя в свою очередь на решетке H₂, в +1-х порядках дифракции дадут волны с координатами (ξ₃,z₃) и (ξ,z₃). Аналогично (21)

Учитывая, что Δ“z₁, z₂, а также что z₃ ~ z₀, из (22), используя (21), получим

Относительное поперечное смещение центров двух волн с учетом (8) равно

Таким образом оказалось, что центры двукратно дифраги-рованных волн, сходящихся в области наблюдения, имеют взаимное смещение вдоль радиуса, проведенного от оси Z в точку наблюдения, причем величина смещения пропорциональна величине

ξ ύтого радиуса, то есть рассмотренная нами пара соосных зонных пластинок действует как интерферометр радиального сдвига.

Известно [4], что в картине интерференции двух волновых полей на выходе интерферометра радиального сдвига отображается функция пространственной когерентности исходного волнового поля. В соответствии с этим рассматриваемый нами интерферометр радиального сдвига, в принципе, позволяет регистрировать функцию пространственной когерентности волнового поля, формируемого объектом в плоскости наблюдения. Этот вывод, естественно, согласуется с представлением о том, что плоскость наблюдения z = z₃ является Фурье плоскостью по отношению к плоскости объекта, и в ней же формируется Фурье- образ от распределения интенсивности по объекту. Действительно, согласно теореме Ван- Циттерта- Цернике, функция пространственной когерентности поля в дальней зоне является Фурье преобразованием от распределения интенсивности по объекту.

В других терминах зарегистрированное в плоскости наблюдения z = z₃ распределение интенсивности можно трактовать как Фурье голограмму интенсивности, полученную в излучении с низкой когерентностью.

1. Patorski X. // Appl. Opt. 1985. V. 24. N 4. Р. 2448-2453.