1. Введение

Экспериментальные исследования пространственных структур, описанные в [3,6-9], были проведены с учетом широко распространенного СО₂ лазера. Однако теоретические выкладки выполнялись для двухуровневой модели активной cреды. В данной работе делается попытка рассмотрения пространственных структур в СО₂ лазере с учетом дополнительных вращательных уровней молекулы СО₂.

Целью работы является рассмотрение стационарных и динамических структур в лазере с оператором преобразования поля, а также исследование влияния вращательных уровней молекулы СО₂ на динамику образования пространственных структур.

2. Моды резонатора с преобразованием поля

Рассмотрим устойчивый однонаправленный резонатор (рис.1) из двух сферических и двух плоских зеркал 1, 2, 3, 4. Поместим в него призму 5 и телескоп 6. Обозначим через А_о, В_о, С_о, D_o, элементы волновой матрицы полного обхода.

· Поворот поперечного сечения поля. С помощью призмы при каждом обходе поперечная картина распределения интенсивности поворачивается на угол q . Такие резонаторы хорошо известны [5], однако не исследовались на предмет образования пространственных динамических структур.

Его решение ищем в виде спиральных волн: U_c(r ,j ) = A(r ) e^ilj . Учтя, что множитель не зависит от переменных интегрирования, получим выражение для частот мод

Отсюда видно, что при q ¹ 0 снимается вырождение по частоте между модами l и -l. Вид поперечного распределения остается таким же. Из (2) следует, что с помощью призмы можно осуществлять плавную перестройку частот мод (с индексами l ¹ 0 ). Моды А_qpl и А_qp-l имеют теперь различные частоты и их комбинация может рассматриваться как структура, вращающаяся с частотой W , равной разности частот мод:

· Изменение масштаба в М раз. Прохождение света через телескоп описывается волновой матрицей

При q ¹ 0 видно, что для совмещения по частоте различных поперечных мод угол поворота должен быть пропорционален . При М¹ 1 значения нужного угла можно просто регулировать изменением коэффициента увеличения в пределах, когда резонатор остается устойчивым.

3. Пространственные структуры в лазере с преобразованием

3.1. Динамические уравнения.

Здесь D ^ - поперечный лапласиан, учитывающий пространственные эффекты; a - коэффициент усиления поля на единицу длины; c ( r ) - поперечная конфигурация равновесной инверсии населенности; g ^ , g _|| - поперечная и продольная скорости релаксации; D _at - параметр отстройки частоты генерации w от атомной частоты перехода w _at :

F(z=0,r ,ф,t) = R F(z=L ,r ,ф-q ,t) (10)

Подставляя разложение по модам (9) в (6), учтем ортогональность мод и то, что они удовлетворяют уравнению (6) при a =0 (в отсутствии cреды). Использовав также тот факт, что моды А_pl являются модами резонатора с поворотом поля, получим уравнения для коэффициентов мод:

Это уравнение по виду полностью совпадает с полученным в [3]. Однако под А_pl здесь понимаются моды резонатора с поворотом поля, которые имеют другие частоты.

3.2. Двухмодовое решение.

здесь d _pl добавка к частоте моды, отличная от нуля если частота моды не совпадает с центром линии усиления.

Коэффициенты мод (l_1¹ l₂) в адиабатическом приближении вблизи порога удовлетворяют системе уравнений:

Коэффициенты a _{i ,} b _{i ,} J равны (i = 1,2):

3.3. Особенности системы с поворотом поля.

Существенной особенностью, отличающей систему с повотором поля от рассмотренных в [3], является то, что подбором

Частотно-вырожденное семейство из бесконечного числа мод. При угле поворота q =-arccos (A_o), l>0 частота перестает зависеть от индекса l. Наблюдается вырождение по всем азимутальным индексам, чего не бывает в лазере без поворота поля. В этой связи возникает интересная новая проблема о структуре поперечного распределения поля, образованного бесконечным числом частотно-вырожденных мод. В этом случае возможно развитие различных пространственных неустойчивостей или хаотические режимы.

Взаимодействие мод А_о1 и А_о-1. Картина поперечного распределения интенсивности этих мод демонстрирует вращение с угловой скоростью W (3). Распределение интенсивности в различные моменты времени показано на рис.2. Исследование на устойчивость такого решения показывает, что оно не является устойчивым ни при каких значениях угла поворота. Однако численный анализ, проведенный за пределами адиабатического приближения, демонстрирует возможность такого режима.

4. Пространственные структуры в СО₂ лазере с уточненой

Уточнение модели среды при описании СО₂ лазера сводится к переходу от идеализации двухуровневой cреды к более сложной модели, учитывающей реальную структуру энергетических уровней молекулы СО₂.

Рассмотрим модель, аналогичную исследовавшейся в [10-11]. Вращательные подуровни, относящиеся к одному колебательному уровню объединены в одну группу. Каждая группа состоит из J вращательных подуровней. Генерация происходит на двух выделенных уровнях, которые на рис.4 вынесены из общей группы вращательных подуровней. Фактически такая схема может рассматриваться как четырехуровневая.

4.1. Динамические уравнения

4.1.1. Возможность уменьшения размерности задачи

Как показано в [11], число уравнений, описывающих динамику СО₂ лазера в плоско-волновом приближении может быть

уменьшено. Для доказательства этого за пределами плоско-волнового приближения введем малый параметр , и сделаем следующую замену переменных:

Здесь Q имеет смысл средней инверсии населенности. R описывает отклонение от ее среднего значения. Введем также. При этом можно показать, что скорость релаксации х существенно больше скоростей релаксации

переменных f_pl , W и сделать соответствующее адиабатическое приближение. Возвратившись к старым переменным, получим:

S_pl,_rs - интегральный оператор, введенный для удобства: .

4.2. Влияние вращательных подуровней молекулы СО₂

4.3. Численное моделирование динамики СО₂ лазера.

Для исследования процесса развития пространственных структур в лазере нужно рассматривать уравнения (23-25). Рассмотрим динамику двухмодового решения на примере взаимодействия мод А_о1 и А_о-1. Для численного решения использовалось разложение Q по модам и метод Рунге-Кутта 4 порядка с коррекцией шага.

· Влияние J на динамику мод при q = 0. Частоты мод при отсутствии угла поворота поля равны. Двухмодовое решение из

· Изменение динамики при увеличении угла поворота поля. При q ¹ 0 моды находятся на различном расстоянии от центра линии усиления и, следовательно, имеют различные условия для выживания. В результате выживает та мода, которая расположена ближе к частоте атомного перехода.

5. Обсуждение результатов.

Число вращательных подуровней влияет на скорость установления стационарного значения системы. Режим переключений между модами А_о1 и А_о-1 исчезает при увеличении J.

ЛИТЕРАТУРА