Введение

Широкое применение средств вычислительной техники для анализа и обработки изображений привело к тому, что рассмотрение информационных характеристик оптических систем проводится следующим образом [1,2]. Все изображение разбивается на информационные точки, каждая из которых соответствует минимально разрешаемому системой размеру; учтя, что каждая такая точка может иметь некоторое число градаций по яркости над шумом, можно записать общее количество информации, содержащейся в изображении, согласно классической формуле Шеннона.

1. Степени свободы

Строгое определение числа степеней свободы оптической системы и метод его вычисления для традиционных оптических систем даны в работах [7-10], которые являются, как отмечено в [6], лишь переводом на язык оптики классических работ по теории протяженных сфероидальных волновых функций. Рассмотрим, следуя [11], теорию степеней свободы. Для простоты будем рассматривать одномерный случай, хотя обобщение на случай двух

Пусть одномерный предмет протяженностью L , находится в центре системе координат, освещается когерентным, линейно-поляризованным светом. Изображение, формируемое оптической системой, имеющей аппаратную функцию h(x), описывается, при обычных предположениях [12], уравнением свертки:

где x и y - координаты в плоскостях изображения и предмета, соответственно, i(x)- амплитуда поля изображения и о(у)- амплитуда поля предмета.

Поскольку обычно (в случае изображающих систем) ядро h(x) эрмитово, то решения уравнения (2) составляют набор из N ортогональных собственных функций Ф_n(x), соответствующих действительным собственным значениям (n=1,2,...N). Будем в дальнейшем называть собственные функции уравнения (2) модами оптической системы или модами изображения, формируемого конкретной оптической системой. Зависимость собственных значений от номера n степени свободы будем называть распределением степеней свободы для данной оптической системы.

Хотя набор {Ф_n(x)} в общем случае не полон в интервале {-1/2, 1/2}, можно выразить функцию предмета о(x) в виде ряда:

В уравнении (3) функция R(x) представляет собой ту часть предмета, которую можно выразить в терминах функций

Ф_n(x), только при n> N. Поэтому R(x) можно рассматривать как решение уравнения (2), соответствующее собственным значениям l =0. Вообще говоря, R(x) соответствует той части информации, которая есть в предмете, но отсутствует в изображении. Ясно, что чем больше значение N , тем больше информации передается системой. Подставив уравнение (3) в уравнение (4) , учтя уравнение (2). получим:

Таким образом, изображение полностью описывается набором из комплексных величин l _nb_n , что соответствует 2N степеням свободы. В случае оптической системы, состоящей из линзы диаметром D c фокусным расстоянием F , при расстоянии от предмета до линзы S , уравнение (1) имеет вид

где c=p LD/(2Sl ). Связанное с ним интегральное уравнение,

хорошо известно [10]. Его собственные значения, распределенные как ступенчатая функция [13], показаны на рис.1 в зависимости от номера степени свободы. Поведение l _i таково, что модуль ½ l _i½ остается равным единице, пока i < 2c/p , и очень близок к нулю при i > 2c/p . Таким образом. общее число степеней свободы такой системы равно 2× 2c/p и, как будет ясно из дальнейшего, при определенных условиях, не зависит от уровня шума, если величина 2c/p > > 1, так как тогда число степеней свободы, имеющих 1> l _i> 0, пренебрежимо мало. Собственными функциями уравнения (7) являются протяженные сфероидальные функции S_oi(c,x), которые можно апроксимировать выражением [14]:

где H_i - i-ый полином Эрмита и k_i - нормировочная постоянная.

Рис.1

Шум, присутствующий в системе формирования изображения, определяет тот уровень, превышение которого собственным значением показывает, что данная степень свободы является значимой для данной оптической системы. Математически процедура определения числа степеней свободы в присутствии шума описывается следующим образом [15]. Пусть поле предмета имеет шум n(y):

где o_o(y) - поле предмета без шума. Применяя ту же процедуру, что и раньше, можно разложить шум в изображении n(x) по модам изображения без шума (это, кстати, означает. что шум в

Выберем величину N_e таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку [10]:

Величину N_e , которая минимизирует e , называют эффективным числом степеней свободы оптической системы с данным уровнем шума. Коэффициенты для шума n_k определяются только статистически, поскольку n(x) - случайная функция. Коэффициенты для разложения предмета тоже определяются статистически, если учесть то, что предмет принадлежит какому-то классу статистических объектов. Если предмет и шум не коррелируют друг с другом (что в оптических системах является далеко не всегда верным, хотя бы из-за переотражений), то:

где угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций. Первое из уравнений (13) означает полное отсутствие априорной информации о предмете. На основе этих предположений можно показать. что N_e определяется величиной l _Nl, равной

Поэтому максимальное число степеней свободы N_e оптической системы с шумом определяется из собственных значений уравнения (2) и отношения сигнал-шум s _{o/ s n}.

это связано с тем. что ядро уравнения (1) имеет различный вид в зависимости от степени когерентности освещения. Физически это означает, что в системе с некогерентным освещением существенна только интенсивность излучения. а не его амплитуда. Поэтому в уравнении (1) аппаратную функцию h(x) следует заменить на h²(x) , если освещение некогерентно. Поскольку функция h(x) является Фурье-образом функции амплитудного пропускания зрачка оптической системы [12], то такая замена означает, что для описания оптической системы при некогерентном освещении необходимо использовать функцию автокорреляции амплитудного пропускания зрачка системы. Распределение собственных значений в зависимости от номера степени свободы для обычных оптических систем при некогерентном освещении предмета имеет треугольную форму (т.е. имеет место примерно линейное уменьшение величины собственного значения с ростом номера моды изображения [15] ).

2. Теорема Габора.

При анализе информационных характеристик оптических систем основную роль играет теорема отсчетов Шеннона, поскольку она позволяет перейти от непрерывных функций к дискретным информационным характеристикам, необходимым при обработке на современных ЭВМ. Габор [16] при помощи этой теоремы сформулировал теорию формирования изображения в матричной форме, и затем он же [17] сформулировал следующую теорему как обобщение теоремы отсчетов для оптики: "Предположим, что площадь предмета, большая по сравнению с квадратом длины волны, ограничена черным экраном. Предположим также, что есть подобное ограничение в плоскости апертуры на большом расстоянии от предметной плоскости. Тогда в области, ограниченной этими двумя черными экранами, существует N независимых решений волнового уравнения:

которые говорят, что решения равны нулю сразу позади экрана, а N есть:

Здесь x,y- координаты в предметной плоскости, cosa _x è cosa _y - косинусы направления геометрических оптических лучей и где h- постоянная Планка.

Общего доказательства этой теоремы самим Габором опубликовано не было и позже выяснилось, что такое доказательство в общем случае представляет значительные трудности, если оно вообще возможно. Доказательство этой теоремы для некоторых практически важных случаев приводится в [18,19]. В [18] дана точная оценка числа независимых решений для круглой и кольцевой апертур и для апертуры общего вида. Смысл теоремы Габора состоит в том, что число N является инвариантом оптической системы. Скорее иллюстрация, чем доказательство, такой инвариантности основывается на аналогии с законами фотометрии [20].

F = ВАW (18)

Поскольку фотометрическое пропускание оптической системы определяется ее конструктивными параметрами, то число N также будет инвариантом этой системы по отношению к различным входным предметам. Таким образом, любая модификация системы, не влекущая за собой изменения фотометрического пропускания системы, не изменяет информационных характеристик системы (т.е. числа N), но может перераспределять соотношение между ними, например, пространственными и временными характеристиками).

Основную сложность при применении теоремы Габора представляет оценка числа N. В [18] показано. что для апертуры любого вида:

Второе слагаемое в уравнении (20) показывает, что в случае малых значений N(N~ 1) теорема Габора не применима [18] - в этом случае для описания поля изображения требуется членов больше, чем N. Это обстоятельство в некоторой степени объясняет большие информационные возможности спекл-интерферометрических систем, имеющих из-за малой апертуры не очень большое число степеней свободы.

Соотношение между пропусканием t и числом степеней свободы N позволяет установить физический смысл собственных значений. соответствующих модам оптической системы [20]. Каждая мода ортогональна к другой моде, т.е. набор N мод образует базис для разложения поля как в предметном пространстве, так и в пространстве изображения. Энергия, переносимая каждой из мод, максимальна. Это означает, что оптическая система имеет максимальное пропускание для моды Ф₁, максимально возможное пропускание для моды Ф₂, совместимое с ее ортогональностью к Ф₁ и т.д. Величины амплитудного пропускания системы для каждой из мод определяются величиной l _i , причем все l _i положительны и не превышают единицы. Полагая, что распределение собственных значений l _i имеет "чисто ступенчатую" форму, можно записать, что . Тогда:

где l - длина волны излучения. Из последнего выражения следует, что хотя математически разложение в уравнении (5) требует бесконечного числа членов, но с физической точки зрения члены с достаточно большими значениями n содержат так мало энергии, что ими можно пренебречь. Отметим, что поток l _n, переносимый модой изображения Ф_п, должен стремиться к нулю с ростом п , т.к. пропускание любой оптической системы необходимо конечно. Отсюда следует, что безошибочное восстановление предмета на основе уравнения (5) физически невозможно, поскольку невозможно точно определить коэффициенты при больших п из-за присутствия шума. С другой стороны, снижение уровня шума и

Для определения информационных характеристик оптической системы необходимо точное значение величины N, поскольку пропускная способность в битах равна числу мод системы. Если предположить, что все величины l _k имеют одинаковое значения до k< N_e, а затем они все равны нулю, то точка "отсечения" будет соответствовать максимальному значению общего числа степеней свободы:

поскольку (23)

Уравнения (22) и (23) устанавливают соотношение между фотометрическим пропусканием и общим числом степеней свободы. Необходимость введения множителя (1/l ₁) следует из того, что нейтральный фильтр плотности, помещенный в оптическую систему, меняет только амплитудное пропускание системы, но не число степеней свободы [20]. Случай, когда l _k =1 до k=N_l, а затем все l _k =0, является идеальным и на практике не встречается, поэтому уравнения (22) и (23) можно использовать только как грубую апроксимацию для реальных систем.

На рис.2 показан график распределения величин l _i в зависимости от номера степени свободы i , точка N_e соответствует уравнению (22). Число, отличных от нуля степеней свободы N_S , отсекаемых величиной N_e ,

определяет точность теоремы Габора применительно к данной системе, а соотношение между N_e и N_S определяет пределы применимости этой теоремы. Если N_S> N_e, то в разложении требуется больше членов, чем это следует из фотометрического пропускания

Определение распределения степеней свободы представляет собой, конечно не самую простую задачу, но ее можно решить один раз и далее пользоваться. Для некоторых конкретных случаев, эти вычисления были проделаны. Для цилиндрической линзы с аппертурой D и D’ в ее передней и задней фокальных плоскостях было найдено [22], что при больших N_e :

l _n ~ { 1 + exp[(n-N_e)/2ln1/2p N_e]}-1 (25)

где - N_e = (1/l ) DD¢ /F. (26)

Все значения l _n очень близки к единице для n_e< N_e и почти равны нулю для n > N_e, а число точек в переходной области порядка ln N_e. В случае квадратных апертур прямое обобщение этого результата тривиально. Случай круглых апертур также рассмотрен в [21] и дает качественно также же результаты.

В [22] на основе теоремы Габора установлена связь между максимальными пространственными частотами, пропускаемыми оптической системой и степенями свободы изображения, формируемого этой системой. Оптическая система предполагалась имеющей прямоугольную апертуру и поверхность изображения также являлась прямоугольником с размером L_x и L_y. Для расчета делается предположение, что распределение амплитуд в плоскости предмета повторяется с периодичностью L_x и L_y в направлениях x и y. Это предположение не влияет на конечный результат, так как

где - предельные пространственные частоты, пропускаемые оптической системой в направлениях x и y , соответственно.

степеней свободы в интервале частот D n за время D t. Окончательно общее выражение для всего числа степеней свободы можно записать в виде:

Для L_{x¦ x¢} > > 1 и L_{y¦ y¢ > >} 1. что всегда имеет место, если применима теорема Габора, получим

где W=¦ _{x¢ ¦ y¢} /p ² - ширина полосы пространственных частот, пропускаемых системой, S = L_xL_y - площадь предмета. В проведенных рассуждениях неявно предполагается пороговое поведение l _к по отношению к номеру к. Это следует из того, что в уравнениях (27) и (28) используются пространственные частоты до опре-

деленного точного предела ¦ _x¢ и¦ _y¢ , что и позволяет вычислять общее число степеней свободы. Таким образом, этот расчет проведен в рамках теоремы Габора и требует, следовательно, чтобы выполнялось N_e > > N_S. В случае традиционных оптических систем (с прямоугольной или круглой апертурой) это означает, что N_e > > lnN_e.

На основании уравнения (31) были предложены и реализованы различные схемы "сверхразрешения", т.е. увеличения разрешающей способности (W) за счет сокращения полезной площади S предмета, либо уменьшения числа временных степеней свободы N_e. О перераспределении степенной свободы имеет смысл говорить, когда распределение можно считать прямоугольным (имеющим пороговый характер) (рис.3). При малом числе степеней свободы основную роль будет играть изменение самого числа степеней свободы, поскольку в этом случае условия теоремы Габора не выполняются.

Рис.3

3. Спекл-структура и степени свободы

Рассмотрим описание процесса образования спекл-картины в изображающей системе на основе теории степеней свободы оптического изображения. Рассмотрим схему получения спекл-изображения предмета, показанную на рис.4. Возьмем на поверхности шероховатого предмета две точки А и В, причем точка А лежит точно в плоскости о(x_o), а точка В отстоит от нее на расстоянии R_z вдоль оптической оси системы. Наблюдение спекл-картины, образованной предметом с таким профилем рельефа,

Рис.4

проводится в плоскости i(x_i). Из формулы линзы ясно, что резкое изображение точки В - точка В_i будет отстоять от плоскости изображения на расстоянии R_zi которое можно вычислить по известной формуле Ньютона. Используя концепцию степеней свободы можно найти моды изображений как для плоскости, отстоящей от объектива на расстоянии d_i, так и для плоскости, отстоящей от объектива на расстояние (d_i + R_zi). При этом результирующее распределение интенсивности излучения в плоскости изображения будет результатом интерференции мод, возбуждаемых в системе точками предмета А и В. Понятно, что моды, соответствующие плоскости, в которой находится точка В_i, в плоскости наблюдения будут расфокусированы. Формально математически это будет означать, что собственные значения для этих мод в плоскости наблюдения будут иметь комплексное значение. Поскольку вычисление мод изображения из ур.(2) представляет собой достаточно сложную математическую задачу, то нахождение конкретного вида распределения излучения, обусловленного модами плоскости (d_i + R_zi) в плоскости a _i, с помощью передаточной функции свободного пространства может явиться математически неразрешимой задачей.

Поэтому, определим вид мод изображения плоскости (d_i + R_zi) в плоскости d_i c помощью оператора дефокусировки где k=2p /l W_2o - коэффициент дефокусировки и [28]. В первом приближении мода Ф_n(х_i), принадлежащая плоскости (d_i + R_zi), будет иметь вид в плоскости наблюдения:

Пусть оптическая система имеет функцию зрачка P (x). Учтя, что R_{z< <} d_o , воспользовавшись выражением для аппаратной функции h(x_i,x_o,R_z) такой системы [12] и при условии, что расстояние d_o соответствует серединной линии профиля рельефа предмета и имеет место формула линзы, получим:

Используя конкретный вид функции h(x_i,x_o,R_z) и ур. (2) можно найти функцию Ф_n(x_i,R_zi) согласно ур. (32). В результате несложных, но громоздких математических вычислений, в рамках принятых приближений, получим, что :

как это обычно и бывает на практике, и с использованием оценочных величин для интегралов типа ур.(35)-(36), показывает, что Ф_n(x_i,R_z) имеет довольно сложный функциональный вид. Оставляя в явном виде зависимость этой функции от апертуры D системы и R_z , и учтя, что [ 29]

где

а A_n, B_n, C_n, E_n, H_n, K_n, L_n, N_n - коэффициенты независящие от R_z и D , но зависящие от номера моды изображения n, параметров оптической схемы и конкретного вида функции Ф_n(x_i).

только из-за определенного профиля предмета R_z(x_o), но и из-за свойств оптической системы (D). Если это становится возможным для достаточно простой гауссовой функции зрачка, то еще более сложная ситуация будет возникать при наличии функций зрачка с резкими границами апертуры. Следует также учесть, что физически невозможно реализовать оптическую систему, обладающую только одной степенью свободы.

Изображение i(x_i) в плоскости наблюдения можно записать в виде (45)

Таким образом , поскольку спекл-структура возникает из-за шероховатости предмета, то мы не можем говорить о плоскости изображения в смысле классической оптики. Спекл-структура это порождение принципиальной трехмерности объекта и результата интерференции нескольких ансамблей мод, каждый из которых имеет различное местоположение плоскости изображения на оптической оси системы. Основной вклад в спекл-изображение в данной плоскости наблюдения дают моды, соответствующие плоскостям, находящимся в пределах глубины резкости первой плоскости. Правильнее сказать, что само спекл-пятно (или центральная часть спекла [30]) формируется в результате интерференции достаточно "резких" мод, имеющих явно выраженную пространственную структуру. Поскольку мода - это есть поле световой волны, охватывающая всю площадь изображения, то и статистика, свойственная неровностям поверхности предмета, передается через оптическую систему и визуализируется в виде спекл-пятен, имеющих ту же статистику.

4. Заключение

Поскольку данная работа является первым изложением о возможности применения теории степеней свободы в спекл-оптике, если не считать [31], то следует сформулировать (хотя бы попытаться) методические преимущества этого подхода по сравнению с традиционными. Мода изображения - это, можно сказать, такое предметное поле, которое не меняет своей пространственной структуры при прохождении через оптическую систему. Поэтому анализ прохождения сложного волнового фронта заменяется на его разложение по модам системы и простую операцию умножения коэффициентов разложения на пропускание для данной моды. Таким образом, все трудности анализа конкретной системы переводятся в процедуру вычисления ее мод, но это достаточно сделать один раз. Анализ информационных характеристик оптических систем приобретает, можно сказать, алгебраический оттенок. Кроме того, становится возможным проведение топологического анализа волнового фронта и выяснение причин возникновения его сингулярностей.

ЛИТЕРАТУРА

24. В.Н.Морозов, Ю.М.Попов. Голографическая память большой емкости с синтезированной апертурой - Квантовая электроника, 1976, 3 ,с. 2325- 2336.

25. А.Н.Малов, В.Н.Морозов, И.Н.Компанец, Ю.М.Попов. Регистрация Фурье-голограмм в оптической системе с синтезированной апертурой.-Квантовая электроника, 1980, 7, с. 282-289.