Media-security

РЕШЕНИЕ ФАЗОВОЙ ПРОБЛЕМЫ НА ОСНОВЕ МОДИ-ФИЦИРОВАННЫХ МЕТОДОВ ФАЗОВОГО КОНТРАСТА И

ФАЗОВЫХ ШАГОВ.

Н.Г. Власов, С.Г. Каленков, А.В. Сажин

В методах оптической обработки информации, ставших уже классическими, фильтр пространственных частот, например, комплексный согласованный фильтр Ван-дер Люгта, помещается в Фурье-плоскости оптической системы, на выходе которой получают окончательное, обработанное изображение. Однако в последние годы прослеживается тенденция более перспективного и в то же время более сложного подхода, заключающегося в многошаговой фильтрации исследуемого сигнала - последовательной, как в алгоритме Гершберга-Сэкстона [1], или в одновременной цифровой обработке нескольких независимых результатов фильтрации, как в методе фазовых шагов [2].

В настоящей работе предлагается обобщенный метод фазового контраста, основанный на названном выше принципе и позволяющий, по нашему мнению, достичь заметного прогресса в решении фазовой проблемы.

Напомним, что метод Цернике предназначен для визуализации прозрачных фазовых объектов, комплексная функция амплитудного пропускания которых имеет вид e^ij
(x,y), где описывающая пространственное распределение фазы функция j (x,y) < < 1. Визуализация достигается за счет двойного преобразования Фурье объектного волнового поля с фильтром пространственных частот, изменяющим фазу пространственной частоты

w =0 , либо на + p /2, либо на - p /2. Соответственно, визуализированное изображение объекта наблюдается на светлом, либо на темном поле, причем пространственное распределение интенсивности в плоскости изображения прямо пропорционально j (x,y).

С современной точки зрения метод Цернике представляет собою, хотя и для очень ограниченного частного случая, идеальное решение фазовой проблемы. Рассмотрим существенно более общий случай волнового поля, описываемого комплексной амплитудой a(x,y), в котором j (x,y) - произвольна, а ограничение накладывается только на соотношение интенсивностей объектного волнового поля и его нулевой пространственной частоты, обсуждаемое ниже.

Следуя каноническому выводу [3] выражения, описывающего обобщенный метод Цернике, запишем исследуемое волновое поле в плоскости изображения в виде:

U(x,y) = [a(x,y) e^ij
(x,y) - b] + be e^ia (1)

где b - амплитуда нулевой пространственной частоты, а второй сомножитель e e^ia во втором члене правой части (1) описывает действие фильтра пространственных частот. Обозначение координат в плоскостях предметов и изображений совпадают, так как волновые поля, рассматриваемые в фазовой проблеме, как правило достаточно далеко удалены от источника и их спектры пространственных частот, как и для большинства фазовых объектов, представляющих практический интерес, достаточно узки и передаются оптической системой без искажения. Нетрудно показать, что распределение интенсивности I(x,y) в плоскости изображения равно:

I(x,y) = | a(x,y) |² + b² + b^2e
2 + 2a(x,y)be cos[j (x,y) - a ] -

- 2a(x,y)b cos j (x,y) - 2 b^2e
2 cos a . (2)

Очевидно, что при a(x,y)=1, j (x,y) < < 1 и b=1 выражение (2) тождественно выражению, описывающему метод Цернике. Отметим также, что в уравнении (2) модуль нормированной функции взаимной когерентности g ₁₂(x,y,t ) предполагается равным единице. Действительно, t =0 в силу таутохронных свойств линзы, а для волновых полей, достаточно удаленных от источников, область пространственной когерентности разрешается оптической системой и построение изображения происходит также, как и в случае полностью когерентного освещения. Как и в методе фазовых шагов, получим не одно, а несколько распределений интенсивности в плоскости изображения, считая для упрощения e =1:

I_o(x,y) = | a(x,y) |² , (3)

I₁₌b², (4)

I₂(x,y) = | a(x,y) |² +2 b² + 2a(x,y)b sin j (x,y) -

- 2ab(x,y) cos j (x,y) , (5)

I₃(x,y) = | a(x,y) |² - 2b² + 2a(x,y)b sin j (x,y) -

- 2ab(x,y) cos j (x,y) , (6)

где I_o(x,y) - интенсивность нефильтрованного изображения,

I₁ - интенсивность нулевой пространственной частоты,

I₂(x,y) и I₃(x,y) - интенсивности, соответствующие сдвигу фазы на + p /2 и на - p /2 соответственно. Все пространственные распределения I_i(x,y) вводятся в ЭВМ для последующей обработки. Простые алгебраические вычисления приводят к следующему уравне-

нию, определяющему пространственное распределение фазы: (7)

Как видно из уравнения (7), полученный результат может быть применен как для решения фазовой проблемы, так и для визуализации фазовых объектов с произвольным значением фазы.

Возможно несколько вариантов оптических схем, реализующих рассматриваемый метод. Первый из них является усложненным экспериментом Цернике, заключающемся в последовательном помещении в фокальную плоскость оптической системы необходимых фильтров пространственных частот. Другой - в установке между плоскостями предметов и изображений равноплечного интерферометра Майкельсона, одна ветвь которого, как и в методе фазовых шагов, содержит пьезозеркало для сдвига фаз и пропускает только нулевой порядок, а другая - весь остальной спектр пространственных частот. Общим недостатком этих вариантов является достаточно трудоемкая юстировка оптической схемы. Если спектр пространственных частот достаточно узок, его можно мультиплицировать с помощью дифракционной решетки, помещенной вблизи плоскости предметов и получать по одному из значений I_i(x,y) в каждой из мультиплицированных (N+1) копий.

Обсудим теперь допустимые соотношения между интенсивностями нулевого порядка и остального спектра пространственных частот. Практика показывает, что метод фазовых шагов надежно работает вплоть до контраста k изображения (интерференционных полос) равного 0,1. Как известно, k~ Ö I_1×
Ö I₂. Таким образом, названное соотношение интенсивностей может изменяться в 10²раз. Так, в уравнении (2) показано ослабление интенсивности нулевой частоты.

Очевидно, также, что точность восстановления фазы рассматриваемым методом совпадает с методом фазовых шагов, положенного вместе с методом Цернике в его основу. По литературным данным, точность метода фазовых шагов, в зависимости от конкретных условий, в долях периода равна 10^-2¸10^-3 для волновых полей, не зашумленных спекл-эффектом и 10^-1¸10^-2 в его присутствии [4,5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Обратные задачи в оптике /под ред.Г.П.Болтса. М.:"Машиностроение", 1984 .

2. Reid G.T. Opt. and Laser Eng., 1986, v.7 , №7, pp.53-68.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, М.: Наука, 1973.

4. G.R.Slettemoem, J.C.Wayant, JOSA, 1986, v.3, №3, pp.210-214.

5. R.Dandliker, K.Thalmann, Opt.Eng., 1985, v.24, №5, pp.824-831.