О РАСШИРЕНИИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ

Э.П.Казанджан, В.С.Сухоруких

При использовании методов голографической интерферометрии возникают осложнения в тех случаях, когда в системе интерференционных полос имеется разрыв, сгущение или какие-нибудь другие особенности, мешающие проследить за ходом полос по всей картине. Обычно используемый в таких случаях приём (ахроматические полосы/1-3/) здесь затруднителен.

Покажем, что информация, получаемая с помощью ахроматических полос, часто может быть получена и другим путём - расчётным, при этом используется только картина в монохроматическом свете с привлечением тех или иных сведений об исследуемом объекте. Суть предложения в том, что рассчитывается разность хода для двух лучей, соответствующих некоторым точкам, лежащим в разных областях интерференционной картины, после чего распределение оптической длины пути света во всей исследуемой области находится так же, как обычно.

Продемонстрируем действие предлагаемого способа на практически важном примере - интерференционных измерениях при исследовании потока с отошедшей ударной волной, отделяющей исследуемую область от невозмущённой с постоянной плотностью ρ_∞ ( рис.1).

Примем прямоугольную систему координат xyz(рис.2); ось х -направление набегающего потоке, ось z- направление просвечивания. Интерференционная картина наблюдается в плоскости, параллельной плоскости xy; настройка на полосы конечной ширины, перпендикулярные оси х. Контур Г- изображение ударной волны. Рассмотрим некоторое сечение x=const, перпендикулярное оси х, проходящее через середину тёмной интерференционной поносы вне контура Г. Точка a₂-пересечение середины этой полосы с контуром Г. Выберем внутри Г тёмную интерференционную полосу, середина которой пересекается с отрезком x=const в точке А₁ , близкой к точке А₂.

Рис.1.

Разность оптических длин путей для лучей 1 и 2 (первый проходит через исследуемую область, второй - через невозмущённую) равна

ℒ

где α=const, b и c- координаты точек В и С пересечения луча 1 с контуром γ - ударной волной в плоскости х = const, а безразмерная плотность ρ*=ρ/ρ_∞. Ввиду специального выбора точек А₁ и А₂ (в серединах тёмных полос) величина ℒ кратна длине световой волны λ, т.е. ℒ=кλ, где к- целое число. В рассматриваемом примере для нахождения искомой величины к, используем, кроме интерференционной картины в монохроматическом свете форму контура γ (определяется по фотографиям интерференционных картин, получаемых

при разных направлениях просвечивания потока /3/) и распределение плотности ρ* на контуре γ (ξпределяется по форме ударной волны с помощью известных соотношений газодинамики /2/).

Аппроксимируем распределение ρ*(z) на отрезке ВС двухпараметрической функцией f(z,a₁,а₂) тогда:

где неопределённые коэффициенты a₁ и a₂ находятся из систем

уравнений:

f(b,a₁,a₂)= ρ*(b); f(c,a₁,a₂)= ρ*(c). (2)

Найдя a₁ и а₂, определяем затем из (1') искомую величину k . В соответствии с вышесделанным замечанием рассчитанное значение k округляется до ближайшего целого числа, а образовавшееся отклонение "списывается" на погрешности измерений.

Если аппроксимировать ρ*(z) функцией большего числа параметров, чем два, то знания величин ρ*(b) и ρ*(с) недостаточно для определения коэффициентов аппроксимации, однако систему уравнения типа (2) можно замкнуть, вводя какое-либо дополнительное допущение, например, связывающее распределения ρ*(z) на отрезке bc и ρ*(γ) на соответствующей дуге /3/.

В асcимметричном случае (когда контур γ- (окружность радиуса r) задача существенно упрощается, так как от аппроксимации по z можно перейти к аппроксимации по радиальной координате, причём эта аппроксимация распространяется на все лучи, прошедшие через отрезок А₁А₂, а не только на луч, прошедший через точку А₁,. Соотношение (1) принимает вид:

где y_i - расстояния от середин тёмных интерференционных полос до оси симметрии х, k_i - целые числа, меняющиеся на единицу при переходе к соседней полосе.

Выбрав аппроксиммирующую функцию для ρ*(r) и проинтегрировав (1"). получим уравнения, связывающие k_i и коэффициенты аппрок-

симации. Так как из всех k_i, можно считать неизвестным только одно (остальные через него элементарно выражаются), то число этих уравнений должно быть на единицу больше числа коэффициентов аппроксимации. Нахождение любого из чисел k_i решает поставленную задачу.

Знание распределения ρ*(γ) упрощает решение задачи, но отнюдь не является обязательным. В осесимметричном случае знание величины ρ*(r) позволяет получить связь между коэффициентами аппроксимации, что даёт возможность уменьшить на единицу количество уравнений, необходимых для замыкания решаемой системы. В трёхмерном случае незнание распределения ρ*(γ) может быть скомпенсировано, например, наличием какой-либо предварительной информации /3/ о характере распределения ρ* в сегменте, ограниченном лучом 1 и контуром γ (рис.2).

Предложенный способ прошёл практическую проверку, которая заключалась в том, что рассчитанные значения k контролировались с помощью интерференционных картин в белом свете, сфотографированных одновременно с картинами в монохроматическом свете. На основании опыта, накопленного в процессе проведённой проверки, а также теоретического анализа погрешностей разработана методика интерференционных измерений при газодинамических исследованиях. Используемые в ней формулы основаны на линейной аппроксимации ρ*(z) в осесимметричном случае и параболической аппроксимации ρ*(z)-в трёхмерном. Методика может использоваться в тех случаях, когда интерференционные картины получены с плоской волной сравнения. К ним относятся, например, интерференционные картины, получаемые о помощью интерферометра Маха-Цендера; картины, получаемые методом теневых интерференционных полос /4/; картины, получаемые о помощью интерферометров сдвига /5/ (участки, где взаимодействуют деформированный и плоский волновые фронты). Применение данной методики в проведённых расчётах давало такие же результаты, что и использование картин в белом свете.

Рис.2.

1. Осесимметричное течение (рис.3)

1. Выбирают сечение х = const , перпендикулярное оси симметрии и проходящее через середину тёмной интерференционной полосы в невозмущённой области.

2. В точке a₂ пересечения ударной волны с выбранной прямой х=const вычисляют скачок плотности /2/:

где ψ- угол ударной волны с осью x, k - показатель адиабаты, М_∞- число Маха невозмущённого потока.

3. Выбирают две тёмные интерференционные полосы, проходящие вблизи ударной волны и пересекающиеся с прямой х=const в точках А₀ и А₁. Отрезок А₁А₂ должен быть таким, чтобы внутри него

зависимость плотности от радиальной координаты была близка к линейной. Длины отрезков a₀a₂ и a₀a₁ должны по крайней мере в 3-5 раз превышать погрешность измерения этих длин.

4. Измеряют расстояния от точек А₂, А₀ и А₁ до оси х, соответственно, r , y₀, y₁ . Результаты измерений приводят к масштабу натуры.

5. Определяют величину |δ| - увеличенное на единицу число тёмных интерференционных полос, пересекающих прямую x= const между точками А₀ и А₁ (например, если через точки А₀, и А₁ проходят соседние полосы, то |δ|= 1). Знак величины δ, связанный с первоначальной настройкой интерферометра (положительный или отрицательный клин интерференции), находят обычным образом.

6. Вычисляют коэффициент

где ρ˚ и n˚ - плотность и показатель преломления газа при нормальных условиях.

7. Вычисляют величину

и округляют её до ближайшего целого числа k_ц . Величину λk_ц полагают равной разности оптической длины пути для луча, прошедшего через точку А₁, и луча, прошедшего через невозмущённую область течения.

8. По значению величины λk_ц в точке А₁ и интерференционной картине в монохроматическом свете находят распределение оптической длины пути во всей исследуемой области так же, как обычно.

2. Трехмерное течение (рис.2,4).

1. Используют совокупность фотографий интерференционных картин, поученных при различных направлениях просвечивания, характеризуемых углами φ_j. /3/. Правой и левой сторонам каждой фотографии соответствуют углы φ_j и φ_j+180°.

2. На фотографии интерференционной картины, полученной при направлении просвечивания характеризуемым углом φ₁, выбирают сечение х= const , перпендикулярное скорости невозмущённого потока (оси х) и проходящее через середину тёмной интервенционной полосы в повозмущенней области (правая часть картины).

3.В точке А₂ пересечения ударной волны с выбранной прямой х=const вычисляют скачок плотности по формуле (3).

 

 

 

 

Рис.4.

 

4. Операции, указанные в п.п.3,4 для правой стороны фотографии, выполняют для левой стороны той же фотографии (где φ= φ₁+180°)

5. На всех фотографиях интерференционных картин используемой совокупности проводят сечение х = const , выбранное в п.2, и выполняют операции, указанные в п.п.3,4.

6. По полученным значениям ρ*(φ_j) строят график ρ*(φ) .

7. По совокупности фотографий интерференционных картин определяют форму ударной волны в выбранном сечении х = const - контур γ.

8. В правой части фотографии (где φ= φ₁ ) выбирают тёмную интерференционную полосу, проходящую вблизи ударной волны и пересекающую прямую x = const в точке А₁. Расстояние А₁a₂ должно быть по возможности малым, но не должно превышать погрешность его измерения в 3-5 раз. Здесь и ниже все результаты измерений приводят к масштабу натуры.

9. Из точки О проводят луч φ= φ₁. Проводят нормаль mn к этому лучу, касающуюся ударной волны и пересекающуюся с ним в точке А₂.

10. На луче φ= φ₁ откладывают отрезок А₁a₂. Через точку А₁ проводят нормаль к лучу φ₁, пересекающую ударную волну в точках В и С. Измеряют длину l хорды ВС .

11. Соединяют прямой точки o и А_r- середину отрезка ВС, а затем продолжают эту прямую до пересечения с ударной волной в точке А. Измеряют углы φ_a , φ_b и φ_c, соответствующие лучам ОА , oВ и ОС.

12. По графику ρ*(φ) νаходят величины ρ*(φ_a), ρ*(φ_b), ρ*(φ_c). Полагают /3/, что ρ*(a)≈ ρ*(a₀).

13. По формуле (4) вычисляют коэффициент ε .

14. Вычисляют величину

и округляют её до ближайшего целого числа k_ц. Величину λk_ц полагают равной разности оптической длины пути для луча, прошедшего через точку А₁, и луча, прошедшего через невозмущённую область течения.

15. По значению величины λk_ц в точке А₁, и интерференционной картине в монохроматическом свете находят распределение оптической длины пути во всей исследуемой области так же, как обычно.

16. Операции, указанные в п.п.2-15, повторяют для каждой фотографии интерференционной картины имеющейся совокупности.

Очевидно, что для расчёта величины k, вообще говоря, может быть выбрани любое сечение х = const , но желательно выбирать его там, где невозмущённый поток наиболее равномерен, т.е. соответствующая интерференционная полоса прямая. Кроме того, расчётное сечение х = const лучше выбирать на периферии течения, при этим уменьшается:

1) относительная погрешность снятия линейных размеров;

2) погрешность определения угла ψ(который здесь почти постоянен);

3) расхождение реального распределения плотности с аппроксимационным.

Для контроля получаемого результата полезно провести расчёт для нескольких различных сечений х = const с каждой стороны интерференционной картины. Отметим, кстати, что обычно по одной картине можно выполнить расчёт несколькими десятками вариантов (варьируя и сечение, и расчётные полосы, а иногда и вид аппроксимирующей функции или количество уравнений). В тех случаях, когда по какой-либо причине случайные погрешности измерений слишком велики, это обстоятельство весьма существенно, так как даёт возможность уточнения результата путём привлечения тех или иных статических соображений.

 

 

 

 

 

 

 

Л и т е р а т у р а

 

1. А.Н.Захарьевский. Интерферометры, М. i952.

2. Г.В.Липман, А.Рошко. Элементы газовой динамики. М., 1960.

3. С.М.Белоцерковокий, В.С.Сухоруких, В.С.Татаренчик. Определение поля плотности пространственных газодинамических течений на основе оптических методов. Журнал прикладной механики и технической физики, № 3, 1964.

4. В. С. Сухоруких, Э.П.Казанджан. Об улучшении метода теневых интерференционных полос. Журнал "Приборы и техника эксперимента", № 1, 1969.