i(p)=c₀i(p')|γ(p₀,p,τ)|², (1)

где i₀(p') освещённость объекта во время экспонирования; Р₀ -точка падения пучка на голограмму при восстановлении; Р' точки объекта; Р- точки восстановленного изображения; |γ(p₀,p,τ)|² -модуль функции пространственно-временной когерентности волн, исходящих на точек Р₀ и Р; С₀ - постоянный коэффициент, зависящий от схемы голографирования и свойств фотоматериала, на котором фиксируется голограмма.

При выводе выражения (1) предполагалось, что получение голограммы осуществлялось с помощью лазерного пучка, а в качестве объекта исоольвовался диффузно рассеивающий экран. Из этого соотношения видно, что яркость восстановленного изображения зависит от пространственно-временной когерентности лазерного пучка и освещённости объекта, которая, в овою очередь, зависит от мощности источника излучения. Таким образом, важнейшими характеристиками лазеров, используемых в голографии, является когерентность и мощность излучения.

где i₁, i₂ - интенсивности колебаний в двух точках v₁(t+τ), v₂(t)-аналитические сигналы поля в этих точках в моменты времени t+τ и t, соответственно.

где a_ijq, А_pes, ω_ijq, ω_pes, ψ_ijq, ψ_pes - амплитуды, частоты и фазы типов колебаний; m , n и q- индексы поперечных и продольных мод.

Подставляя (3) в (2), можно получить выражение для комплексной степени когерентности между двумя произвольными точками Р₁ и Р₂ в луче лазера, работающего в многомодовом режиме.

где p_mn - суммарная мощность продольных типов колебаний, принадлежащих данному поперечному; Н_m и h_n- полиномы Эрмита, описывающие распределения поля в поперечном сечении луча;

; ; x_i и y_i - координаты точки p_i;

-параметр, определяющий размер пятна;

- радиус кривизны волнового фронта луча;

z - расстояние от плоскости наблюдения до плоскости, где сечение луча минимально;

- радиус эквивалентного конфокального резонатора; ω₀ - центральная частота спектра; с - скорость света; ; r₁ и r₂ - радиусы кривизны зеркал; l - расстояние между зеркалами. Из этого выражения видно, что комплексная степень пространственной когерентности двух произвольных точек поля p₁ и Р₂ зависит от числа и типа генерируемых колебаний. В случае генерации низших поперечных типов колебаний ТЕМ₀₀ и ТЕМ₀₁, для которых дифракционные потери, как правило, наименьшие, выражение (4) существенно упрощается. Задаваясь определённой закономерностью расположения точек в пучке, можно получить Функциональную зависимость γ(x), которая, не давая полной картины о когерентности лазерного излучения, тем не менее несёт большую информацию о его когерентных свойствах. Одной из простейших закономерностей является такая, при которой отверстия в интерферометре Юнга раздвигаются симметрично от центра пучка. При этом из выражения (4) получим:

где a=p₀₁/p₀₀.

На рисунке представлены зависимости |γ(p₁,p₂,0)|_x от расстояния между точками при различных a. Как видно из рисунка, |γ(p₁,p₂,0)|_x =1 во всём пучке только при генерации одного ТЕМ₀₀ типа колебаний, а небольшая добавка ТЕМ₀₁ типа колебаний значительно ухудшает пространственную когерентность.

В голографии принято считать, что для получения высококачественных голограмм требуется |γ(p₁,p₂,τ)| ≥ 0,9, поэтому требование высокой пространственной когерентности |γ(p₁,p₂,0)| ≥ 0,9 сводится к требованию одномодовой (одна "чистая" поперечная) или почти одномодовой работе лазера (чаще всего режима генерации ТЕМ₀₀ типа колебаний).

где α=n , 2М , 3n и т.д. В интервале 0<π<2l/c |γ(τ)| принимает (n-1) раз значения, равные нулю, и (n-2) раза достигает максимумов, величины которых меньше единицы и зависят от числа генерируемых частот n.

Часто для простоты временная когерентность излучения характеризуется не поведением функции γ(τ), а длиной когерентности l_к. При этом под длиной когерентности понимают максимальную разность хода между интерферирующими волнами, при которой | γ(τ)|≥0,9 (в интервале до первого минимума). Воспользовавшись выражением (5), получим значение длины когерентности

Из соотношения (7) видно, что для увеличения длины когерентности излучения необходимо при фиксированной длине резонатора лазера уменьшать число одновременно генерируемых частот. Это достигается введением дополнительных потерь (например, разъюстировкой зеркал резонатора), уменьшением усиления (например, регулировкой тока накачки ) и применением различных методов селекции, о случае, когда расстояние между частотами Δω'=c/2l, l_k ≈c/nΔω а для одночастотного режима генерации l_k ≈c/Δω, γде Δω - ψирина линии излучения. Отсюда следует, что наибольшую длину когерентности имеют лазеры, генерирующие одну частоту.

Такии образом, требование высокой временной когерентности |γ(τ)|≥0,9 при достаточно больших τ в голографии равносильно требованию одночастотнооти режима работы лазера.

В таблице приведены характеристики ряда газовых лазеров, выпускаемых отечественной промышленностью или подготавливаемых к выпуску. Вначале отметим многомодовые приборы, имеющие низкую пространственную когерентность. К ним относятся "Вымпел", ЛГ-55, ЛГ -56. ЛГ-45, ЛГ-75, ЛГ-86, ЛГ-169, генерирующие на длине волны = 0,63 мкм; ЛГ-116, ЛГ-65 - на 1,15 мкм; ЛГ-75А - на 3,39 мкм;

ЛГ-106, генерирующий на двух длинах волн (одновременно 0,48 мкм и 0,51 мкм); ЛГ-187 - на 10,6 мкм и ЛГ-126, в которой предусмотрена перестройка генерации на одну из трёх длин волн: 0,63 мкм, 1,15 мкм или 3,39 мкм. Кроме этого, один из вариантов приборов ЛГ-36, ЛГ-36А и ЛГ-38 также предусматривает работу в режиме многих поперечных типов колебаний. Несмотря на недостаточно высокую пространственную когерентность излучения, данные лазеры можно применять в голографии; правда, при этом необходимо использовать специальные голографические схемы /6/.

отметить малогабаритные приборы ЛГ-55, ЛГ-56 и ЛГ-45, которые могут использоваться как для юстировки отдельных узлов голографических схем, так и в качестве источника излучения для самого процесса голографированмя, и приборы с повышенной мощностью ЛГ-36, ЛГ-36А, ЛГ-38. Успешному применению этих лазеров в голографии способствует достаточно большая длина когерентности (l_к≈20 см).

Наибольиую мощность среди газовых лазеров видимого диапазона в настоящее время имеет ЛГ-106, который может генерировать на двух длинах волн одновременно (λ=0,48 мкм и λ=0,51 мкм). Генерация двух и более длин волн, как показано в /8/, сильно уменьшает длину когерентности (l_к≈0,01 мм), что затрудняет использование ЛГ-106 в голографии. Для выделения одной из линий на пути пучка необходимо ставить дифракционную решётку или призму с большой дисперсией. При этом длина когерентности излучения на каждой линии возрастает до 5-7 см, а мощность падает не более, чем в два раза.

(λ=1,15 μкм), ЛГ-75А (λ=3,39 μкм), ЛГ-126 (с переключением на одну из трёх длин волн) и в особенности ЛГ-187 (λ=10,6 мк) пока ограничивается отсутствием достаточно чувствительных регистрирующих материалов в данной спектральной области.

Необходимо заметить, что все вышеуказанные многомодовые газовые лазеры могут быть настроены в одномодовый режим teМ₀₀. Это можно осуществить разъюстировкой зеркал резонатора, уменьшением тока накачки или уменьшением диаметра ирисовой диафрагмы внутри резонатора (ЛГ-36, ЛГ-36А). При атом мощность излучения падает в 3-5 pas.

Несмотря на отсутствие в активном элементе окон под углом Брюстера в резонаторе лазера "Карпаты" одна частота имеет определённую стабильную плоскость поляризации, определяемую анизотропией зеркал и активной среды. Наибольшую мощность среди одночастотных газовых лазеров, приведённых в таблице, имеет ЛГ-159 (10 мвт), созданный па базе ЛГ-36А с ячейкой поглощении внутри резонатора.

Особое место занимают импульсные газовые лазеры. Длительность импульсов этих лазеров составляет сотни наносекунд при частотах повторения сотни гц. Эти лазеры имеют достаточно большую длину когерентносги (15-20 см) и могут успешно применяться для голографирования быстропротекающих процессов. Наиболее интересным среди импульсных газовых лазеров является ЛГИ-37, генерирующий одновременно на 7 линиях (λ= 0,43, 0,49, 0,51, 0,52, 0,53, 0,54 0,59 мкм). Мощность в импульсе на всех линиях 2,0 кнт. Этот лазер можно использовать и для получения цветных голограмм.