Поясним, как образуется такой скачок фазы. Рассмотрим газ в поле двух, распространяющихся вдоль оси z импульсов стоячей волны (Е₁ и Е₂ - амплитуда импульсов, w - частота поля, t - длительность импульсов, Т - промежуток между импульсами, причем t <Т):

Е(z,t)=2[e₁ƒ₁(t)+e₂ƒ₂(t-t)]coskzexp(-iw t)+k.c. (1)

Для нахождения дипольного момента в точке z, t решаются уравнения Шредингера для амплитуд вероятности нижнего а и верхнего b уровней:

Здесь – z_i=z-v(t-t_i) - координата атома в момент взаимодействия, v - проекция скорости атома на ось z, g(t)=g_{1¦ 1}(t)+g_{2¦ 2}(t-t), g=id_bae_i/ћ, t₁=0, t₂=t, d_ba - дипольный момент перехода, частоты w _ba, W =w -w _ba. Для амплитуд a_i и b_i после взаимодействия i-ым импульсом имеем (решая (2)

в линейном по g₁ и квадратичном по g₂ приближении):

b₁=2g_1t cosj ₁; a₁=1 (3)

d_e(t)=d_baexp(-iw _bat)cos[k(z-vt)]2g_1t (5)

Превоначально сфазированные диполи расфазируются за время (кΔv)^-1 где Δv - область скоростей атомов; это нарушит когерентность ансамбля. После 2-го импульса (t>t +t) для нелинейной добавки к d(t) получим:

+exp(iW t)}{2cos[k(z-vt)]+cos[k(z-u(t-2t))]} (6)

Из сравнения фаз в выражениях (5) и (6) при t=Т видно, что под действием 2-го импульса также происходит скачкообразная инверсия фазы ~ (kvt). После усреднения по скоростям эти члены с "доплеровской" фазой обеспечивают появление когерентного отклика газа в t=2Т - так называемый сигнал эха. Выражение в фигурных скобках в формуле (6), являющееся аналогом "временной" фазы ~ (W Т), состоит из двух слагаемых - содержащего и не содержащего инверсию фазы. После усреднения по скоростям из первого получается доплеровски уширенная подложка, а из второго - бездоплеровский резонанс - КИРП.

Рассмотрим теперь процессы, квадратичные по g₁ и линейные по g₂. Получаются выражения типа (3-6). Возникающему в этом случае скачку фазу соответствует локализация когерентного отклика в момент – Т, т.е. в прошлом. Это так называемое "мнимое" эхо /3/.

Квадраты амплитуд вероятности ï а_2ï ² и ï b_2ï ² для процессов ~g_1ï g_2ï ²:

-(2t cosj ₂)[1-2ï g_2ï ^{2t 2}cos^2j ₂][g₂^*e^{iW t}b₁+g₂e^{-iW t}b₁^*] (7a)

-(2t cosj ₂)[1-2ï g_2ï ^{2t 2}cos^2j ₂]b₁[g₂e^{-iW t}+k.c.] (7б)

Модуляция волновой функции ведет к модуляции макроскопических характеристик газа - заселенности уровней и поляризации среды. Известно, что в сильной стоячей волне в первоначально неполяризованном газе возникнут четные пространственные гармоники заселенностей уровней(с периодом λ/2m, где m - целое число) и нечетные гармоники поляризации с периодом λ/(2m+1)

Резонансная стоячая волна может служить эффективной дифракционной решеткой для нейтральных атомов. При рассеянии на стоячей волне из-за эффекта отдачи импульс атома меняется на величину ±ћk. При рассеянии на первой стоячей волне атомный пучок расщепляется на два когерентных пучка (в волновой функции возникают две компоненты Y ₊ и Y _-, соответствующие изменению импульса атома). При последующем рассеянии на второй - эти пучки совмещаются, и в точке их пересечения возникнет интерференционная картина. (В квадрате модуля волновой функции возникнет периодическая структура, а фаза ее за время t меняется скачком на величину d j =kvt+Δt, где 1-ое слагаемое дает доплеровский сдвиг частоты, а 2-ое - квантовая добавка к фазе)/4/.

В оптическом диапазоне объектами атомной интерферометрии могут служить (ca,na,mg,pb...), и при температуре в пучке ~ 300 К дифракционный угол q _d~10^-4. В таких пучках угловая расходимость q ~10^-2¸ 10^-3, поэтому пространственного

разделения не происходит. При условии q >q _d о волновых свойствах частиц можно судить лишь по возникающей из-за интерференции периодической структуры в пространственном распределении плотности атомов, т.е. по гармоникам плотности с периодом ~ λ. Такие гармоники могут наблюдаться в условиях эха.

Для компенсации большой фазы j _d можно использовать стоячие волны, разнесенные на расстояние l. Здесь, по аналогии со скачком фазы дипольного момента, происходит скачок фазы волновой функции поступательного движения атома, который и компенсирует j _d, и на расстоянии l возникнет четкая интерференционная картина, состоящая из гармоник плотности.

Скачок фаз в нелинейном дипольном моменте можно представить как пространственную модуляцию дипольного момента частиц, возникающую из-за пространственной амплитудной модуляции дипольного момента d₁ во втором поле. Но такую модуляцию можно осуществить, используя вместо полей стоячей волны две решетки, разнесенные на расстояние l с периодами L и L /2. В геометрической оптике известно, что при наложении теней от двух таких решеток на расстоянии 2l возникнет периодическая структура. В протяженном пучке частиц с угловой расходимостью q распространяющегося вдоль оси х, при 100% - модуляции пучка периодическая структура после 1-ой решетки с периодом L быстро разрушается из-за перекрытия пучков, исходящих из отверстий решетки. После прохождения через 2-ую решетку с периодом L /2 эта структура может быстро восстанавливаться в точке х=2l. Эта аналогия с теневым эффектом может оказаться полезной.

Рассмотрим, как возникают скачки фаз периодической структуры в пространственном распределении частиц. Пусть u и v - проекции скорости частиц на оси х и z. При свободном разлете функция распределения частиц по координатам и по углу q =v/u меняется по закону (для простоты будем считать u=const):

¦ (z,x+Δx,q )=¦ (z-q Δx,x,q ) (12)

¦ ₊(z,x,q )=λ(z)¦ _-(z,x,q ) (13)

где λ(z) - пространственное распределение пропускания решетки, ¦ _- и ¦ ₊ - функции распределения до и после прохождения решетки. Пусть решетка, расположенная при х=0, модулирует плотность по закону

λ₁(z)=a₀+a₁cos(kz) (14)

где k=2p /λ, а решетка, расположенная при x=l, имеет вдвое меньший период

λ₂(z)=a₀+a₂cos(2kz) (15)

При x<l и считая, что xq <<b, где b - размер пучка вдоль оси, из формул (12)-(13) получим:

¦ (x,z,q )={a₀+a₁cos[k(z-q x)]}¦ (z,0,q ) (16)

Видно, что при заданном q узлы периодической структуры на расстоянии x сместятся на величину q x, т.е. в периодической зависимости возникнет фазовая добавка

j ₀=kq x (17)

Ниже мы убедимся, что эта фаза (17) аналогична изменению фазы атомного диполя из-за доплеровското сдвига частоты.

Усреднение по углам приводит к тому, что в распределении плотности

¦ (z,x)=∫dq ¦ (z,x,q ) (18)

периодическая структура сохраняется лишь на расстоянии х£ λ/q . При больших х эта структура размывается.

Рассмотрим теперь действие второй решетки. При х>l

интересуемся добавкой к функции распределения вида (16):

=½a₁a₂[cos{k[z-q (x-2l)]}+cos{k[3z-q (3x-2l)]}] (19)

Первое слагаемое в квадратных скобках содержит по сравнению с периодической зависимостью (16) фазовый скачок – 2klq , который приводит к инверсии фазы в точке x=l. Компенсация этого скачка за счет линейного по х роста фазы происходит в точке эха при x=2l. В этой точке локализуется четкая периодическая структура, d ¦ (z,2l)=(½)a₁a₂cos(kz), копирующая распределение, возникшее непосредственно сразу после первой решетки.

Оценим возможности наблюдения в пучке частиц, когда используется разрешенный переход в бесструктурных частицах. Нижний уровень является метастабильным, и фазовая память переносится атомами только в этом состоянии. Пусть ширина перехода между уровнями Г больше обратного времени взаимодействия с полями, создающими решетки, и доплеровской ширины линии в пучке Г>>t ^-1, Г>>kv_0q . Эффективный гамильтониан двухквантового процесса возмущения нижнего метастабильного уровня (виртуально через верхний уровень) u=ï deï ²/ћ²(W +iГ) эрмитов при W >>Г, а вблизи резонанса - неэрмитов. Впервые скалярное уравнение Шредингера с таким гамильтонианом рассматривалось в /5/. Поэтому вблизи резонанса не сохраняется вероятность нахождения частицы на нижнем уровне. Физически это связано с наличием неупругого процесса перехода с нижнего метастабильного на другие метастабильные термы через верхний уровень. Из соответствующих уравнений для матрицы плотности имеем:

r ₊=exp{[-ï deï ²/ћГ]t }r _-

Поскольку e=2cos(kz), Е²=2(1+соs(2кz)), то

λ(z)=exp{-2Y (l+cos2kz)}, Y =[ï deï ²/ћ²Г]t (20)

В этом случае решетки могут быть выражены через модифицированные функции Бесселя i_j(х):

(14б)

, (16а)

(16б)

(16в)

Значения x_q, при которых фазы будут скомпенсированы, найдем из условия: -(2p q /L )[2m(x_q-l)-nx_q]=2p q,

Отсюда x_q=(2m-n)^-1[2ml-qL /q ] (21)

Для первых гармоник n=m=1 и q=0 имеем x₀=2l. Сравнивая этот результат с формулой (19) и обсуждением ее для теневого эффекта, замечаем, что в точке 2 происходит компенсация набегов фаз. Выделим эту плоскость и рассмотрим изображение в ней. При n=m=1 для x₀⁽¹⁾=2l:

Ф_nm=coskz+cos[k(3z-4lq )] (22)

Оценим вклад 1-ой гармоники в сигнал для пучка молекулярного иода на длине волны 5145 Å. Для линии А₂ по формулам /6/ можно получить значение дипольного момента d = 0,0032. Отсюда Y =0.9 и контраст картины порядка 10^-3 (для оценки использовались следующие значения параметров Г = 107 кГц. s = 30 мВт/см², t = 1o^-5 c. В газе, помещенном в ячейку, контраст интерференционной картины уменьшится примерно на порядок, поскольку "работают" только атомы из "дырки Беннета", но и это значение приемлемо для эксперимента

Обратимся еще раз к аналогии с теневым эффектом. Если пропускание решетки, расположенной в плоскости х₁, записать в виде (½)·[1+К₁х₁], то входное поле единичной амплитуды е₀=ехр(ia kx₁) непосредственно за решеткой принимает вид:

e(x₁)=(1/2)exp(ia kx₁)[1+cosk₁x₁] (23)

Здесь a - угол между направлением волнового вектора к и нормалью к решетке. Решетка 2 расположена в плоскости х₂. В плоскости наблюдения х₃ поле принимает вид:

(24)

Здесь 2a ₀ - ширина углового спектра поля, h(x_p,x_q) - импульсный отклик пространства между плоскостями x_p и x_q, h(x_p,x_q)= =exp(ikz_q)exp[ik(x_p-x_q)²/2z_q](iz_qλ)^-1. Выполнив интегрирование в (24), получим:

e(x₃)=[λ/z₁z₂(z₁+z₂)]^1/2exp[(ikx₃²/2(z₁+z₃)]{1+

+ехр[-ik₂²z₁z₂/2k(z₁+z₂)]соs[z₁x₃k₂/(z₁+z₂)]} (25)

Появление сигнала в плоскости x₃ соответствует сигналу эха. Видно, что условием изображения решетки 1 в плоскости x₃ являются:

k₁=k₂z₁/(z₁+z₂); (а) [k₂²z₁z₂/2k(z₁+z₂)]=np ; (б) (26)

(z₂k₁k₂/2k) = np (27)

Или, переходя к периодам решеток вместо (27), получим:

(λ/L ₂)/(L ₂/z₂) = n (28)

Это условие означает, что для формирования сигнала эха нужно, чтобы, угол дифракции на 1-ой решетке был кратен угловому размеру 2-ой решетки. Если L ₂<L ₁, то всегда найдется плоскость, в

которой воспроизводится гармоника с частотой, меньшей, чем у 2-ой решетки. Для воспроизведения М-той гармоники нужно, чтобы k₂z₁(z₁+z₂)^-1=mk₁, то есть пространственная частота 2-ой решетки должна быть минимум вдвое больше, чем у 1-ой, изображение которой получаем, или в четыре раза - для 2-ой и т.д. Известно, что получение решеток в субмиллиметровой области и с меньшими λ составляет проблему.

(L ₁/L ₂) = 1+ (z₂/z₁) (29)

Видно, что для z₂>О период 2-ой решетки должен быть меньше, чем у 1-ой, но не обязательно вдвое, как казалось из чисто геометрических соображений. Если L ₁<L ₂, то условие (29) выполняется для z₂<0, т.е. изображение 1-ой решетки возникает в отраженных пучках (между решетками 1 и 2). Это напоминает возникновение сигнала "мнимого эха".