Обобщение положений теории дифракции на случай однородной изотропной диссипативной среды (ОИДС) возможно при комплексном волновом числе =k₁+ik₂ (k₂>0, 2p k₂<<k₁), для которого уравнение Гельмгольца также имеет решение /1/. Функция Грина g ОИДС, определенная из уравнения Ñ ²g+²g=-4p d (), описывает экспоненциально затухающую расходящуюся сферическую волну;

g(r)=exp(-k₂r)·exp(ik₁r)·r^-1 r=ï ï (1)

где =(x ,h ,),=(x ',h ',₁) x ,h ,₁ - декартовы координаты, условие излучения Зоммерфельда выполняется строго.

z: x→y отображает пространство входов Х' x в пространстве выходов y' y. Такой подход широко применяется в когерентных

системах оптической обработки информации и в голографии, например, /2,З/, где z называется интегралом суперпозиции и записывается в виде

и легко обобщается на x ,x 'Î rⁿ. Это важнейшее соотношение теории линейных систем не имеет строгого обоснования для общего случая. Так, в литературе по когерентной оптике и голографии /2,3/ предложен следующий вывод (1):

где * - символ свертки. Последнее равенство далеко не очевидно, т.к. не вытекает из общих свойств свертки (например отображения, некоммутирующего со сверткой, - оператор увеличения функции), а ядро k(x ,x ')=zd (x -x ') требует определения. Ввиду важности (1) в линейной теории и, в частности, для когерентных оптических систем докажем, что имеет место свойство свертки с d -функцией: z(x*d )=(zd ,x) при надлежащем определении k(x ,x '), т.е. справедлива Теорема: Пусть l²э k(x ,x ')=zd _n(x -x '),x ,x 'Î (a,b), , z - линейный непрерывный оператор в l² и существует x*d , хотя бы в А', тогда операторы z и свертывания перестановочны.

Доказательство основано: 1) на строгом разложении обобщенной функции ¦ Î a' в ряд ¦ =, сходящийся в пространстве обобщенных функций a', {Y _i}_i¥ - полная ортонормальная система в l² собственных функций некоторого линейного самосопряженного дифференциального оператора /4/; 2) на теоремах и обозначениях /5/.

Рассмотрим линейный оператор j x=(k,x), d Î a' Þ

Þ d (x -x ')=(x )Y _i^*(x ')Þ k(x ,x ')z(x )Y _i^*(x ') и последовательность вырожденных ядер k_n(x ,x ')=(x ')zY _i(x ) → k(x ,x ') при n→∞ порождает последовательность j _n(x), такую, что ║j _n(x)-j (x)║£ ï k_n-kï ║x║→0 при n→∞. С другой стороны, j _n(x) = =(k_n,x)=z(x_{iY i})=zx_n, ║zx_n-zx║→0 при n→∞. Предельный переход в последнем равенстве при n→∞ дает j =z и z(x*d )=(z,d ,x)

v(x ,h ,)=exp(i)(2p i)^-1(x ',h ')exp{i[(x -x ')²+

+(h -h ')²](2)^-1}dx 'dh ' (3)

v(x ,h ,)=exp(-k₂)exp(ik₁)exp[-k₂(x ²+h ²)(2)^-1]exp[ik₁(x ²+

+h ²)(2)^-1] (2p i)^-1(x ',h ')exp[i(x +h )^-1]dx 'dh '

где интеграл определяет преобразование Фурье в комплексной области, сомножитель exp[-k₂(x ²+h ²)(2)^-1] обеспечивает существование (4).

Ф(x ₂)=bexp[(ix ₂²)(2f)^-1exp[(ix ₁²)(2f)^-1·

·exp[(ix _{1x 2})f^-1]dx ₁ (5)

где cэb=const - апертура оптической системы, x ₂f^-1=w _x+is _x - комплексная пространственная частота is _x обусловлено диссипацией световой волны, f - фокусное расстояние. Если в (5) перейти к временным переменным, то получаемая электрооптическая аналогия /2/ означает последовательный гетеродинный анализатор спектра (АС) "со сжатием" в узкополосном тракте, который переходит либо в последовательный гетеродинный АС, если k₁→0, либо в дисперсионно-временной АС при k₂→0, последнее соответствует

приведенной аналогии в /2/.

z_1,2=i(h± x )²(2)^-1. При больших ï zï =r и 0,25p <argz=q <0,5p

f(z)=(i0,5p )^0,5exp(z²)(m-1)![2^m+1z^2m+1]^-1+r_n, ï r_{nï £} [exp(r ²· ·cosq )(2n+1)!][2ⁿ⁺³2(2n+1)r ²ⁿ⁺¹sinq ]^-1, откуда следует, и это иллюстрируют численные расчеты, что с ростом ₂ уменьшается отклонение функции v(x ,h ,), вызванное дифракционной расходимостью, от параллелепипеда, основание которого - прямоугольный пьезо-преобразователь размерами hхℓ. Это подтверждает допустимость игнорирования дифракционной расходимости акустического пучка при существенной диссипации. Такая возможность аппроксимации акустического поля в среде АО взаимодействия позволяет получить аппаратную функцию спектрального прибора в самом общем виде /8/:

kx (x _2w ,W ',t)=z_sd (W -W ')=a₁exp[i(w +W )t]{i[w x ₂(cf)^-1+

+k₁(W ')+ik₂(W ')]x '}dx 'Û k_t(W ,W ',t)=a₂exp[i(w +W ')t] (6)

где W и w - круговые частоты звука и света, соответственно, t - время, x ₂ - координата в выходной плоскости, l - апертура, k₁= =W 'v_гр^-1(W '), f - фокусное расстояние, Сэa₁, a₂=const, t= lv_гр^-1· ·(W ^-1), W ₁'<W ₀'<W ₂', (W ₂'-W ₁') - полоса анализа. Согласно (2),

аппаратурный спектр динамического сигнала F x =(kx ,F ₀), F _t=(k_t,F ₀), F ₀(W ') - спектр анализируемого динамического сигнала, а k_t определяется наиболее общим видом интеграла, зависящего от параметра W '. Из (6) следуют важные вывода: kx ,t в форме (6) возможно лишь в линейном режиме АО-взаимодействия /8/, т.е. при известном снижении динамического диапазона d<d_o АО АС. Уменьшение l(k₂(W ')l), l<l₀, и сужение ΔW =W ₂'-W ₁'<ΔW позволяет пренебречь изменениями k₁(W ') и влиянием k₂(W ')x , тогда, в приближении тени для акустического поля в среде АО взаимодействия имеем k в виде /9/

k₁(W ,W ',t)=aexp[i(w +W ')t]sinc[(W -W ')0,5t],W ,W '=var (7)

где W =w vx ₁(cf)^-1 - временная спектральная частота, t=lvF ^-1 - время анализа /9/. Выражением (7) дается комплексная аппаратная функция идеального /9/ АО АС, вычисляющего мгновенный спектр F (W ,t), сомножитель ехр(·) определяет линейный фазовый член как результат анализа на нестационарном отрезке [t-0,5t,t+o,5t], а slnc(·) - спектр гармонического колебания, вычисленный за время Т. Соотношение (7) стало возможным при tΔW d0,5p ^-1=t₀ΔW ₀d₀0,5p , v, v₀ - объем сигнала.

АС с аппаратной функцией (7), где, t может быть как континуумом, так и счетным множеством {t_n} (результат анализа на нестационарном отрезке [t_n-0,5t,t_n+0,5t], назовем АС Фурье, если (7) возможно при адекватном уменьшении v₀, то kx (6) можно представить рядом, перейдя к безразмерным переменным и применив методы теории вытянутых волновых сфероидальных функций, как сделано в /10,11/, т.е.

где u (x ₂) и m (x ₂) - вещественная и мнимая составляющие безразмерной спектральной частоты. При этом F t (u +im ,t )=(k(u ,m ,h ,t )F ₀(h )).

Аппаратные функции АО АС (6),(7) получены, когда w =const, W '=var, если W '=W =const, w =w '= var, то получающееся соотношение определяет комплексную аппаратную функцию спектрометра оптического диапазона /11/. Это проявление "принципа

6. Москалец О.Д. Пространственные спектры комплексного аргумента в оптическом когерентном процессоре // v Всес.школа по оптической обработке информации. Тез.докл., Киев, 1984, С.31-32.

7. Карпов К.А. Таблицы функций f(z)=dx в комплексной области. М., АН СССР, 1958. 324 с.

10. Москалец О.Д. Накопление мгновенных спектров в радиоастрономии // iii Всес.конф. Метрологическое обеспечение антенных измерений. Тео.докл. Ереван,.1984, С.82-84.

11. Москалец О.Д. Об измерении энергетических спектров случайных процессов в радио- и оптическом диапазоне // ii Всес.симп. Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях. 1 секция. Тез.докл. Рига, 1984 – Л., 1984, с.60-66.

12. Москалец О.Д. Один из видов дифракции света на акустических волнах как билинейное преобразование // Материалы xii Всес.конф. по акустоэлектронике и квантовой акустике. Часть 1, Саратов. 1983. С.286-287