Рассматривается решение задачи восстановления фазы дифракционного поля по его амплитудному распределению в двумерном случае. Приводятся результаты исследований по восстановлению изображения при регистрации спектра с аддитивным амплитудным шумом и мультипликативным фазовым искажением объектного поля. Описаны также результаты обработки дифракционной картины, полученной в реальном эксперименте .

Данную задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть- ограниченная область. Требуется определить функцию f(х), f(x)Î l₂, в общем случае комплексную, по величине амплитуды |f(u)|, где

Здесь u и x - соответствуют декартовым координатам в спектральной и объектной плоскостях, соответственно.

Для решения задачи восстановления изображения объекта (амплитуды светового поля) широкое распространение получили итерационные алгоритмы, в частности, алгоритм сокращения ошибки /3/. Однако их эффективность существенно зависит от степени близости начального приближения к решению, наличия априорной информации и ее точности. Имеющиеся искажения приводят к снижению скорости сходимости процедуры, что, по существу, делает невозможным непосредственное использование этих методов для обработки реальных данных. Кроме того, такая информация, как размер носителя, как правило, отсутствует и оценивается по размеру автокорреляционного объектас низкой точностью. Поэтому возникает необходимость вычисления первоначальной оценки изображения для итерационной процедуры. Чтобы решить эту задачу нами предложено использовать в качестве начального приближения пробную функцию, полученную путем восстановления фазы с помощью двумерного амплитудно-фазового преобразования /4/. Возможность получения таких соотношений обусловлена тем, что функцию f(u), u=(u₁,u₂) можно аналитически продолжить в комплексную плоскость по каждой из переменных z₁=u₁+iv₁, z₂=u₂+iv₂ как целую функцию конечной степени /5/. Следует ответить, что амплитудно-фазовые соотношения в общем виде до сих пор не установлены. В случае, когда нули функции f(z₁,z₂) расположены только в одной полуплоскости каждого из переменных, т.е. при imz₁≤0, imz₂≤0, эти соотношения известны /6/:

В общем случае нет никаких оснований полагать, что такие условия выполняются достаточно часто. Тем не менее, двумерный случай имеет ряд специфических особенностей. Главная из них со -стоит в том, что множество нулей функций двух переменных f(z₁,z₂) в отличие от одномерного случая, представляет собой гиперповерхность в пространстве z₁хz₂ /5/. В этом случае положение нулей f(z₁,z₂) по переменным z₁ и z₂ связаны между собой и не могут перебрасываться независимо друг от друга в комплексно сопряженное положение. В результате применения соотношения (2) происходит переброс части нулевого множества, при этом формируется распределение, амплитуда и фаза которого связаны, но нули в области imz₁>0, imz₂>0 отсутствуют. Таким образом, в силу построения формируется целая функция, которая удовлетворяет тем же условиям, что и искомая, но не имеет нулей в заданной области. Это означает, что применение соотношения (2) позволит достигнуть приближенное восстановление изображения. Затем изображение можно скорректировать с помощью итерационной процедуры. Именно такой подход был использован нами.

где Ŧ - оператор преобразования Фурье. Это позволило обеспечить вычисление фазы, согласно выражению (2).путем применения алгоритма быстрого преобразования Фурье.

1. Вычислялось фазовое распределениепо известной величине амплитуды a(u) с помощью выражения (2);

ƒ₀(х)=Ŧ{a(u)}

Устанавливалось множество значений={x}, расположенных внутри носителя. При этом носитель определялся теми значениями х=(х,у), для которых f₀(х) повышала некоторое пороговое значение, которое в данной работе составляло около 0,1 от среднего значения А_ср величины амплитуды, удовлетворяющей, в свою очередь условию А(х)≥0,1¸ 0,2maх {f₀(x)}. Такой подход позволил сократить влияние случайных шумов на формирование исходного приближения. Значения f_о(x), оказавшиеся за пределом носителя, полагались равными нулю. Затем использовалась процедура алгоритма сокращения ошибки.

Здесь представлены результаты машинного моделирования качества восстановления изображения указанным алгоритмом при наличии шума. На рисунке 1 изображена зависимость величины среднеквадратичной ошибки восстановления от числа итераций при различном уровне аддитивного амплитудного шума. Параметр определяется отношением среднего значения амплитуды спектра модельного объекта к среднему значению шума. Влияние шума моделировалось путем добавления к амплитуде спектра |f(u)| случайной составляющей из соответствующего интервала (0,а) с равномерным законом распределения.

более высоком уровне шума сходимость мала. Однако задача еще может быть решена, если ввести предварительную фильтрацию для подавления высокочастотных флуктуации.

где (х)=2a, а принимает в каждой точке случайные значения равномерно из интервала (). Данная модель соответствует диффузно рассеивающему объекту. Рисунок 3 отражает типичный пример восстановления изображения модельного объекта (рис.За) после применения соотношения (2) (=0,6) и последующего выполнения 20 итераций - рис, 3б. Приведенные результаты свидетельствуют о высокой скорости сходимости рассматриваемой в данной работе процедуры. Узнаваемое восстановление достигалось после выполнения десятка итераций.

Указанная функция f₁(x) носит существенно комплексный характер. В последнее время в работах /7,8/ отмечалась возможность восстановления изображений подобных объектов. В /7/ однако для восстановления потребовалось выполнить свыше 1000 итераций при наличии точной информации о носителе. При этом показано, что небольшие погрешности в измерении его приводят к увеличению необходимого для достижения восстановления числа итераций в несколько раз. Носитель же, как правило, неизвестен. В /8/ удалось сократить количество итераций, требуемых для восстановления, не используя априорную информацию о носителе. При этом выбиралось начальное приближение заведомо близким к решению.

64х64 отсчета вводились в ЭВМ совместно с кривой почернения фотопленки. Как видно из приведенного рисунка, дифракционная картина не обладает центральной симметрией, что свидетельствует о том, что объектная функция f(x) является комплексной.

a) б)