Задача восстановления фазы световой волны в некоторой плоскости по распределению интенсивности, зарегистрированному в другой плоскости” известна как фазовая проблема в оптике /I-3/.

Рис.1 иллюстрирует одну из типичных постановок этой задачи. На вход Z=O, некоторой оптической системы (например, линзы) падает световая волна, комплексная амплитуда поля которой имеет вид:

А()=А₀()*exp(iU()), (1)

где ={x,y} декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной оси распространения 0Z, А₀²() – интенсивность волны на входе системы, a U() - подлежащая определению фаза. В выходной плоскости системы Z=Z₀ регистрируется распределение интенсивности I⁰()=│Â(,Z=Z₀)│², которое в дальнейшем будем называть "изображением". Поле изображения Â() связано с входным полем А() некоторым преобразованием (Фурье, если Z₀=F - -фокусу линзы, Френеля, если Z₀≠F).

Задача состоит в том, чтобы по известным распределениям интенсивностей А₀² и I₀ определить неизвестную фазу поля U()

Как и большинство обратных задач, поставленная задача восстановления фазы является, вообще говоря, некорректной. Поэтому особое внимание уделяют исследованию единственности и устойчивости ее решения. Проблема единственности является достаточно сложной и к настоящему времени не подучила всего исчерпывающего решения /I-5/, хотя в последних работах и был достигнут заметный

прогресс /4-5/. Весьма важный вопрос устойчивости обычно анализируется применительно к тому или иному алгоритму решения /I-3/.

К настоящему времени разработано довольно много алгоритмов решения фазовой проблемы /I-3, 6-9/. Наибольшее распространение в силу относительной простоты и удобства реализации на ЭВМ получили итерационные методы. Основой большинства таких методов является алгоритм Гершберга-Сакстона /7/. Он был предложен для восстановления фазы U поля по двум распределениям интенсивности А₀² и I⁰=│Â│² зарегистрированным, соответственно, на входе и в фокальной плоскости линзы. В дальнейшем были разработаны модификации этого алгоритма, позволяющие восстанавливать фазу поля по распределению интенсивности I_k⁰() в произвольной нефокальной плоскости Z_k≠f, лежащей в зоне дифракции Френеля /8/. В работе /9/ на основе оригинального подхода было показано, что алгоритм Гершберга-Сакстона реализует градиентную процедуру минимизации некоторого функционала качества восстановления. Там же впервые было предложено использовать для восстановления

набор изображений, т.е. набор распределений интенсивностей, зафиксированных не в одной, а сразу в нескольких плоскостях регистрации Z=Z_k, k=1,…,N. Оказалось, что построенный на этой основе алгоритм восстановления фазы по набору изображений имеет целый ряд преимуществ и, в частности, обладает высокой устойчивостью по отношению к аддитивному шуму в регистрируемой интенсивности I_k⁰ /9/. Вместе с тем, наличие аддитивного шума - не единственный источник ошибок в регистрируемой интенсивности. Они возникают и при неверном определении положений Z_k этих плоскостей. Исследование влияния ошибок такого рода на устойчивость алгоритма восстановления по набору изображений до настоящего времени не проводилось. Попытка такого исследования численными методами и сделана в данной работе.

В расчетах использовалась квадратная сетка с числом узлов М=64 по каждой координате x, y. Начальная амплитуда падающей волны имела вид: A₀()=1 при ││=r≤b₀ и A₀()=0 при r>b₀ (принималось b₀=1). Положение плоскостей регистрации Z=Z_k удобно характеризовать безразмерными эквивалентными расстояниями:

где f - фокус линзы, L_g=0,5kb₀² - значение дифракционной длины для заданной ширины входной апертуры b₀, k=2Π/λ, λ - длина волны изучения. Заметим, L=∞ соответствует фокусу линзы. Эталонная, т.е. подлежащая восстановлению фаза задавалась в виде комбинации низших полиномов Цернике S_m(), нормированных так, что ∫∫S_m()S_n()d²r=Πδ_km,

В расчетах все a_m^ЭТ полагались одинаковыми и равными a^ЭТ. При выбранной нормировке среднеквадратичное отклонение δ^ЭТ эталонной фазы от плоского волнового фронта равно 3а^ЭТ. Начальное приближение U₀() выбиралось таким же, как и в /9/, и соответствовало плоскому волновому фронту.

Алгоритм восстановления фазы по набору изображений подробно описан в /9/. Фактически он представляет собой итерационную процедуру минимизации функционала суммарной ошибки восстановления J_m:

методом условного градиента. Для работы алгоритма необходимо вычисление поля изображения Â(,Z_k) по "входному" полю A=A₀e^iUn в n-ой итерации. В данной работе Â определялось либо путем применения быстрого дискретного преобразования Фурье (БДПФ), если Zk=f, либо из численного решения параболического уравнения квазиоптики с применением БДПФ /IO/.

Помимо значения критерия J_E, качество восстановления фазы на n-ом шаге итерационного процесса оценивалось величиной

Моделирование влияния ошибок в определении расстояний L_k до плоскостей регистрации осуществлялось следующим образом. Вычислялось распределение интенсивности Ĩ_k⁰() поля с эталонной фазой в плоскостях L^/_k≠L_k интенсивность использовалась в качестве I^o_k() в функционале J_E.

На рис.2 приведены результаты восстановления фазы, имеющей умеренные абберации волнового фронта (a^ЭТ=0,1λ, δ^ЭТ=0,3λ) θз различных наборов изображений, зарегистрированных в плоскостях, расстояние до которых определено с различной погрешностью. Нижняя (заштрихованная) половина рисунка отражает уменьшение значения критерия R=lg[J⁽ⁿ⁾_E/J⁽⁰⁾_E] через n интерационных шагов его минимизации (значение n также указано на рисунке). Верхняя часть рисунка показывает достигнутое значение ошибки Δ в длинах волн.

Когда восстановление фазы проводится по одному изображению, лежащему в зоне слабого проявления дифракционных эффектов (L=0,1),

качественное восстановление остается возможным при погрешностях в определении расстояния до изображения до 2% (L'=0.102). Дополнительная информация о распределении интенсивности поля в фокусе линзы позволяет ускорить сходимость процедуры восстановления (требуемое число итераций снижается с 50 до 30). В то же время допустимая ошибка в определении L остается примерно неизменной - до 5% (L' = О.105).

В случае регистрации интенсивности в трех плоскостях (L_k=0.1, 0.5, ∞), положение одной из которых (в фокусе линзы L₃=∞) считается известным точно, а положение двух других - с ошибкой, ситуация несколько ухудшается. Сильнее всего сказывается погрешность в определении расстояния до второй плоскости регистрации, лежащей в зоне более сильного проявления дифракционных эффектов (L₂=0.55). Здесь изменение слагаемого критерия J_E, соответствующего этому изображению: lg(J⁽ⁿ⁾₂/J⁽⁰⁾₂) в два раза меньше, чем в других плоскостях. Тем не менее, если погрешности имеют разный знак (L'₁=О.102, L'₂=0.49) и не превышают 2%, возможно восстановление фазы с максимальной ошибкой Δ=0,054λ ηа 31 итерацию. При 5-ти процентных ошибках качественное, восстановление волнового фронта становится невозможным.

Следует отметить, что при более сильных аберрациях эталонной фазы влияние ошибок измерений будет заметно возрастать. В качестве примера в правой части рис.2 показан результат попытки восстановления фазы при а^ЭТ=0.15λ (δ^ЭТ=0.45λ) οо двум изображениям, расстояние до которых было определено с ошибкой в 5% (L₁=0.1,L'₁=0.105,L₂=∞). Достигнутая за 40 итераций погрешность восстановления фазы составила Δ=0.15λ против Δ=0.092λ для менее сильных аберраций волнового фронта (a^ЭТ=O.Iλ).

Таким образом, погрешность в определении расстояний до плоскостей регистрации заметно снижает эффективность алгоритма восстановления фазы по набору изображений. Ошибку в 3-5% уже следует считать критической. Такая ситуация, однако, имеет место как при одной, так и при нескольких плоскостях регистрации. Поэтому

заметную неустойчивость восстановления фазы по отношению к ошибкам в расстоянии до плоскости регистрации следует считать общим недостатком как алгоритмов восстановления по набору изображений, так и классических алгоритмов типа алгоритма Гершберга-Сакстона. Учитывая отмеченные в /9/ преимущества алгоритмов восстановления по набору изображений, такие алгоритмы привлекательно использовать как основу при разработке экспресс-методов анализа волнового фронта, контроля качества оптических поверхностей. В этом случае удается преодолеть еще одну трудность, связанную с возможной неединственностью восстановления фазы из распределения интенсивности I⁰, зарегистрированного в фокусе линзы. Такая неединственность возникает, когда амплитуда входного поля A₀=│A│ является четной функцией: А₀(-)=A₀(). В этом случае решением будет не только некоторая фаза U(), но и функция U()=-U(), в чем легко убедиться, непосредственно вычисляя интеграл Фурье. При этом получим, что

т.е. фазовые функции U и V приводят к одной и той же интенсивности выходного излучения I⁰=│Â│². Ситуация резко меняется к лучшему в случае набора плоскостей регистрации, среди которых есть и нефокальные плоскости. В этом случае поля Â() и A() связаны интегралом Френеля:

а фазовые функции U() и V()=-U(-) формируют разное распределение интенсивности:

L_K - истинное расстояние, (L_k'-L_k)/L_k – относительная ошибка в определении L_k, R=lg[J_E/J⁽⁰⁾_E], - достигнутая точность восстановления,

ясно видно, что │Â[U]│≠│Â[V]│

1. Аблеков В.К., Колядин С.А., Фролов А.В. Высокоразрешающие оптические системы. М., Машиностроение, 1985, 176 с.
2. Обратные задачи в оптике (под ред.Болтса Г.П.), М., Машиностроение, 1984, 200 с.
3. Троицкий И.Н., Бакут П.А., Демин А.А., Сафронов А.Н. Современное состояние фазовой проблемы в оптике. Зарубежная радиоэлектроника, 1978, №11, с.3-40.
4. Клибанов М.В., Волостников В.Г., Котляр В.В. Доклады АН СССР, 1984, т.279, №6, 1348-1351.
5. Клибанов М.В., Доклады АН СССР, 1985, т.285, №2, с.278-280.
6. Fienup J.R., - Appl. Opt., 1982, v21, №15б 2758-2769
7. Serihberg R.W., Saxton W.O. – Optik, 1972, v35, №2, 237-26.
8. Rolleston R., George N. – Appl. Opt., 1986, v25, №2, 178-183.
9. Воронцов М.А., Сивоконь В.П. Труды XVII Всесоюзной школы по голографии и когерентной оптике, 1986, Л., ЛФТИ.