Media-security

ОБРАБОТКА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ГРАДИЕНТНОГО МЕТОДА

М.А.Воронцов, А.В.Кудряшов, В.И.Шмальгаузен

Предложен метод восстановления профиля оптических поверхностей по интерферограмме, основанный на итерационной процедуре оптимизации.

В настоящее время в оптике и акустике широкое применение получили интерферометрические измерения. Они позволяют регистрировать малые изменения параметров объекта (порядка длины волны источника когерентного излучения). Дешифрирование интерференционных картин производится ручным, полуавтоматическим и автоматическим способами /1-3/. Первых два вида обработки занимают много времени и весьма трудоемки. Автоматическое дешифрирование позволяет оперативно получать информацию об исследуемом объекте. Существующие методы автоматической обработки, как правило, предполагают последовательный ввод интерференционной картину в ЭВМ и последующее определение координат центров интерференционных полос. Таким образом, в интерферограмме используется лишь информация о координатах центров полос; вся остальная информация практически теряется. В настоящей работе предложен метод восстановления фазы из интерферограммы, основанный на анализе всего поля интерференционной картины.

Рассмотрим интерферограмму, полученную, например, с помощью стандартного интерферометра Майкельсона /4/. Интенсивность I(х,у) в каждой точке (х,у) интерференционной картины можно записать следующим образом:

, (1)

где I₁(х,у), I₂(x,у) - интенсивности опорного и предметного пучков, U(x,y) - искомая фазовая функция, например, профиль поверхности исследуемого зеркала. Суть предлагаемого метода заключается в следующем. Зная интенсивности опорной и объектной волны I₁(x,у) и I₂(x,y), синтезируем на ЭВМ интерферограмму по следующему алгоритму:

, (2)

где φ(х,у) - некоторая функция (оценка искомой фазы), которая на первом этапе задается произвольным образом. Степень близости истинной и синтезируемой интерферограмм будем оценивать функционалом

. (3)

Будем минимизировать функционал отличия J, варьируя фазу φ(x,у). Считаем, что при совпадении интерференционных картин, т.е. при J=0, фаза φ(x,у) совпадает с истинной. Алгоритм коррекции запишем в следующем виде:

, (4)

где φ(x,у) фаза синтезируемой интерферограммы на n-ой итерации, J'(x,y) - градиент функционала J, α - величина шага градиентного метода.

Для получения градиента J'(x,у) дадим малое приращение Δφ(x,у) фазовой функции φ(x,у). Соответствующее изменение функционала обозначим через ΔJ: ΔJ=J(φ+Δφ)-J(φ). В соответствии с (1) и (2)

, (5)

где O(Δφ) - члены второго порядка малости относительно приращения Δφ(x,у). В соответствии с определением, градиент является

ИНТЕРФЕРОГРАММА

Рис.1. Распределение интенсивности I(х) в типичной интерференционной картине.

ФАЗА

Рис.2. Набор фазовых функций U(х), соответствующих интерферограмме, изображенной на рис.1.

главной линейной частью этого приращения относительно Δφ(υ,у), т.е.

. (6)

Таким образом, алгоритм определения фаза сводится к следующей последовательности операций:

1. Раздельно регистрируются распределения интенсивностей: I, I₁, I₂.

2. Задается начальное приближение фазы φ⁽⁰⁾(x,y).

3. По формуле (2) синтезируется интерферограмма I_c(x,у).

4. Вычисляется функционал отличия (3).

5. По формуле (6) определяется градиент J'(x,y).

6. Вычисляется новое значение фазы φ⁽¹⁾(x,у) по алгоритму (4).

Далее последовательность операций 3-6 повторяется для фазовой функции φ⁽¹⁾(х,у ) и т.д.

Вообще говоря, задача восстановления фазовой функции из интерферограммы не однозначна, т.е. одному и тому же распределению интенсивности в интерференционной картине (рис.1) соответствует множество решений U(х,y) (рис.2). В зависимости от выбора начального приближения φ⁽⁰⁾(х,у) в градиентном алгоритме (4) находится то или иное решение. Из всех решений, как правило, требуется найти наиболее плавно менявшуюся функцию U(х,у) (рис.2, кривая 1). Для этого предлагается в градиентном алгоритме (4) использовать метод последовательной интерполяции. Пусть для простоты, интенсивность I(х,у) зависит только от координаты х и задана в N точках (рассмотрим одно сечение интерферограммы). Для первых 3-х точек начальное приближение фазы выбирается произвольным, например, равным 1, т.е.

φ⁽⁰⁾(x₁)=φ⁽⁰⁾(x₂)=φ⁽⁰⁾(x₃)=1.

Далее, согласно градиентному алгоритму (4), в этих 3-х точках определяется значение фазы U(x₁), U(x₂), U(x₃). Итерационный процесс (4) прерывается, когда отличие между текущим и

ИНТЕРФЕРОГРАММА

Рис.4. Распределение интенсивности в интерференционной картине, соответствующее фазовой функции U(x), изображенной на рис.3.

ФАЗА

Рис.3. Фaзoвая функция и результат ее нахождения из интерферограммы.

предыдущим значениями фазы меньше заданного числа ε. Начальное приближение для следующей 4-ой точки φ⁽⁰⁾(х₄) получим путем интерполяции полиномом второго порядка найденных значений U(х₁), U(х₂), U(х₃). Далее по градиентному алгоритму (4) вычисляется значением: U(х₄). Для получения φ⁽⁰⁾(х₅) интерполирующий полином сдвигается на одну точку, т.е. проводится через значения функций U(х₂), U(х₃), U(х₄). Таким образом, находится начальное приближение в точно х₅ и т.д.

Предположим, что контраст интерференционной картины γ(х, у) является медленно меняющейся функцией координат х,у и заранее неизвестен. Интерферограмму в этом случае можно описать следующим образом:

В этом случае наибольшие трудности при восстановлении фазы по градиентному методу возникают в экстремумах интерферограммы (градиент J' в этих точках близок к 0). Поэтому в экстремальных точках предлагается вычислять фазу не градиентным методом, а интерполировать ее. Положим, I(х,у)=I(x). Далее, пусть в некоторой точке х_i достигается максимум интерферограммы. Градиентным методом определяется фаза во всех точках вплоть до точки с координатой x_i-2. Через U(х_i-4), U(х_i-3), U(х_i-2) проводится кривая второго порядка и вычисляется начальное приближение в точке x_i+2. В точках x_i-1, x_i, x_i+1 фазовая функция не рассчитывается. Градиентным методом определяется значение U(х_i+2), далее точки U(х_i-2) и U(х_i+2) прямой. Такая процедура позволяет эффективно бороться с потерей контраста интерференционной картины. На рис.3 показан результат определения фазы

U(x)=1,5+3x+11x²+5x³–4x⁴–6x⁵

градиентным методом из интерферограммы (рис.4) при γ=0,9. Хорошо видно, что в местах перехода фазы через значения равные πn (n -целое число) восстановленная фаза имеет небольшую

неровность, которая легко сглаживается.

Таким образом, проведенные численные эксперименты показали эффективность использования метода для определения фазы, а также возможность борьбы с потерей контраста интерференционной картины. При этом для нахождения фазы используется вся информация, вводимая в ЭВМ. Надо отметить еще одно достоинство метода. Проведенные выше рассуждения для интерферограмм, полученных при помощи интерферометра с опорным пучком типа Майкельсона справедливы и для любого другого интерферометра, с той лишь разницей, что формулу (1), описывающую распределение интенсивности, нужно заменить на соответствующую данному прибору. При этом программы определения фазы практически останутся прежними.

Л и т е р а т у р а

1. Долгих С.Г., Устинов С.И. // Теоретическая и прикладная оптика, Материалы Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов. Л., 1984, с.214.

2. Косачев А.В. и др. // Теоретическая и прикладная оптика, Материалы Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов, Л., 1984, с.169.

3. Киричук B.C. и др. Автометрия, 1973, №1, с.63.

4. Д.Малакара. Оптический промышленный контроль. М., Машиностроение, 1985, с.200.