1. Основные уравнения дифракционной томографии

При исследовании внутренней структуры объектов при помощи того или иного вида излучения прежде всего подразумевается, что оно, проходя через объект, взаимодействует с ним. В этом случае рассматривают различные уравнения, описывающие распространение излучения внутри вещества. Наибольшее развитие получила томография, основанная на прямолинейной траектории распространения излучения внутри объекта (уравнение переноса, эйконала). Математическая запись такого распространения позволяет рассматривать прошедшее излучение как преобразование Радона изображения сечения объекта.

В томографии исследуется внутренняя структура объекта, заполненного неоднородной средой n(x,у). Если объект зондируется плоской волной Е₀(х,у), то уравнение для поля Е_l(x,у)=Е₀(x,у)+Е_р(x,у), где Е_р - рассеянная часть поля, описывается уравнением Гельмгольца. Решение этого уравнения, т.е. выражение для рассеянной части поля в плоскости регистрации (голограммы) имеет вид:

где (x',l) - координаты точки наблюдения, . Обозначим , .

В выражении (1) поле Е_l представляет собой сумму падающей и рассеянной волн. Запишем уравнение падающей плоской волны в общем виде:

где р₀, m₀ - направляющие косинусы волны.

Используя условие борновского приближения, при котором E₀>>E_p, следуя /1/, выражение (1) преобразуем к виду:

где K=рK₀, р≤1.

Выражение для А(K) представим в следующей форме /1/:

Рассмотрим подробное выражение (3). Из него следует, что А(K) представляет собой фурье-образ искомой функции ε(х,у), но только той его части, которая задана на окружности радиуса K₀ с центром в точке (-р₀K₀, -m₀K₀). Для случая падения зондирующей плоской волны параллельно оси у центр окружности будет находится в точке (0,-K₀).

Из вышеизложенного видно, что для восстановления двумерного распределения ε(x,у) недостаточно одной измеренной функции Е(x'), т.к. она определяет только одно сечение двумерного фурье-образа искомой величины. Для восстановления необходимо получить целый набор проекций под различными углами φ. Это соответствует томографической схеме зондирования объекта с различных направлений и накопления информации для последующей совместной обработки.

2. Реализация алгоритмов дифракционной томографии

Остановимся подробнее на обоих алгоритмах и рассмотрим возможность их реализации в оптической схеме.

где U, V - координаты в частотной плоскости, - двумерное обратное преобразование Фурье, М - оператор аппроксимации, - дифракционная проекция,

Мы не будем останавливаться на особенностях реализации этого алгоритма на ЭВМ. Последовательность необходимых для этого операций в машине естественным образом вытекает из формулы (4), описывающей уравнение томограммы. Вычислительные особенности, которые приводят к существенным трудностям в конкретных расчетах, подробно анализируются в работах /2,3/. Мы рассмотрим возможность восстановления томограммы оптическим способом, т.е. покажем, как реализовать этот алгоритм в оптическом процессоре. Это, тем более, необходимо, что практическое применение методов ДТ, особенно для случая оптического зондирования, сдерживается сложностями реализации измерений амплитуды и фазы рассеянного поля Е_р(х'). Использование голографии на этапе регистрации, в принципе, позволяет восстановить комплексную амплитуду поля, но приводит к возникновению больших шумов на этапе ввода и восстановления голограмм на ЭВМ. Применение принципов оптической томографии, предложенной в работе /6/, которое предполагает выполнение преобразования волнового фронта, прошедшего через объект, впоследствии позволит существенно упростить обработку. В работах /7,8/ такой подход к построению томографического измерительного устройства для прямолинейного распространения излучения в объекте позволил избежать регистрации промежуточной информации и определить вид профиля показателя преломления в сечении объекта в реальном времени.

1. Вычислить одномерное преобразование Фурье от каждой функции .

2. Запись голограммы поля вдоль окружности радиуса K₀ с координатами центра (K₀Sinφ, K₀Cosφ).

Необходимость этой операции нужно пояснить. Нетрудно заметить, что в частотной плоскости, как и в случае томографии с прямолинейным распространением излучения имеет место существенная неравномерность отсчетов (низкие частоты заданы с большей плотностью отсчетов). Для компенсации этого в плоскости (U,V) необходима либо фильтрация низких частот, либо равномерная интерполяция /9/.

5. Умножение на функцию Ψ. Эта операция может быть совмещена с операциями 2-3, т.к. функция представляет собой фурье-образ поля точечного источника и может быть использована в качестве опорной волны.

6. Выполнение двумерного обратного преобразования Фурье. Если выполнение операций /1/ и /3-6/ в оптическом процессоре достаточно очевидно, то для изгиба спектра проекции по окружности необходимо либо синтезировать специальные оптические элементы, либо использовать эффекты, связанные с дифракцией на решетке наклонно-падающего пучка. В любом случае выполнение операций /2/ оптически достаточно сложно, поэтому представляет интерес рассмотреть задание спектра на линии, занимающей промежуточное положение между окружностью радиуса K₀ и прямой, касательной к ней в центре координат. Эта прямая соответствует расположению фурье-образа проекции при прямолинейной траектории

луча в объекте (теорема о центральном слое). Очевидно, что любые приближения сужают класс исследуемых объектов. Основной задачей в этом случае будет оценка точности реализации алгоритмов ДТ в зависимости от параметров объекта. В качестве таких обобщенных характеристик объекта целесообразно выбрать его размер z и максимальную пространственную частоту K_max, понимая, что речь идет об интервале частот, в котором сосредоточена большая часть энергии сигнала. Необходимо помнить также, что эти параметры должны удовлетворять условию борновского приближения /10/.

Наиболее простым для оптической реализации алгоритма было бы задание спектра не на окружности, а на двух хордах, выходящих из начала координат частотной плоскости. Тогда достаточно внести в оптический тракт дополнительно призмы Дове, поворачивающие фурье-образы проекций. Оценим ширину спектра объекта в этом случае, полагая, что отклонение хорды от окружности не должно превышать Δ=1/z. Нетрудно заметить, что частота , при которой это условия выполняются, существенно превышает геометро-оптическое приближение.

Из (6) следуют операции, согласно которым надо преобразовать проекции .

2. "Растяжение" фурье-образа проекции в направлении, перпендикулярном K - оператор R в (6).

5. Поворот "растянутой" фильтрованной проекции на угол φ.

Выполнение операций /1,2,4-6/ в оптической схеме не представляет сложности. Выполнение фильтрации (операции 3) представляет собой сложную задачу, т.к. фильтр описывается комплексной быстроосциллирущей функцией двух переменных (k,y).

Для того, чтобы облегчить оптическое восстановление томограммы, необходимо упростить алгоритм. Анализ фильтрующей функции показывает, что представление экспоненты в виде ряда не даст желаемого результата, т.к. множитель (y-l)>>λ. Наиболее целесообразно разложить в ряд корень в показателе экспоненты. В этом случав фильтрующая функция будет описываться выражением:

Анализ принципиальных схем оптических томографов показывает, что наиболее просто реализуется в оптике метод фильтрации суммарного изображения. При его выполнении процесс восстановления разбивается на два этапа: во-первых, синтез суммарного изображения, во-вторых, его фильтрация.

где p=Sinφ+yCosφ, p'=x'Sinφ+y'Cosφ, q=-xCosφ+ySinφ.

Согласно алгоритму формирования суммарного изображения, "растянем" функцию в направлении q', перпендикулярном р. Заметим при этом, что в направлении q'_V проекция не меняется.

Теперь, рассматривая проекцию как двумерную функцию, отфильтруем ее некоторой функцией g(p",q"). Причем фильтрацию будем осуществлять одномерную, вдоль оси р', рассматривая переменную q" как параметр. Тогда выражение (8) преобразуем к виду:

Тогда получившееся изображение f_B(х",у") будет описываться выражением:

где ,

G - передаточная функция фильтра g.

то функция h_φ может быть представлена в виде:

. (16а)

Получим выражение для импульсного отклика дифракционного томографа в аналитическим виде. Заметим, что интеграл по K есть Фурье-преобразование функции Френеля, учитывая также, что

здесь .

Сделаем в (17) замену переменных и преобразуем (17) к виду:

здесь , - модифицированные функции Бесселя.

Анализ выражения (18) показывает, что импульсный отклик дифракционного томографа мало отличается от функции 1/4, соответствующей импульсному отклику в радоновской томографии.

1. "растянуть" проекцию .

2. отфильтровать растянутую проекцию функцией G(K,q") (выражение (14));

3. повернуть полученную функцию на угол φ;

Нетрудно заметить, что выполнение операций 1,3,4 в оптическом дифракционном томографе совпадает с преобразованиями волнового фронта, необходимыми при формировании суммарного изображения в радоновской томографии. Очевидно, что и оптические схемы будут аналогичными. Существенным является выполнение операции 2. Анализируя функции фильтра G(K,q") в параболическом приближении, нетрудно заметить, что она совпадает с передаточной функцией конический линзы с переменным вдоль оси q фокусным расстоянием f=l-q, т.е. переотображением растянутой проекции тонкой конической линзы, ось которой параллельна оси q, будет эквивалентно фильтрации проекции функции:

2. Kak А.С., Pan S.X. IEEE Trans. on ASSP, 1983, T.ASSP-31, 5, pp.1262-1275.

5. Devaney A.I. Proc.SPIE, 1982, у.358, pp.10-16.

9. Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Оптика и спектроскопия, 1984, т.56, №5, c.933-935.