2. Напомним прежде всего процедуры компьютерного синтеза и реконструкции 2D фурье-голограмм, отличающиеся особенной простотой и единообразием интегральных преобразований.

Выберем в качестве объекта плоский одноцветный транспарант, описываемый комплексным амплитудным коэффициентом пропускания a(x,у). Направим на него плоскую волну, фронт которой параллелен плоскости транспаранта, и запишем выражение для амплитуды поля b(ξ,η) в плоскости (ξ,η), отстоящей от плоскости транспаранта на расстояние z и также параллельной ей /5/:

Вид ядра интегрального преобразования k_z(x,у;ξ,η) зависит как от z, так и от размеров транспаранта. Ограничиваясь случаем дальней (фраунгоферовой) зоны, возьмем ядро в виде

где λ - длина волны, а ξ и η становятся компонентами фурье-спектра; часто их удобно нормировать: ξ₁=ξ/λz, η₁=η/λz, считая также A₁/λz=1. Тогда, вместо (1), получим:

Формула обращения, соответствующая (1), имеет вид:

где A₂=const, а прежнее ядро заменяется на комплексно сопряженное.

где b₀(ξ,η) - вклад амплитуды поля опорной волны. Эту волну можно также выбрать плоской:

b₀(ξ,η)=B₀exp(iφ₀ξ), B₀=const. (6)

Если, кроме этого, в функции b(ξ,η) выделить амплитудный и фазовый множители

то, в соответствии с (5), получим

При восстановлении изображения по голограмме нужно также использовать опорную волну (6); тогда в сформированной волне будут содержаться четыре компонента: первые два пропорциональны b(ξ,η) и b^*(ξ,η)ехр(2iφ₀ξ), а вторые два оказываются чисто шумовыми. Информативные компоненты обусловлены, очевидно, лишь последним слагаемым в правой части (8), содержащим фазовые характеристики.

Мы не касаемся здесь процедур учета неизбежных искажений функции I(ξ,η) за счет интерполяции значений дискретных цифровых отсчетов (задача синтеза), а также искажений, связанных с дискретизацией непрерывной голограммы (задача реконструкции). Обе процедуры реализуются с помощью понятия аппаратной (функции рассеяния точки ФРТ) и в математическом плане сводятся к вычислению двумерной свертки /7/. В свою очередь, это вычисление состоит в расчете прямых и обратных фурье-образов соответствующих функций. Очевидный алгоритм во всех этих преобра-

Здесь - поле от объекта а(x,y,z) в некоторой точке на синтезируемой голограмме; r - расстояние от точки Р до объекта; k=2π/λ - волновое число, S - поверхность, ограничивающая объект, - нормаль к поверхности, - коэффициент наклона. Интенсивность -

Е₀(Р)=В₀z₀r₀^-2 exp(-ikr₀), (11)

где r₀ - расстояние от Р до точечного источника, то, применяя ту или иную версию метода интегральных сумм /6/, можно представить (9) в дискретной форме и выразить каждое из четырех слагаемых в (10) в явном алгебраизованном виде. Поскольку формирование действительного или мнимого изображения описывается лишь одним из этих слагаемых, а остальным соответствует "нулевой порядок" (низкочастотные составляющие). то в алгоритме нужно предусмотреть подходящую процедуру фильтрации.

Прямой расчет интеграла Френеля-Кирхгофа громоздок и неконструктивен. Поэтому, как было предложено еще в /4/, гораздо рациональнее сразу преобразовать его либо непосредственно к интегралу Фурье, либо к сверточной форме, когда вычисления также сводятся к подсчету фурье-трансформант. В задачах томографии о подобных случаях принято моделировать 3D объект набором дискретных плоских сечений /3/. Аналогичный прием эффективен и

в компьютерной голографии: в этой ситуации искомое волновое поле приравнивается сумме волновых полей от всех плоскостей /6,13/. Тогда по мере удаления голограммы от объекта, т.е. роста координаты z, расчет Е_а(Р) удобно проводить сначала для ближней и дальней областей дифракции Френеля, а затем - в приближении Фраунгофера.

В выделенной плоскости объект становится двумерным: а(х,у), а расстояние r=[(ξ-x)²+(η-у)²+z²]^1/2. Распространяя область интегрирования на всю плоскость (x,у), превращаем (9) в уравнение 2D свертки, решение которого записывается как обратный фурье-образ от произведения прямых фурье-трансформант функций а(x,y) и q(ξ-x,η-y)=r^-1exp(-ikr)cosΘ:

β(x,y,z)=exp[-ik(x²+y²)/2z]

и преобразуя интеграл Френеля-Кирхгофа /13/, имеем:

т.е. задача сводится к вычислению 2D фурье-образа от произведения {a(x,y)β(x,y,z)} по переменным x и у. Как и выше, Е_a(Р) - вклад от одной плоскости.

В данном случае имеет место вырождение всего пакета сферических волн от совокупности точек-излучателей для выделенного сечения в одну плоскую волну; при этом, очевидно, функция β(x,y,z)

и мы фактически вернулись к рассмотренному выше случае простейшей фурье-голограммы (3).

Задача реконструкции 3D объекта по 2D голограмме, описываемой распределением интенсивности I(ξ,n), в расчетном плане очень сходна с только что рассмотренной задачей синтеза.

Если в качестве восстанавливающей использовать волну (11), то суммарное поле, формируемое голограммой в области действительного изображения, вновь выражается через интеграл Френеля-Кирхгофа

Здесь , (x₁,y₁,z₁) -координаты точки реконструкции, , - нормаль к поверхности голограммы, ξ_R и η_R - апертура голограммы по переменным ξ и η. Для расчета поля в области мнимого изображения достаточно заменить знак при r_p на обратный. На хорошо изученных вопросах дискретизации задачи мы здесь не останавливаемся.

Ясно, что в (15) допустимы те же упрощающие преобразования, которые позволили перевести (9) в формулы (12)-(14). Таким образом, как и в случае 2D транспарантов и их фурье-голограмм, в трехмерной задаче дело сводится к применению прямых и обратных интегральных операторов Фурье и реализации алгоритма БПФ.

В /6/ и некоторых других работах рассчитывались 3D голо-

где имеет смысл варьируемой в пространстве части показателя преломления среды. Положим далее: и запишем (16) в виде:

Блестящие точки, совокупностью которых моделируется объект, следует на самом деле считать центрами рассеяния некоторой падающей волны , испускаемой в простейшем случае импульсным точечным излучателем, характеризуемым вектором . Согласно первому борновскому приближению поле в правой части (18) нужно заменить на .

Функция в (19) есть частное решение неоднородного волнового уравнения с известным источниковым членом, находимое стандартным методом функций Грина:

где , .

Пусть в момент времени t=t₀ источник испускает достаточно короткий импульс сферической формы, для которого

Тогда, согласно (20), отклик Q(t) от этого импульса в точке Р на голограмме выразится в виде

где и двумя штрихами обозначена вторая производная от δ -функции Дирака по времени t'.

Ограничимся простейшим приближением Фраунгофера, когда для расстояний R_s и R_p можно оставить лишь первые члены разложений:

Отметим, что, упрощая (22). в аргументах δ - функций нужно сохранять по крайней мере два члена разложения; это дает:

где ; .

Смысл величин р и следующий. Скаляр р есть кратчайшее расстояние от выбранного начала отсчета до некоторой плоскости, перемещающейся в пространстве со скоростью с; в начальный момент времени t₀ p есть просто сумма расстояний: источник-объект, объект-голограмма. Вектор в приближении Фраунгофера можно считать ортом, направленным по нормали к некоторой, пересекающей объект, рассеивающей плоскости, своего рода ''зеркалу", которое эффективно отражает сферическую волну от источ-

ника к голограмме. Это зеркало есть геометрическое место точек , для которых время распространения короткого импульса вдоль пути одинаково.

где с₁ - константа, а

прямое 3D преобразование Радона функции . Отметим, что если вдоль направления зависимость внутри объекта окажется линейной, рассеяния волны на голограмму не происходит, т.е. упомянутое выше "зеркало" перестает быть отражающим.

Поэтому при описании перемещения вдоль орта плоского тонкого среза со скоростью с можно исходить из равенства:

Как известно, зная решение с условиями (29) нетрудно сразу же записать и решение при /16/.

где - симметрированный 3D оператор Радона /17/.

Если теперь подставить (32) и (30) и учесть формулу конверсии (27), то поле можно будет найти по одной на следующих формул:

где индекс n указывает на n-ую размерность оператора.

а) Пусть зарегистрирована многоракурсная двухэкспозиционная голограмма двумерного (n=2) фазового объекта /9/, в результате чего путем стандартной обработки получен набор (числовой массив) оптических разностей хода , где , p - кратчайшее расстояния от начала координат до определенного луча зрения; - орт, перпендикулярный этому лучу. Если - разность показателей преломления в двухэкспозиционном эксперименте, подлежащая реконструкции, то и связаны 2D преобразованием Радона:

причем прямое преобразование Фурье нужно выполнять вдоль центральных сечений, т.е. линий, проходящих в фурье-плоскости (ξ,η) χерез начало координат. В компьютерной практике обычно ограничивают двойное интегрирование в фурье-плоскости конечной областью Г, а также, используют частотный фильтр . В результате еще не алгебраизованный алгоритм фурье-синтеза в декартовых координатах приобретает вид:

где и значком "~"

Если сопоставить формулы (37) и (4), причем в последней считать ядро записанным в приближении Фраунгофера, то становится очевидным, что чисто томографическая задача (35) становится эквивалентной задаче компьютерной фурье-голографии при условии:

Отметим недавно разработанный в /18/ регуляризующий алгоритм Фурье-реконструкции, дающий при небольших дополнительных затратах вычислительных ресурсов значительный выигрыш в качестве восстановления 2D объекта по голограмме за счет снижения уровня случайной погрешности, "переносимой" из проекционных данных в изображение f_w(x,y). При этом необходимое число ракурсов может быть небольшим, что существенно расширяет возможности голографического эксперимента.

б) Рассмотрим случай n=3 и, обращаясь к формуле (25), найдем в соответствии с (34) фурье-образ импульсного отклика Q(t), фиксируемого на голограмме:

Здесь с₂=const, множитель ν² отражает наличие в (25) второй производной ¶ ²/¶ p², а интеграл представляет собой 3D- фурье-трансформанту функции рефракции среды , - трехмерный вектор пространственных частот.

Если при фиксированных положениях источника () и точки детектирования на голограмме () осуществить сканирование по частоте ν, то можно передать информацию о тех пространственных частотах объекта, которым соответствует линия вдоль орта m в фурье-облости. Отсюда видно, что, варьируя продолжительностью импульса Δt, исследователь получает возможность менять информационное содержание сигналов, посылаемых 3D фазовым объектом на голограмму в результате рассеяния сферической

волны. Например, беря δ-импульс (21), которому соответствует полный спектр временных частот, можно в одном измерении получать весь набор луч-сумм, характеризуемых ортом , т.е. полную томографическую проекцию.

1. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям (Основы реконструктивной томографии), М., Мир, 1983, с.350.

In: Progress in Optics, ed.E.Wоlf, Elsevier, v.21, 1934, p.217-286.

5. Huang I.S. et al. Digital Holography- Proceedings of the IEEE 1971, v.59, 9, р.1335-1345.

10. Козанне А., Флере Ж., Мэтр Г., Руссо М. Оптика и связь, М., Мир, 1984, с.504.

12. Луитт P.M. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований. ТИИЭР, 1983, с.71, №3, с.125-147.

17. Barrett H.H. Dipole-sheet transform.- J.Opt.Soc.Amer., 1982, v.72. 4, р.463-475.

18. Воскобойников Ю.Е., Пиклов В.В., Седельников А.И. Регуляризующий алгоритм Фурье-реконструкции. II-ой Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии. Куйбышев, 1985, с 40-41.

20. Хелгасон С. Преобразование Радона, М., Мир, 1983, с. 150.