От теоретика, пытавшегося описать процесс восстановления объемной голограммы, требуется решить электродинамическую задачу дифракции считывающей опорной волны в среде фотослоя с сильными нерегулярными неоднородностями диэлектрической проницаемости e () по всем трем пространственным координатам :

e () = e + b ₁(| a(r)| ² + | b| ² + b ₂(ab^*exp[i(_a - _b)] + к.с.) (1)

Веxp[-iw ₀t + i_b] - поле опорной волны, a a(exp[iw ₀t + i_a] - поле объектной волны при записи, _А и _В - волновые векторы этих волн, b ₁ и b ₂ характеризуют светочувствительность среды на низких и высоких пространственных частотах, соответственно.

Благоприятным обстоятельством в этой неприступной, на первый взгляд, задаче является то, что неоднородности имеют в основном периодический характер, воспроизводя интерференционную решетку объектной и опорной волн АВ^*еxp[i(_a-_b)] + к.с. Однако, поскольку голограмма призвана регистрировать поля, несущие информацию в виде неоднородностей своей пространственной структуры, в наиболее интересном общем случае медленная амплитуда a(), а часто и b(), оказываются функциями пространственных координат . В результате амплитуда и аза топографической решетки неоднородны как поперек голограммы, так и по глубине. Кроме того, на решетку накладываются крупномасштабные интрамодуляционные оптические неоднородности b ₁(| a()| ²+| b()| ²). воспроизводящие профиль интенсивности каждого из полей.

Тем не менее, в настоящее время найдены и широко применяются несколько приближенных методов для решения теоретической задачи восстановления. Первый из них отвечает случаю малой эффективности голограммы и содержатся в пионерской работе Денисюка /4/. Ограничение малой эффективностью позволяет пренебречь истощением считывающей опорной волны exp[-iw t + i], .т.е. воспользоваться Борновским приближением теории дифракции

e_воост~b ₂ab^*exp[-iw t + i(_a+_b+)]. Уже в этом приближении можно получить вид кривых спектрально-угловой селективности, оценить величину дифракционной эффективности в оптимальных условиях и вычислить уровень интрамодуляционных искажений восстановленного поля.

Продвинуться теоретически в область больших дифракционных эффективностей удалось Кочельнику /5/ в модели плоских связанных волн, пожертвовав пространственной структурой записывающих полей. Несмотря на жесткое ограничение типа записывающих полей - плоские волны - этот подход обладает большой общностью. Так, для

В настоящей работе мы попытаемся сформулировать теорию вое -становления объемных голограмм спекл-полей, опираясь, в частности, на процитированные работы /10-27/, в простой модели связанных волн, использующей минимальное число параметров. Задачей теории этого уровня, на наш взгляд, является расчет кривых спектрально-угловой селективности, т.е. их формы, характерной ширины и значений эффективности в максимуме. Чтобы представить результаты в терминах наблюдаемых величин, мы выбрали путь сравнения голограмм спекл-полей с голограммами плоских волн, свойства которых широко известны /5/.

При решении сложной математической задачи подчас полезно привлечь дополнительные физические соображения. Попробуем угадать вид решения в нашем случае. Пусть идеальная объемная голограмма записана плоской опорной родной bexp[i_b] и несущей информацию спекл-волной объекта А()exp[i_a], рис.1а. Требование идеальности голограммы означает, что при её восстановления опорной волной Веxp[i_b] прошедшее через голограмму излучение содержит только восстановленное без искажений поле объекта А()еxp[i_a]

Чтобы найти приближение, в котором решение волнового уравнения в среде с диэлектрической проницаемость (1) имеет указанный вид, нам придется воспользоваться новым понятием, выкристаллизовавшимся в теории обращения волнового фронта при вынужденном рассеянии /28-33/ и получавшем права гражданства с публикацией обзора /34/ по этой теме. Обратимся к модельной ситуации. Пусть в светочувствительной среде тем или иным способом записана интерференционная картина только спекл-поля объекта a():e = e ₀ + b _1| a()| ². Характерные масштабы получившихся неоднородностей определяются нерегулярной расходимостью спекл-поля D q _А и составляют D z_n~l /D q ²_a вдоль направления распространения поля и D r^ ~l /D q _a поперёк; здесь l - длина волны излучения. Посмотрим, как распространяется в такой среде спекл-волна с пространственной структурой e()~a(), отвечающей записавшему неоднородности полю.

Если оптическая сила неоднородности невелика, т.е. уровень искажений поля на каждой из них кd e D z| | << 1 мал, то на длине нескольких неоднородностей искажениями этого типа можно пренебречь и считать, что спекл-волна дифрагирует как в однородной, среде, так что структура распространяющегося поля находится

в пространственном резонансе с неоднородностями - максимумы поля А() приходятся на максимумы неоднородностей d e ()=b _1| А()| ², рис.3а. В результате большая часть потока энергии считывающей волны распространяется по местам с большей оптической плотностью (при b ₁ > 0) и эффективная диэлектрическая проницаемость для согласованного поля Е()~a() должна быть выше, чем среднее по пространству значение. Можно ввести эффективную проницаемость определением

где угловые скобки означают усреднение по пространству, что для спекл-полей эквивалентно усреднению по ансамблю реализации. Тогда, поскольку спекл-поле обладает гауссовской статистикой, для согласованной конфигурации e()~a() получим e _эфф = e ₀ + 2b ₁<| А|²>, т.е. добавка к проницаемости из-за экспозиции вдвое выше, чем средняя величина b ₁<| a| ²>.

Для пространственного с неоднородностями поля <e()А^*()>=0, рис.2б, при условии малости неоднородностей кd e D z| | <<1 среду в той же мере можно считать однородной, а её эффективную диэлектрическую проницаемость получить из того же определения e _эфф=e ₀+b ₁<| a^2| >. Это соответствует среднему по пространству значений, что вполне естественно в отсутствие пространственного резонанса. Таким образом, эффективная диэлектрическая проницаемость среды с неоднородностями, записанными спекл-полем, зависит от вида распространяющегося по среде полю.

Хотя абсолютная величина отличия в эффективных проницаемостях обычно невелика D e » 10^-4-10^-6, его следствия для наблюдаемых величин могут быть весьма значительны. Так, если вариация проницаемости имеют отрицательную мнимую часть j_{mb 1} < 0, т.е. пространственно неоднородным является усиление как в случае вынужденного рассеяния стоксовой волны Е() в поле мощной волны накачки А(), пространственный резонанс согласованной конфигурации приводит к повышенное инкременту его усиления. Этот факт лежит в основе дискриминационного механизма выделения обращенной конфигураций из спонтанного шума при обращении волнового фронта в вынужденном рассеянии /28-34/.

Перейдем теперь от качественного обсуждения к уравнениям. Рассматриваемую в этом пункте модельную задачу можно решать в рамках параболического волнового уравнения для распространяющегося в направлении z поля Е():

Здесь k = w /c - волновое число, - поперечная координата, - поперечный лапласиан. Правая часть (2) описывает влияние наведенных интерференционной картиной спекл-поля А() неоднородностей.

а оставшимися членами (|А|²Е - <| a| >²e - <a^*Е>А) пренебречь. Получившееся уравнение действительно имеет два типа решений:

и множество некоррелированных - <Е()А^*()> = 0,

где e(,z) - решение уравнения (2) без правой части, c ₁= w b ₁/2c. Процедуру (3) в литературе вводили нескольким;: различными по форме и названиям, но эквивалентными математическими способами: выделение "автоматически брэгговских" членов при разложении полей по плоским волнам /11/, статическим усреднением /31/, выделением в поляризации среди эффективно возбуждающих левую часть слагаемых (2) /36/. Понятно, что суть не в названии и не в приговариваемых при выполнении преобразований словах. Следует количественно очертить область параметров, при которых учет отброшенных при замене (3) членов дает малые поправки. Основной параметр малости, позволяющий пренебречь такими поправками, уже упоминался выше kd e D z| | << 1 /37,29/. Более подробные исследования показали, что уровень этих поправок сильно зависит от соотношения действительной и мнимой частей коэффициента b ₁, длины среды и ряда других параметров /32,25/.

В большинстве конкретных задач решение для коррелированной конфигурации заметно сложнее, чем в простой модельной ситуации (4). Самый общий вид решения Е_k(,z)=¦ (,z)a(,z) содержит зависящую от всех трех координат огибающую ¦ (), которая является медленной функцией координат в масштабах спекл-структуры поля А(). Наличие такой огибающей с необходимостью сопровождается мелко-структурными искажениями, наконец, связь d e () с интенсивностью записывающего поля |a()|² может быть нелинейной в насыщающихся нелинейных средах или материалах с нелинейным фотооткликом.

Рассмотрим процесс восстановления голограммы, которая записана плоской опорной волной Вexp[i_b-iw ₀t] и спекл-волной объекта a()exp[i_a-iw ₀t]. Примем следующие допущения: 1) считывающая опорная волна тоже является плоской; 2) все пучки одинаково поляризованы, так что можно ограничиться скалярной задачей; 3) голограмма является объемной, т.е. на её толщине укладывается много спекл-неоднородностей объектной волны, а небрегговскими максимумами дифракции можно пренебречь:

q _ab - угол между записывающими пучками, D q _a - спекл-расходимостъ волны объекта; 4) интрамодуляционные неоднородности d e _a=b _1| a()| ² являются слабыми, kd e _aD z| | >> 1. Как видно из рассуждений предыдущего параграфа, решение для поля внутри голограммы в рамках таких допущений следует искать в виде

Здесь средние интенсивности j_a=<| А| ²> и j_b=| b| ², которые постоянны по площадке взаимодействия, введены для нормировки, a(z) и b(z) - искомые амплитудные веса двух связанных волн, z - координата в глубь голограммы, - в плоскости голограммы, вектор , лежащий в плоскости голограммы, учитывает возможное отличие частот и направлений опорных волн при считывании

и записи и необходим для удовлетворения граничным условиям на входной поверхности голограммы: . Подставляя (6) в волновое уравнение для волны с частотой w в среде с диалектической проницаемостью e (), и (1) получим, пренебрегая небрэгговскими порядками дифракции и применяя правило (3) для учёта влияния интранеоднородпостей d e _a=b _1| А()| ², систем уравнений для связанных волн:

где q _А,В - утлы между векторами _a,В и осью z, нормалъной к поверхности голограммы, , D К_А и D К_В - отличия волновых чисел при записи и восстановлении, вызванные изменением средней оптической плотности среды D e =e ¾ e ₀ в результате обработки, отличием частот D w =w -w ₀ и направлений считывания, усадкой голограммы, r =(l-l₀)/l₀. В первом порядке по этим параметрам можно получить /24/

Здесь _a,b - единичные орты в направлении распространения волн А и В, _{А^ ,В^} - их проекции на поверхность голограммы, d = -_В - векторный угол наклона опорной волны при считывании. Заметим, что при выводе (7), (8) и (9) мы не накладываем никаких ограничений на геометрию записи, в частности, плоскости падения пучков А и В могут не совпадать. Кроме того, здесь мы не отвлекаемся на исследование поляризационных свойств голограммы, поскольку они будут одинаковы для голограмм плоских волн и спекл-полей, а соответствующей формулы приведены в /24/. Отличие поляризаций в записываемых и считывающих полей очень легко учесть, модифицируя амплитуду кросс-решетки фактором | _a^*_b| p_s,p, где _А,В - произвольные комплексные

поляризационные орты записывающих волн, Р_s=1 для s-поляризации, а Р_р=cosq _a,b для р-поляризации восстанавливающей опорной волны.

Последние члены в правой части уравнений (7) и (8) описывают взаимное .пере рас сеяние волн на кросс-модуляционной решетке b ₂АВ^*exp[i(_a-_b)]+к.с., а члены, пропорциональные c ₁ - влияние интрамодуляционных слагаемых b ₁(| a()| ²+|b| ²). Как и следовало ожидать, влияние интрамодуляционных слагаемых в случае спекл-волны объекта А() различно для плосковолновой компоненты b(z)В и спеклона а(z)А(). Плосковолновая компонента некоррелирована с интрамодуляционными неоднородностями и воспринимает их среднее значение и её фазовый набег за счет экспозиции d j _В~c ₁(j_a - j_b), тогда как для спеклона из-за пространственного резонанса вес коррелированных неоднородностей выше. В нашем случае линейной записи d e ~j() пространственный резонанс удваивает силу воздействия и d j _a~c ₁(2j_a - j_b). Таким образом, при низком уровне интрамодуляционных искажений система уравнений связанных волн (7), (8) в случае спекл-волны объекта a(r) отличается от соответствующей системы уравнений в случае двух плоских волн лишь добавочные членом ic ₁j_aa(z), описывающая пространственный резонанс спекл-поля с коррелированной частью неоднородностей.

Решение системы (7) и (8) в отсутствие поглощения при записи /16/ j_a=const, j_b=const трудностей не представляет /1,5,9-27/. Для дифракционной эффективности просветной голограммы cosq _a,b >0 имеем:

средней амплитудой голографической решетки D n_a,b=b ₂, параметр брэгговской отстройки

где Г₀ отвечает случаю плоской волны объекта.

Параметры М и Г полностью задаются условиями записи и обработки голограммы. Изменение наклона и частоты считывающей опорной волны приводит к вариациям параметра брэгговской отстройки. Зависимость h ({rev) (10) с учетом (9) и (12) дает кривую спектрально-угловой селективности голограмма. Максимальная дифракционная эффективность для фазовых голограмм sin²m - достигается при считывании под углом Брэгга, т.е. при rev = 0. Ширина кривой спектрально-угловой селективности как для голограмм малой эффективности | М| <<1, так и для голограмм заметной силы |М| ~1 в единицах универсального параметра v составляет |rev| £ p .

где М и v даются как и раньше, формулами (11) и (12) с учетом того, что опорная волна встречная и Соsq _b<0, Соsq _a>0. Максимум эффективности для фазовых голограмм th²М - также достигается при строгом выполнении условия Брэгга rev=0. Ширина максимума в единицах v составит как и для просветных голограмм | re| £ p при всех разумных значениях силы голограммы М.

Одинаковая ширина максимумов спектрально-угловой селективности в единицах rev отвечает различным ширинам единицах D w и D q _В. Так, из (9) и (12) видно, что условие d v£ p отвечает для частотной селективности условию

Для отражательных голограмм фактор 1-(_АВ) всегда ~1¸ 2 и их селективность высока. Для просветных голограмм селективность

будет сколь либо заметной только дня непараксиальных голограмм _А ¹ _В.

Обсудим сначала чисто фазовые голограмма j_{mb 1,2}= 0. Наличие или отсутствие спекл-структуры в объектном поле в этом случае приводит лишь к изменению чисто действительного параметра v. В результате, условие Брэгга максимально эффективного перерассеяния v=0 для голограмм плоских волн и спекл-полей, записанных и обработанных в идентичных условиях, выполняется при различных условиях считывания. Как видно из (10)-(14), внесение спекл-структуры в поле объекта приводит к сдвигу максимума кривой спектрально-угловой селективности. При этом максимальная дифракционная эффективность, ширина кривой и её форма при сохранена геометрии записи и средних интенсивностей записывающих пучков на голограмме остаются без изменений. Это, в частности, означает , что объемная голограмма в отличие от толстослойной, может дать 100%-ую дифракционную эффективность даже при записи спекл-полями. Направление сдвига максимума кривой определяется знаком величины b ₁, а для угловой селективности ещё и геометрией запаси.

Сдвиг кривой селективности вызван тем, что из-за пространственного резонанса спеклона А с интранеоднородностями b _1| А| ² эффективный показатель преломления фоточувствительного слоя в процессе восстановления для спеклона и опорной волны оказывается различным - и , соответственно. В результате радиусы сфер Эвальда /10,40/ для взаимодействующих волн не совпадают и волновые векторы этих волн при восстановлении удается замкнуть вектором решетки _А-_В, изменив либо частоту, либо угол считывания, рис.3.

Величину самого сдвига легко оценить в единицах полуширины кривой селективности. По строгому критерию первого обращения в нуль (hwom) при малой эффективности голограммы М<<1 и приближенно при М ~ 1 полуширина определяется условием d v(НwoМ)=p .

Рис.3. Из-за несовпадения радиусов сфер Эвальда считывающей опорной волны и спеклона условие Брэгга дифракции на решетке с волновым вектором =_{А¾ В} удовлетворяется не для старого направления считывания , а для нового .

Так, при j_a=j_b, b ₁=b ₂, cosq _a=Сosq _b сдвиг максимума составит М/2p полуширины кривой селективности. В Борновском приближении М<<1 он составит /2p ; в оптимальном режиме М = p /2 - 1/4 полуширины. Таким образом, сдвиги весьма малы и процесс восстановления фазовой голограммы спекл-полей в типичной ситуации вполне удовлетворительно описывается в модели плоских волн. Выделим ситуации, когда, тем не менее, учет спекл-структуры записываемых полей оказывается существенным.

Кроме этого, эффект может быть заметен для голограмм, практически не обладающих селектирующими свойствами. Так, при cosq _a=cosq _b просветная голограмма не имеет спектральной селективности, а при q _a,b << 1 практически не селектирует и по углу. В этом случае v₀ = 0 при всех разумных частотах и направлениях считывания я внесение спекл-структуры в волну объекта природа при считывании к отклонению от оптимума, которое нельзя скомпенсировать частотно-угловыми сдвигами. Дифракционная эффективность при этом уменьшается, причем степень уменьшения зависит от соотношения интенсивностей записывающих волн /11/. Таким образом, для просветной голограммы без селективности спекл-структура в поле объекта может привести к вредному эффекту снижения дифракционной эффективности. Чтобы его избежать, следует лишь удовлетворить условию u <<1, которое с хорошей точностью выполнено при , т.е. когда интрамодуляционные неоднородности

Для чисто амплитудных голограмм reb = 0 сдвига кривой селективности не происходит, поскольку rev = rev₀. Пространственный резонанс спекл-неоднородностей меняет в этом случае не фазовые скорости волн, а их темп поглощения или усиления: в голограммах с решетками коэффициента поглощения спеклон затухает на интранеоднородностях поглощения с вдвое большим инкрементом, а в усиливающих голограммах - нарастает с удвоенным инкрементом. В результате, внесение спекл-структуры в объектное поле голограмм коэффициента поглощения снижает их эффективность, а для голограмм коэффициента усиления, наоборот, её увеличивает. Количественно эти эффекты описываются формулами (10)-(14). Влияние спекл-структуры пренебрежимо как и для фазовых объемных голограмм при малом относительном весе интрамодуляционных неоднородностей. В общем случае амплитудно-фазовых регистрирующих сред могут присутствовать оба эффекта - сдвиг положения максимума кривой селективности и изменение его величины. В большинстве реальных ситуаций эти эффекты невелики.

Полученные результаты нетрудно обобщить на случай, когда спекл-структуру несет и опорнаяволна В()еxp[i_b]. Пространственный резонанс спеклона В() с интранеоднородностями b _1| В()| ² приведёт к возникновению в правой части (8) дополнительною слагаемого ic ₁j_bb(z). В результате изменятся два из параметров, определяющих дифракционную эффективность просветных (10) и отражательных (14) голограмм:

И в этих случаях влияние спекл-тструктуры (при малости шумов) сведётся к двум возможным эффектам. Для фазовых голограмм кривая селективности сдвигается, но на величину, отличную от случая плоской опорной волны, - большую для отражательных и меньшую для просветных голограмм. Для амплитудных голограмм появится также дополнительное затухание или усиление. Интересно отметить, что если обе записывающие волны несут спекл-структуру, при j_acosq _b=j_bcosq _a сдвигов максимума кривой не происходит.

Резюмируем основные результаты. Показано, что внесение спекл-структуры в записываемые голограммой поля приводит для фазовых объемных голограмм к малому сдвигу кривой спектрально-угловой селективности, сохраняя значение эффективности в максимуме и форму кривой, а при наличии амплитудной составляющей решетки еще и к небольшому изменению максимальной эффективности. Проведен количественный расчет этих аффектов. Влияние спекл-неоднородностей заметно лишь при большом относительном весе интрамодуляционных возмущений диэлектрической проницаемости голограммы.

Все эти выводы справедливы для "идеальной" голограммы. т.е. в пренебрежении шумами. При заметном уровне интрамодуляционного шума отличия голограмм плоских волн и спекл-полей более существенны - интранеоднородности спекл-поля приводят к возникновению шумов. Количественно интрамодуляционные шумы объемных голограмм исследованы в /25/ хотя приведенные в этой работе вычисления довольно громоздки и, видимо, пришло время их ревизовать с позиций теории спеклонов, общий вид можно сформулировать следующий образом. Вполне доступен такой режим работы объёмной голограммы, когда дифракционная эффективность ~100%, а уровень интрамодуляционных шумов пренебрежимо мал, тогда как для толстослойных голограммы высокая эффективность автоматически означает высокий уровень шумов /9/. Этот вывод является лишним аргументом для стимулирования разработки голографических сред с глубокой записью, т.е. с толщиной фотослоя ~ 0,1 см.

1. Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. "Оптическая голография" - Мир, m., 1973.

4. Денисюк Ю.Н. Опт. спектр., 1963, 15, 522.

6. Сooke d.j., solymar l., sheppard c.j.r. int.j.electron., 1979, 46, 337.

7. Якимович А.П. Оптика и спектроскопия. 1979, 47, 960.

8. upatnieks j., leonard С., j.opt.soc.am., 1970, 60, 297.

9. Зельдович Б.Я., Даунов В.В., Яковлева Т. В. Квантовая электроника. 1983, 10, №7.

10. Аристов В.В., Шехтман В.Ш. УФН, 1971, 104, 51.

11. Сидорович Е.Г. ЖТФ, 1976, 46, 1306.

13. Лещев А.А., Сидорович b.Г. Опт.спектроск., 1978, 44, 302.

17. Сидорович В.Г., Шкунов В.В. Оптика и спектроскопия, 1978, 44, 1001.

22. Краснов А.Е. Квантовая электроника, 1977, 4, 2011.

23. Краснов А.Е. Квантовая электроника, 1980, 7, 818.

27. Зельдович Б.Я., Яковлева Т.В. Квантовая электроника, 1980, 7, 519.

28. Зельдович Б.Я., Поповичев В.И., Рагульский В.В., Файзуллов Ф.С. Письма в ЖЭТФ, 1972, 15, 160.

29. Сидорович В.Г. ЖТФ, 1976, 46, 2168.

30. Бельдюгин И.М., Галушкин М.Г., Земсков Е.М., Мандросов В.И. Квантовая электроника, 1976, 3, 2467.

31. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Квантовая электроника, 1977, 4, 1090.

32. Зельдович Б.Я., Шкунов b.В. Квантовая электроника, 1978, 5, 36.

33. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. ЖЭТФ, 1978, 75, 428.

34. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. УФН, 1982, 138, 249.

З5. Духовный А.М., Стаселько Д.И., Письма ЖТФ, 1982, 8, 1009:

Суханов В.И., Корзинин В.Л. Письма ЖТФ, 1982, 8, 1144.

36. Беспалов В.И., Бетин А.А., Пасманик Г.А. Изв. ВУЗов, Радио-физика, 1978, 21, 961.

37. Бетин А.Л., Пасманик Г.А. Письма ЖЭТФ, 1976, 23, 577.

38. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. Квантовая электроника, 1980, 7, 299.

39. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я.. Квантовая электроника, 1980, 7, 973.

40. Эвальд П. УФН, 1966, 89, 287.

41. Мамаев А.В., Мухин Ю.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Квантовая электроника, 1983, 10, 1483.