1. Введение

Цифровая голография за последние 10 лет привлекает внимание все большего числа исследователей: физиков, математиков и инженеров. Появился ряд обобщавших обзоров /1,2/ и монография /3/, отражающих современное состояние проблемы анализа и синтеза волновых полей на ЭВМ. Однако до сих пор оценки практических возможностей цифровой голографии являются самыми противоречивыми. Оптимисты (к которым причисляют себя и авторы этой статьи) считают, что цифровая голография в сочетании с физической позволит решить ряд важных научных и прикладных проблем из числа "неразрешимых". Скептики не без оснований указывают на весьма скромные практические успехи современной цифровой голографии и высказывают сомнения в их возможном росте. В указанной ситуации решающая роль принадлежит теории цифровой голографии, однако создание ее наталкивается на ряд принципиальных трудностей, связанных прежде всего с необходимостью перехода от качественных оценок, "хуже" или "лучше" к количественным критериям сравнения различных способов анализа и синтеза голограмм на ЭВМ, а также с необходимостью установить некоторые предельные значения этих критериев. Отчетливо осознавая безнадежность попытки построения в

2. Границы возможного для голограмм, синтезированных на ЭВМ

Уже первые исследователи /4/ обнаружили, что изображение, восстанавливаемое с машинной голограммы, имеет довольно низкое качество, иногда даже мало похоже на свое математическое описание. Чтобы понять причины таких неутешительных результатов, следует подробнее рассмотреть процесс получения машинной голограммы. При этом мы будем рассматривать погрешности, специфичные лишь собственно для машинных голограмм, не учитывая влияния регистрирующей среды и других факторов проявляющихся и в физических голограммах. Пусть требуется получить голограмму с функцией пропускания по амплитуде W(u,v)∙|u|≤d/2∙|v|≤d/2 (d -размер голограммы).

Г_nm=Q_M[W(u_n,v_m)]; n,m=, (1)

получающиеся из "математической" голограммы W(u,v) путем дискретизации по аргументам с шагом δ и квантования по М уровням (Q_M означает операцию квантования отсчета). Заметим, что величина θ есть разрешение машинной голограммы.

Величины {Г_n,m; n,m=} подаются в виде электрических сигналов на устройство регистрации голограмм, которое засвечивает N´ N ячеек на плоскости светочувствительного носителя с экспозицией, определяемой соответствующим отсчетом, или модулирует пучок когерентного света. Дискретизация кажется вполне "законной" операцией в силу известной теоремы отсчетов. Однако это верно лишь па первый взгляд. В действительности операции дискретизации ведут к появлению основных отличий машинных голограмм от физических голограмм и существенно ограничивают класс "реализуемых" волновых фронтов, которые можно восстановить с машинных голограмм с приемлемыми для практических приложений погрешностями.

Рассмотрим задачу получения эталонного асферического волнового фронта σ (см. рис.1). Пусть голограмма Г синтезируется так, чтобы при освещении ее пучком В (обычно сферическим или плоским) на заданном расстоянии должен восстанавливаться асферический волновой фронт σ. Вследствие конечного размера голограммы d, конечного разрешения голограммы δ, ограниченного числа отсчетов N=[d/δ] и уровней квантования М вместо волнового фронта δ восстанавливается лишь близкий к нему фронт (см.рис.1). Максимальное (ε_max) или среднеквадратичное () отклонение фронта от σ и есть критерий точности синтезе голограммы Г. Величины ε_max и ε зависят, во-первых, от параметров фронта σ (диаметр D, радиус кривизны

R, степень асферичности и т.п.) и, во-вторых, от параметров устройства регистрации голограмм (разрешение δ или число отсчетов N, диаметр голограммы d, число уровней квантования М):

ε_max=ε_max(δ,d,M;D,R,...)=ε_max(N,d,M;D,R,...).

Если погрешность ε_max окажется слишком большой, то получить фронт σ с помощью голограммы Г невозможно. Таким образом, "область невозможного" в этой задаче задается соотношением

ε_max(N,d,M;R,D,...)≥ε_доп, (2)

где ε_доп - допустимая максимальная погрешность. Для широких приложений ε_доп=λ/5 (λ - δлина волны света).

В особо точных оптических приборах ε_доп=λ/10÷λ/100. Σравнение (2) при заданных характеристиках устройства регистрации машинных голограмм определяет некоторую область значении параметров фронта σ. Волновые фронты с параметрами из такой области не могут бить реализованы методами цифровой голографии (при использовании устройств с характеристиками N, d, M).

Пример 2.1. Пусть восстанавливаюший фронт В сферический с центром О, удаленным на расстояние R от вершины асферической поверхности σ, задаваемой уравнением

(см.рис.2). Тогда можно показать, что точность ε_max определяется по формуле

- расстояние от голограммы до точечного источника О сферической волны. В частности, для параболического волнового фронта с фокусным расстоянием F₀ имеем: R=2F₀, f₄=f₆=... =0 и можно получить простую оценку:

Область невозможного (2) есть область значений параметров (F₀,D), для которых

На рис.3 штриховкой изображена область значений фокусного расстояния F₀ и диаметра D фронта, которые невозможно реализовать с точностью ε_доп=λ/20 методами цифровой голографии при использовании регистрации устройства голограмм с

N = 1024, М = 256. Двойной штриховкой обозначена область, соответствующая ε_доп = λ/5.

Выбор устройства регистрации голограмм можно осуществить, пользуясь таблицей 1, в которой значения погрешности ε_max приведены в зависимости от разрешения δ=d/N, при различных диаметрах волнового фронта (выбрано F₀ = 500 мм, d = 25,6 мм, М = 256, λ = 0,6328 мкм).

Другая задача, в которой применяются синтезированные пространственные фильтры, - обобщенный спектральный анализ изображения ξ(х,у), |х|≤A, |y|≤A, A=d/2, заключающийся в вычислении L первых коэффициентов

разложения изображения по ортонормированной системе базисных функции , (* - символ комплексного сопряжения).

Применение ЭВМ, сопряженных устройствами регистрации, в принципе открывает возможность реализации в виде набора из синтезированных пространственных фильтров сложных базисных функций. Однако, вышеупомянутые погрешности дискретизации при синтезе фильтров на ЭВМ приводят к "возмущенным" базисным функциям и погрешностям вычисления коэффициентов, т.е. фактически вместо (11) вычисляются "возмущенные" коэффициенты:

При неправильном выборе числа членов L в зависимости от характеристик устройства регистрации (N, М, А) и параметров изображения ξ(х,у) коэффициенты ζ_k будут настолько сильно отличаться от ξ_k, что придется отказаться от использования синтезированных на ЭВМ пространственных

фильтров. В качестве критерия точности синтезированных пространственных фильтров можно выбрать погрешность обобщенного спектрального анализа с помощью таких фильтров, а именно, величину Е среднеквадратичного отклонения от изображения ξ(х,у) отрезка из L первых членов его ортогонального разложения. Заметим, что погрешность ε² определяется уже не одной голограммой, а целым набором из L пространственных фильтров. Предельно достижимое минимальное значение погрешности ε² обеспечивается оптимальным базисом Карунена-Лоэва. В работе /5/ показывается, что для базисных функций Карунена-Лоэва

Компонента характеризует представление изображения конечным числом L обобщенных спектральных компонент при идеальной реализации базисных функций Карунена-Лоэва. Очевидно, монотонно убывает с ростом L. При наличии дискретизации базисных функций погрешность ε² больше, чем , а погрешности базисных функций накапливаются с ростом L и характеризуются величинами и . Чрезмерное увеличение числа L при наличии неточно реализованных (дискретизированных) базисных функций не оправдано и ведет не к улучшению, а к ухудшению точности. Таким образом, при реализации базисных (пункций методами цифровой голографии невозможно получить точность, лучшую, чем .

причем на размере d изображения укладывается ν_х=ν_у=ν интервалов корреляции по осям х,у, соответственно.

На рис.4 приведены графита зависимости погрешности ε² от числа коэффициентов L при различном числе отсчетов пространственного фильтра, реализующего базисную функцию

(ν_х=ν_у=2,3). Пунктиром обозначено предельное значение точности, к которому можно приближаться при N→∞. Из рис.4 видно, что при любом конечном N кривая ε²=ε²(L) имеет минимум в точке L=L₀(N). Увеличивать L до значений больших, чем L₀(N), нецелесообразно, т.к. из-за накопления погрешностей базисных пункций точность все равно не будет лучше, чем предельное значение ε²(L₀(N)). С ростом числа отсчетов точка L₀(N) отодвигается вправо, а предельно достигаемая погрешность ε²(L₀(N)) уменьшается. Одновременно с ростом N уменьшается и погрешность ε² при каждом L .

В таблице 2 приведены значения ε² по отношению к полной энергии изображения W₀ при L = 456, ν_х=ν_у=2,3 для различных чисел отсчетов N.

3. Границы точности восстановления параметров объекта

Голографический эксперимент позволяет регистрировать комплексные поля и восстанавливать объект. В конечном счете исследователя интересуют либо параметры изучаемого объекта (например, геометрические размеры и координаты деталей изображения), либо собственно изображение объекта. Известно /6/, что на этапах регистрации и восстановления голограммы возникают случайные искажения, которые снижают точность измерения параметров изображения. В теории информации известны методы, позволяющие оценить предельную точность восстановления параметров для определенных моделей наблюдения /7,8/. Поэтому возникает проблема разработки моделей наблюдения сигналов, соответствующих различным схемам голографического процесса.

где Е - оператор усреднения, - погрешность измерения параметра.

Точность измерения голографического изображения объекта определяется выражением

где - постановленное в области изображение объекта.

где - дисперсия изображения . Простейшая модель наблюдения имеет вид:

где а - неизвестная амплитуда сигнала, - детерминированная функция, - белый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности N₀.

Среднеквадратичная ошибка оценки параметра "а" для модели (19):

а точность восстановления имеет нижнюю границу, определяемую неравенством Крамера-Рао /7/:

Если в (21) функция является случайной, то точность восстановления параметра "а" имеет следующую нижнюю границу /8/:

λ(0)<<N₀, (25)

где λ(ω) - энергетический спектр случайного сигнала . Для модели наблюдения изображения

В (26) и далее полагается, что стационарное поле имеет энергетический спектр . Модель с линейными искажениями удобно записывать в спектральной области

где - передаточная функция искажающего фильтра. Среднеквадратичная ошибка для (28) определена в /9/:

Если передаточная функция в модели (28) является случайной, то

где - случайная (неизвестная) составляющая пространственного фильтра.

В /10/ показано, что при определенных условиях ошибка восстановления для (30) имеет вид:

где - энергетический спектр погрешности пространственного фильтра.

Пример 3.1. Применение голограмм Фраунгофера для измерения скоростей микрочастиц.

где а - измеряемая величина, пропорциональная средней скорости микрочастиц; σ² - дисперсия скоростей микрочастиц; В(х)- структурная функция, определяемая формой и ориентацией микрочастиц (для анализа полагаем B(x)=В ). Легко видеть, что (32) соответствует модели (21):

В (33) полагаем, что область анализа неограничена (X→∞), а а/σ>>1, Используя (22) и (17), получаем

Заметим, что применение соответствующих методов обработки сигналов /7/ позволяет также оценивать и параметр σ².

где а - диаметр частицы, (х₀,у₀) - координаты центра частицы. Используя (22), получим

где φ(х) - случайная функция, описывающая мультипликативные шумы голографического процесса (например, диффузные шумы). Уравнение (37) совпадает с моделью (21) при случайном сигнале с корреляционной функцией (24) вида

При а/b>>1 из (22) и (38) получим

Здесь Λ - отношение сигнал/шум; K(∙) - полный эллиптический интеграл первого рода. Зависимости (40),(41),(42) приведены на рис.5.

Рис.5. Граница среднеквадратичной погрешности восстановления изображений с корреляционными функциями: 1 - биэкcпоненциальной, 2 - экспоненциальной изотропной, 3 - гауссовcкой изотропной.

где - приведенный размер голограммы. Ошибка (43) показана на рис.6.

4. Заключение

Дальнейшие исследования предельных характеристик точности решения прямой и обратной задач и границ возможного и невозможного в цифровой голографии представляются наиболее актуальными в следующих направлениях:

1. Т.Хуанг. Цифровая голография. В сб.: "Применения голографии", "Мир", M., стp.65, 1973.

2. В.А.Сойфер. Цифровая голография. Достижения и проблемы. Материалы IX Всесоюзной школы по голографии и когерентной оптике. ЛИЯФ, Л., стр.199, 1977.

3. Л.П.Ярославский, Н.С.Мерзляков. Методы цифровой голографии. "Hayка", М., 1977.