Модовая теория объемных голограмм сформулирована в терминах связанных пространственно-неоднородных волн. В процессе распространения опорной волны но голограмме генерируется не только структура неискаженного поля объемной волны, но и ее поперечные производные различных порядков. Для z - зависящих коэффициентов при этих структурах (где z -координата по нормали к поверхности голограммы) в рамках кодовой теории получена система связанных уравнений. В стандартном приближении кодовой теории производные структуры опускаются, и это позволяет рассчитать дифракционную эффективность и угловую, спектральную и пр. селективности объемных голограмм. Учет производных структур позволил найти спектрально-угловые искажения объемной волны в процессе восстановления для наиболее общего случая амплитудно-фазовых, просветных и отражательных объемных голограмм с высокой дифракционной эффективностью. Интенсивность этих искажений оказывается в основном пропорциональной квадрату угловой расходимости объемной волны.

сать ОГ с высокой (порядка 1) дифракционной эффективностью. В широко известной работе Когельника /4/ для выхода за рамки борновского приближения была рассмотрена сильно упрощенная задача о дифракции волн на синусоидальной объемной решетке диэлектрической проницаемости; это соответствует случаю, когда и объектная, и опорная волны являются плоскими. Ввиду нелинейной зависимости амплитуды восстановленного поля от амплитуд индивидуальных плоских угловых компонент реального (т.е.широкоугольного) объектного поля результаты работы /4/ непосредственно не приложимы к большинству экспериментальных задач. Тем не менее, важнейшим достижением работы /4/ явилось внесение метода связанных волн (в данном случае - плоских) в теоретическую голографию.

Поле реальной объектной волны как при записи, так и при восстановлении в ОГ, обладает мелкомасштабной спекл-структурой, обусловленной интерференцией различных угловых компонент, см.рис.1. Для существенно объемных голограмм эти неоднородности спекл-структуры успевают много раз смениться на толщине голограммы L, условие этого

собственно говоря, и является критерием объемности голограммы в нашей терминологии. Здесь k=ωn/c - волновое число, Δθ_А - угловая расходимость объектной волны А. Заметим, что даже при нарушении условия (1) на толщине голограммы все еще может укладываться большое число полос от интерференции δε~AB^*+A^*B объектного поля А с опорным В (кросс-модуляционные возмущения); это более типично для отражательных голограмм, где период интерференции . Голограммы с < мы будем называть не объемными, а толстослойными, такие голограммы, как известно, дают довольно значительное искажение при восстановлении, см.например /5/.

Реальная задача распространения света при восстановлении достаточно сложна из-за наличия в ОГ быстро изменяющихся в пространстве возмущений, как интрамодуляционных, , так к кросс-модуляционных, . Эксперимент,

Рис.1. Картина возмущений диэлектрической проницаемости при записи просветной объемной голограммы плоской опорной волной В и спекл-неоднородной (кодированной) объемной волной .

однако, показывает, что с результате действия ОГ поле объекта, во крайней мере в определенных условиях, может быть восстановлено довольно точно, т.е. почти без искажений. Это наводит на мысль о том, что даже по такой среде пространотвенно-неоднородная водна a(z) может идти без искажений (т.е. как будто по однородной среде) и вдоль по z меняется лишь ее общая амплитуда a(z) при сохранения пространственной спекл-структуры . Одновременно с этим должна меняться в амплитуда b(z) восстанавливающей опорной волны b(z). Тем самым мы приходим к идее о паре связанных волн - a(z) и b(z), но, вообще говоря, пространственно-неоднородных.

Чрезвычайно важным шагом в направлении к такой картине действия ОГ явилась выдвинутая В.Г.Сидоровичем в работе /6/ мо-довая теория объемных голограмм^*. В этой работе /6/ на примере параксиальной задачи о просветных фазовых голограммах было указано, что при статистически однородной по объему голограммы спекл-структуре записывающих полей существуют пространственные конфигурации специального вида (моды голограммы), обладающие следующим свойством. Мода проходит через голограмму по законам дифракции в однородной среде, а эффект возмущений сводится лишь к множителю exp(iδk_iz), описывавшему поправку к фазовой скорости распространения. Среди найденных в /6/ мод были моды вида линейных комбинаций

которые и требовались для задачи о восстановлении объектного поля опорной волной В. На этом пути в /6/ удалось определять дифракционную эффективность параксиальной просветной фазовой ОГ как для плоской, так в для кодированной опорной волны .

Здесь |δε/ε₀| - относительная амплитуда записанных в среде возмущений диэлектрической проницаемости.

(4а)

где С₁ и С₂ - амплитуда возбуждения мод, определяемые из граничных условий. Тождественное преобразование этого выражения в виду

(4б)

показывает, что модовая теория во существу оперирует связанными волнами и с z - зависящими коэффициентами a(z) и b(z).

опорной волны, усадка материала и т.п.) влечет за собой не только изменение дифракционной эффективности, но и появление искажений в восстановленном поле по сравнению с исходным полем объекта. Расчет искажений из-за частотного сдвига для параксиальных просветит чисто фазовых голограмм впервые был проведен в работе /10/ в рамках модовой теории ОГ, и притом в терминах мод.

Мы предположим, что в процессе записи по фоточувствительной среде толщиной L с диэлектрической проницаемостью ε₀ распространяется монохроматическое поле частоты ω₀ с вектором комплексной амплитуды:

Здесь , .

В процессе обработки экспонированной голограммы обычно происходит усадка материала по координате z, нормальной к поверхности голограммы. При этом координата z' данного материального носителя информации до обработки связана с его координатой z после обработки соотношением

где ρ=(L₀-L)/L₀<<1 - параметр, характеризующий относительную величину усадки. Волну мы называем объектной, а волну - опорной. В большинстве случаев поле объектной волны обладает развитой спекл-отруктурой из-за интерференции различных составляющих ее угловых компонент (т.е. волна А - кодированная). Опорная волна может быть как кодированной, так и плоской; в последнем случае . В задачах голографической коррекции лазерных пучков плоской является именно объектная волна . В дальнейшем нам понадобятся величины f_A и f_B, которым мы приписываем значения

аналогично для B - волны. Поле так же, как и каждая из волн и , удовлетворяет волновому уравнению

В результате экспозиции и обработки диэлектрическая проницаемость в точке голограммы с координатами принимает значение

где , и множитель (1+ρ) при координате z описывает эффект усадки. Здесь величина Δε υарактеризует "оптическое уплотнение" обработанной голограммы в отсутствие экспозиции. Коэффициент передачи мы считаем различным дня интрамодуляционных возмущений , и дня кросс-модуляцион-

ных слагаемых, . Это позволяет описать действие частотно-контрастной характеристики материале, причем обычно |κ₂|<|κ₁| из-за наличия быстрой пространственной зависимости в кросс-модуляционных членах. Введение множителя 2ε₀/k₀ определяется соображениями удобства. Мы предполагаем отклик среды скалярным (о средах с нескалярной записью см. /11/) и линейным по интенсивности записывавшего поля (модовая теория ОГ с учетом нелинейности фотопроцесса сформулирована в работе /20/). В общем случае все три величины - Δε, κ₁ и κ₂ - комплексны, для чисто фазовых голограмм κ₁ и κ₂ вещественны, а для чисто амплитудных величины κ₁ и κ₂ чисто мнимы.

Пусть в процессе восстановления на гслограмму падает восстанавливающая опорная волна частоты ω, в общем случае отличающейся от частоты ω₀ при записи. Волновое уравнение для восстанавливающего поля имеет вид

Здесь мы ввели вектор индукции , причем с линейной точностью по возмущениям имеем

Используя условие поперечности индукции , из (10) нетрудно получить уравнение

При переходе от (10) к (12) мы отбросили слагаемые ~(ε-ε₀)² и более высоких порядков малости по (ε-ε₀). Разумеется, вто еще не означает, что мы используем борновское приближение. Как будет видно из дальнейшего, даже при малой величине |(ε-ε₀)/ε₀|<<1 параметр |ε-ε₀|ωL/c может быть большим. Это связано с тем обстоятельством, что для длины волны λ_вак=0,5 мкм и типичных толщин голограммы L~10÷30 мкм величи-

на ωL/с=2πL/λ_вак составляет ~30÷100, что компенсирует малость величины |ε-ε₀|. Поэтому решать приближенное уравнение (12) следует с учетом всех порядков по параметру |ε-ε₀|ωL/c, но c использованием малости величины |ε-ε₀|. В дальнейшем о той же точностью уравнение (12) мы будем считать применимым и к полю .

В отношении граничных условий мы предположим, что в процессе восстановления на поверхность z= 0, L падает считывающая опорная волна , которая по своей поперечной структуре отличается от записывавшего опорного поля множителем . Если ω=ω₀, то этот множитель описывает изменение угла считывающей опорной волнь по сравнению с записывавшей. При |ω-ω₀|≠0 величина и содержит слагаемые Ψ~(ω-ω₀) даже в отсутствие поворота опорной волны при восстановлении. Введение фактора позволяет рассмотреть задачу об угловой и спектральной селективности ОГ; подробное исследование этого вопроса см. в /16/.

Следует также специально обсудить вопрос о количестве граничных условий. Как известно, для дифференциальных уравнений 2-го порядка (оператор Лапласа в (12) необходимо задание двух граничных условий - на саму функция и на ее нормальную производную (или на поля и ). В задаче о падении света на границу между двумя однородными средами с проницаемостями ε₁ и ε₂ это позволяет определить амплитудный коеффициент френелевского отражения r~(ε₁-ε₂). Везде в дальнейшем мы будем пренебрегать эффектами френелевского отражения, считая, например, голограмму погруженной в однородную иммерсную среду с проницаемостью ε₀. В пренебрежении малыми поправками порядка |ε-ε₀|/ε₀ мы можем нe учитывать и поверхностного френелевского отражения с r~ε-ε₀. В то же время объемные эффекты порядка (ε-ε₀)∙ωL/с мы будем учитывать по ввзможности точно. В рамках сделанных выше приближений оказывается достаточным задать лишь одно граничное условие. Для просветиой голограммы оно имеет вид:

а для отражательной голограммы граничные условия должны быть заданы в сечениях z=0 и z=L, см.раздел 5. Ниже наиболее подробно будет рассмотрен случай плоской опорной волны, , а объектное поле будем считать кодированным, т.е. обладающим мелкомасштабной спекл-структурой.

Здесь на простейшем примере мы рассмотрим структуру возможных искажений, возникающих при восстановлении поля в ОГ. Пусть голограмма записана плоской опорной волной и объектной волной . Для определенности в этом разделе мы считаем, что центральное направление объектной волны и направление опорной волны лежат в плоскости хz, а поляризация обоих полей с нужной точностью может быть взята в виде постоянного орта , перпендикулярного плоскости чертежа на рис.2. Будем считать, что изменение частоты, угловой сдвиг, усадка и оптическое уплотнение отсутствуют. Кроме того, пусть восстанавливающая волна также имеет у-поляризацию, . В борновском приближении в правой части уравнения (12),

следует учесть лишь рассеяние невозмущенной опорной волны на кросс-модуляционных решетках δε~AB^*, записанных в ОГ. При этом для поля получим уравнение

Исходное поле , а также решение уравнения (14) удобно представить с помощью разложения в интеграл или ряд Фурье по поперечным координатам, .

Ввиду того, что поле при записи удовлетворяет однородному волновому уравнению (8), фурье-амплитуды не зависят от координаты z. Подстановка (15) в (14) дает

Сделаем предположение (законность которого при kL<<1 оправдывается результатагяи расчета) о том, что вторую производную в (16) можно опустить. Тогда

Параметр есть амплитудный коэффициент восстановления -ой компоненты углового спектра объектного поля А. Появление величины в знаменателе имеет простой смысл. Именно, в борновском приближении амплитуда восстановленной волны пропорциональна длине пути L' в среде, на протяжении которого когерентно накапливаются рассеянные кросс-решеткой волны, причем ддя данной угловой компоненты имеем L'=L/cos.

Если угловая расходимость объектного поля невелика, то в самом грубом приближении функцию в пределах углового спектра можно считать постоянной и равной , где отвечает некоторому центральному направлению волны А. В этом приближении объектная волна восстанавливается без искажений, т.е. с точностью до общего множителя имеет ту же структуру, что и при записи.

Учет зависимости приводит к тому, что разные угловые компоненты передаются с разным весом. Восстановленное поле

мы представим в виде неискаженной объектной волны с подходящим коэффициентом, а остальной частью поля Е_восст(), т.е. искажениями, мы будем называть часть, ортогональную к объектной волне. Тогда

(20а)

(20б)

Здесь мы ввели нормированное распределение интенсивности в объектной волне по - компонентам:

При этом и, кроме того, . Если угловая ширина объектного поля невелика, то величину можно разложить вблизи некоторого центрального направления:

При этом , где угловыми скобками обозначено усреднение по нормированному - спектру . В итоге доля искажений иа (21) с той же точностью равна

(22а)

Величина легко получается из (18):

Если на голограмму из воздуха при записи падает волна А со среднеквадратичной угловой расходимостью в воздухе в плоскости хz. (см. рис.2), то . В силу закона Снеллиуса поперечные компоненты волнового вектора не меняются при преломлении, и в результате доля искажений оказывается равной

(22б)

где n - показатель преломления материала голограммы относительно воздуха. Возьмем численный пример с =45°, n=1,3, =23°=0,4 рад; при этом θ_A=33° и Ф=0,03, т.е. доля искажений составляет 3%.

т.е. искажения состоят из производной от объектного поля по поперечной координате х и самого поля в такой линейной комбинации, которая обеспечивает ортогональность к полю .

Характер искажений в восстановленном поле (20) и (23) аналогичен тому, как еоли бы мы рассматривали объект через тонкую наклонную стеклянную пластину. Такая пластина вносят в пучок потери за счет френелевского отражения, причем кооэффициент пропускания зависит от угла. В результате разные части объекта, видные наблюдателю под разными углами, восстанавливаются с несколько различной амплитудой, в искажения заключаются именно в этом. Такой простой характер искажений здесь обусловлен тем, что обе величины –t₀ и ¶ t/¶ q_j - чисто вещественны и,

тем самым, имеют одинаковую фазу. Ниже, в разделе 7, мы получим дополнительные искажения восстановленного поля также в форме (23), но уже с произвольным соотношением фаз величин t₀ и ¶ t/¶ q_j.

Ясно, что при записи и (или) восстановлении волн с поляризацией в плоскости () появятся дополнительные искажения того же порядка (), обусловленные вариациями ортов поляризации в пределах углового спектра. (Заметим, что для рассмотрения задачи с поляризационные искажения имеют меньшую интенсивность, ~(Δα)⁴).

Таким образом, в борновском приближении и при совпадении всех условий записи в восстановления искажения восстановленного в ОГ поля объекта А пропорциональны квадрату его угловой расходимости (Δα)², численно сравнительно невелики и имеют простую природу. Ниже, в разделе 7, мы рассмотрим искажения, обусловленные неодинаковостью условий при записи и восстановлении (спектральный сдвиг, усадка и т.п.). Эти искажения, также пропорциональные (Δα)², в интересном случае оказываются заметно большими, чем шумы борновского приближения. По этой причине искажения, связанные с поляризацией, мы не будем конкретно рассматривать ни здесь, ни ниже, в разделе 7.

где интегрирование ведется по площади голограммы (ds') и по ее толщине (dz') и функция Грина . Центральная идея объемной голографии /3/ основана на аналогии выражения (24) и выражения

для поля Е₀, подчиняющегося однородному уравнению Гельмгольца /см.21/. Для фурье-компонент поля А, характеризуемых утлом θ_А между волновым вектором и осью z, выражение (25) обычно приводят к приближенном форме:

Поскольку в принципе Гюйгенса плоскость z'=соnst может быть выбрана произвольно, то интегрирование (26) по dz' дает выражение вида (24). Таким образом, восстановленное в ОГ поле (24) с точностью до множителя совпадает с тем полем объектной волны, которое было бы в точке при распространении от объекта, согласно принципу Гюйгенса. Здесь фактор в точности соответствует такой же зависимости от угла для коэффициента из (10). Однако, если объектная волна обладает достаточно широким угловым спектром, то переход от (25) к (26) не закончен, и в этом смысле восстановленное в ОГ поле (24) неточно воспроизводит поле (25), присутствовавшее при записи.

Выше, в разделе 3, мы видели, что в процессе восстановления могут возникать искажения, имеющие структуру поперечных градиентов объектного поля. В этой связи поле в ОГ в процессе восстановления мы будем искать в виде суммы опорной и объектной волн и их поперечных производных различных порядков, причем коэффициенты при этих структурах меняются вдоль по толщине голограммы z. В наиболее интересном случае плоской опорной волны ее производные отличаются от исходной функции лишь множителем. Поэтому нам понадобятся лишь производные от поля объектной волны. В этом поле мы выделим быструю экспоненциальную зависимость, соответствующую некоторому центральному значению волнового вектора , где , т.e. полное поле объектной волны представим в виде

где - сравнительно медленно меняющаяся амплитуда; характерный масштаб ее изменения . Поле А образовано интерференцией большого числа невввиоямых угловых компонент и может рассматриваться как гауссовское (по статистике) случайное поле, которое мы будем характеризовать средними по ансамбле значениями. При этом <А>=0, и коррелятор равен

(теорема Ван-Циттера-Цернике). Здесь величина характеризует отличие поперечной компоненты волнового вектора от его "центрального" значения . Введем нормированное поле следующим определением

и так далее. Функции A_j (j=1,2) в общем случае содержат проекцию как на поле , так и друг на друга; например:

где - нормированное распределение по значениям параметра для интенсивности в объектной волне. Линейные комбинации уже не содержат проекции на поле . (Заметим, что сам двумерный вектор можно было бы обратить в нуль подходящим выбором центрального направления , ср.с формулой (27). Мы предпочитаем, однако, сохранять везде величины с тем, чтобы убеждаться в ковариантности получаемых выражений относительно небольших вариации конкретного выбора ). Тем не менее, две компоненты А'_х и А'_у в общем случае не ортогональны и между собой:

(31б)

Для ортогонализации и нормировки функций введем матрицу N_ij (i, j пробегают значения х, у),

(34б)

Для случая, когда центральное направление объектной волны почти совпадает с осью z (т.е. с нормалью к поверхности голограммы), нам понадобится также учитывать и вторые производные объектного поля. Требуя ортогональности к функциям и . Мы приходим к линейным комбинациям вида

(36а)

. (36б)

В силу симметрии по индексам l, m в (35) всего имеется 3 линейно-независимых функции. Их нормировку и ортогонализацию между собой мы произведем с помощью матрицы:

, (37а)

(37б)

В общем случае явное нахождение матриц , , , , осуществляющих приведение системы функцни к главным осям, является весьма сложной задачей. Замечательно, однако, что в окончательные результаты для интенсивности искажении (см. ниже раздел 7) входят лишь билинейные комбинации этих матриц, которые удается выразить по соотношениям (34), (36), (37б) через моменты , , и распределения интенсивности в объектной волне по волновым векторам в плоскости х,у.

ЧАСТЬ II

Предположим, что записывающее поле состоит из опорной и объектной волн, каждая из которых характеризуется некоторым единым^* ортом поляризации (в пренебрежении поляризационными исажениями):

Для определенности ми рассматриваем случай плоской опорной волны. Здесь ; ; . Это поле создает в экспонированной голограмме возмущение диэлектрической проницаемости вида (9). В процессе восстановления перерассеяние из волны В в волну А и обратно естественным образом выделяет две пары ортов поляризации этих волн /16/.Одна из них соответствует так называемой s - поляризации, для которой ; другая пара ортов (р - поляризация) имеет вид

Орты р -пары лежат в плоскости векторов , , а общий орт s - поляризации перпендикулярен этой плоскости. Мы будем считать, что в процессе восстановления подается опорная волна какого-то определенного (из двух упомянутых выше) типа поляризации; в силу линейности уравнений результат для произвольной поляризации может быть получен простой суперпозицией решений для собственных типов. Заметим, что на орты и при записи никаких ограничений не накладывается.

В соответствии с идеологией модовой теории связанных пространственно-неоднородных волн поле на частоте

в процессе восстановления мы будем искать в виде структур, согласованных с возмущениями , имевшимися в обработанной голограмме, а именно,

Сватаемое мы будем называть опорной волной при восстановлении, а члены - восстанавливаемым объектным полем (вообще говоря, с искажениями).

Разложение объектного поля при восстановлении по нормированным производным возрастающих порядков от объектной волны является, как будет видно из дальнейшего, разложением по степеням малого параметра ; конкретнее ; ; и т.д. Поэтому для не слишком малых значений "центрального угла падения" θ_А объектной волны в дальнейшем достаточно будет ограничиться учетом .вишь слагаемых ~aA+a_iA_i. В случае же параксиального падения объектной волны, т.е. при θ_А<Δθ_А ( для описания искажений приходится учитывать также и слагаемые ~a_ikA_ik.

Подстановка поля (39) в правую часть уравнения (12) дает слагаемые различного вида. Среди них есть слагаемые, в которые быстрая экспонента очень сильно не удовлетворяет волновому уравнению, например, члены вида . В теории связанных волн такие члены отбрасываются с самого начала, поскольку они не возбуждают распространяющихся полей.

Имеются слагаемые с быстрой зависимостью соответотвующей опорной волне. Они получаются в результате рассеяния самого опорного поля на интрамодуляционных возмущениях .

В рамках модовой теории в этом выражении следует произвести замену . Это означает, что опорная волна

"чувствует" среднюю по пространству засветку от объектного поля. Кроме того, в опорную волну на кросс-решетках вида перерассеивается объектное поле: .

(40а)

Именно здесь проявляется удобство разложения по ортогональным функциям, поскольку .

Наконец, в правой части (12) возникают слагаемые с быстрой экспонентой, отвечающей объектному полю, . Здесь прежде всего имеется рассеяние из опорного поля θ в объектную волну . Точнее говоря, применение оператора rot rot к выражению , во-первых, слагаемые (двукратное дифференцирование экспоненты), и в результате генерируется неискаженная объектная волна . Во-вторых, для р - поляризации будут возникать дополнительные слагаемые от однократного дифференцирования сравнительно медленной функции . Эти слагаемые отвечают специфическим поляризационным искажениям, упоминавшимся в разделе 3 и появляющимся уже в борновском приближении. В соответствии со сказанным, там мы не будем их учитывать, имея в виду, что искажения, обусловленные усадкой, спектральным и угловым сдвигом и т.п. имеют заметно большую величину. Кроме того, имеется преломление объектной волны в присутствии однородного изменения диэлектрической проницаемости . Наконец, имеется перерассеяние объктной волны на "своей" интрамодулядионной решетке . Наиболее существенный момент модовой теории состоят в том, что эти слагаемые обрабатываются по следующему алгоритму:

(40б)

(40в)

Таким образом, неискаженная часть объектной волны чувствует "свою" интрарешетку с удвоенным коэффициентом. Именно эта двойка отличает медовую теорию связанных пространственно-неоднородных волн (т.е. волн со сложной спекл-структурой, кодированных) от теории Когельняка /4/ для пары плоских связанных волн.

С учетом всего сказанного мы должны подставить поле вида (39) в (12), обработать правую часть по указанному алгоритму и приравнять коэффициенты при , , , . В результате система уравнений для связанных волн приобретает вид

, (41а)

(41б)

(41в)

Здесь мы считаем угол θ_A не слишком малым и поэтому ограничились учетом лишь слагаемых ~aA+a_iA_i. Кроме того, центральное направление выбрано так, чтобы . В формулах (41) мы используем следующие обозначения (совпадающие, в основном, с введенными в /16/):

, (42а)

, (42б)

(42б)

Единичный вектор характеризует проекцию волнового вектора на плоскость поверхности голограммы. Кроме того, в этом разделе мы рассматриваем плоскую опорную и кодированную объектную волну, и поэтому в выражениях (42) следует, в соответствии с (7), положить f_a=2, f_B=1. Тем не менее, мы приводим выражения для D_A и D_B в виде (42 а,б) с тем, чтобы ниже в разделе 6 в пренебрежении искажениями рассмотреть также и случаи кодированной опорной волны и (или) плоской объектной волны.

Для параксиального падения объектной волны, θ_А<Δθ_А, необходимо учитывать также и слагаемые ~a_ikA_ik. В этих условиях центральное значение можно принять направленным точно по нормали к голограмме, θ_А=0; при этом небольшой реальный наклон объектного поля проявится в том, что .

(44а)

(44б)

(44в)

(44г)

; (45а)

При этом в выражениях (42а-в) нужно положить θ_А=0.

Системы (41) или (44) обладают рядом свойств, вытекающих из ортогональности и нормированности набора функций В, А^Н.

, , по которым производится рааяовение поля. Так, выражение для z - компоненты вектора Пойнтинта, усредненной по поперечным координатам, с точностью до членов ~ν' имеет вид:

Нетрудно проверить, что при вещественных ε₀, Δε, κ₁ и κ₂ (чисто фазовые голограммы без поглощения) из системы (41) следует точное соотношение:

выражающее собой закон сохранения энергии. Выражение для вектора Пойнтинга с учетом слагаемых ~|a_ik|² более сложно, и мы его здесь не приводам.

Граничные условия (13) в терминах амплитуд b, a, a_i, a_ik примут следующий вид. Просветные голограммы:

b(z=L)=1, a(z=0)=a_i(z=0)=a_ik(z=0)=0. (48б)

Представление для. поля (39) и системы уравнений (41) или (44) основаны на разложении по степеням малого параметра Δθ_А. В этой связи представляется естественным и решать эти системы методом последовательных приблинений. В нулевом приближении мы вообще пренебрегаем искажениями, т.е. слагаемыми ~а_i и a_ik. При этом остается система уравнений для двух связанных амплитуд а(z) и b(z).

С учетом поглощения при записи коэффициенты D_A, D_B, D_AB в этих уравнениях зависят от z, и тогда решение этой системы мояно получить лишь численно^*. Подчеркнем, однако, что даже в этом случае речь идет не о численном решении исходного уравнения (12) в частных производных для полей со спекл-структурой, а лишь о решении системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство и состаляет основное достижение современной модовой теории связанных волн. Рассмотрение теории связанных плоских волн с учетом поглощения при записи проведено в работах /22,23/.

Мы ограничимся здесь случаем малого поглощения при записи, когда z –зависимостью величин J_A, J_B тем самым, коэффициентов D_A, D_B, D_AB можно пренебречь. Тогда уравнения (41) имеют чисто экспоненциальные решения ~exp(μz) (моды, впервые введенные в работе /6/). Для просветных голограмм линейная комбинация этих решений, удовлетворяющая граничным условиям (48а), имеет вид (см./16/):

В общем случае параметры ξ и М комплексны; они становятся вещественными лишь для чисто фазовых голограмм. Параметр М характеризует "силу голограммы", а параметр ξ - отстройку от точного выполнения условия Брэгга для перерассеяния из волны В в волну А . Дифракционную эффективность просветной ОГ η_просв. мы определим как отношение z-компоненты вектора Умова-Пойнтинга в восстановленной объектной волне на выходе к z-компоненте вектора Умова-Пойнтинга в опорной волне на входе. Тогда из (49), (50) следует /16/

Аналогично, для отражательной ОГ решение системы (41) в пренебрежении слагаемыми ~a_i, и a_ik имеет вид:

и дифракционная эффективность η_отр. равна

Детальное исследование спектральной и угловой селективности (т.е. зависимости η от Δω, ), эффектов усадки, поляризаций и т.п. на основе выражений (49)-(54) проведено в работе /16/. Для нашего рассмотрения достаточна лишь следующие выводы, полученные в /16/. Дифракционная эффективность η~1 достигается при значениях силы голограммы |ξ|>1 и параметре отстройки |ξ|<1 уход в область |ξ|>1 приводит к довольно быстрому спаданию дифракционной эффективности. Поэтому ниже при вычислении искажений ~|a_ik|², |a_ik|² мы будем интересоваться лишь той областью значений величин Δε, δω/ω₀, , ρ, J_A, J_B. Для которых дифракционная эффективность не слишком мала, т.е. |M|~1, |ξ|<1.

Случай наклонного падения объетной волны

Дня нахождения искажений в восстанавливаемом объектом поле нужно вычислить поправки вида , . В первом неисчезающем приближении по параметру Δθ_А достаточно учесть лишь слагаемые ~a_iA_i. В силу ортогональности полей и энергия, переносимая искаженной частью поля будет квадратичной по амплитуде a_i; т.е. энергия искажении ~. Для нахождения a_i(z) в

первом неисчезавющем приближении достаточно в уравнении (41в) в качестве a(z) и b(z) подставить решения (49) и (52), соответствующие нулевому приближению, т.е. стандартной теории связанных неискаженных волн /16/. С учетом граничных условий a_i(z=0)=0 получаем:

Поскольку a(z) - безразмерно, F_A и F_B имеют размерность длины, то параметры С_A, C_B, С_AB безразмерны:

Параметр μ характеризует поправку к z-компоненте волнового вектора свободно распространяющейся волны . Ее отличие от аналогичной поправки D_A для волны состоит в том, что последняя чувствует "свои" интрамодуляционные возмущения с гауссовсксй двойной, а волна, будучи ортогональной к , чувствует эти возмущения просто по среднему уровню; поэтому μ-D_A=-κ₁J_A/cosθ_A. Благодаря тому, что невозмущенные функции а(z) и b(z) суть линейные комбинации двух экспонент exp(μ_iz), интегралы для F_A(z) и F_B(z) в (55) могут быть вычислены явно.

Обсудим вначале вклад каждого из слагаемых F_A(L) и F_B(L) в отдельности. Рассмотрим, например, слагаемое F_B(L) для случая фазовых голограмм (просветных или страдательных) с малой дифракционной эффективностью. В этом случае работает борновокое приближение, и во всем объеме голограммы b(z)≈. Тогда

Пусть, к тому же . Тогда х₁≈х₂ и вклад слагаемого |F_B|² в долю искажений равен

Нетрудно видеть, что эта доля искажений совпадает с вычисленной ранее (22) для борновского приближения; однако здесь результат получен при произвольном несовпадении условий восстановления и записи, т.е. при Δω≠0, ≠0, ρ≠0, Δω≠0, θ, тем самым, при ξ≠0. Однако даже в борновском приближении максимальная дифракционная эффективность достигается при ξ=0, т.е. при D_A-D_B=0. В этом случае вклад слагаемого |F_A|² в долю искажений равен

Таким образом, слагаемое целиком обусловлено несовпадением параметров записи и восстановления ρ, , Δω, Δε. Эти параметры для чисто фазовых голограмм можно подобрать так, чтобы они компенсировали друг друга в выражении для ξ давая ξ≈0. Такой подбор соответствует выполнению условия Брэгга для рассеяния В→А, но лишь для "центральных" волновых векторов . Из-за того, что поле обладает протяженным угловом спектром, условие Брэгга перестает выполняться для "боковых" компонент , что и приводит к искажениям рассматриваемого типа. Конкретно это обусловлено тем, что в параметр из (59) величины ρ, Δε, Δω, входят в другой комбинации, нежели в параметр , определяющий дифракционную эффективность.

На первый взгляд, искажения типа пропорциональны однородному многочлену 2-й степени по малым параметрам , Δω, ρ, Δε, β отличие от слагаемых ~|F_B|², которые такой малости не содержат. Однако в слагаемых |F_A|² содержится большой параметр (k₀L/2)². Так, для n = 1,3, λ = 0,5 мкм, L = 10 мкм имеем (k₀L/2)≈4∙10³. Из-за этого даже сравнительно умеренные значения Δω, , ρ, Δε μогут приводить к весьма сильным искажениям, гораздо большим, чем искажения (58) борновского типа. Поэтому здесь и в дальнейшем искажения борновского типа, а также совпадающие с ними по порядку величины поляризационные искажения для р - поляризаций мы не будем рассматривать, и сосредоточимся лишь на искажениях, генерируемых за счет , Δω, Δε, ρ. Μы не будем также учитывать и интерференционные слагаемые .

Рассмотрим теперь другой предельный случай - фазовую голограмму с большой дифракционной эффективностью, для определенности отражательную. При этом, опять-таки, мы ограничимся задачей ξ=0, что обеспечивает максимальность дифракционной эффективности η=thM≈1 при М>2,5. Тогда интегрирование в (55) дает

Для случая, когда >, выражение (56) для доли искажений принимает вид

Таким образом, и здесь интенсивность искажений содержит очень большой параметр (k₀L)². Нетрудно понять, что при достаточно больших искажениях, т.е. когда Ф из (56) становится сравнимым с единицей, может потребоваться учет обратного влияния возмущений на волну a(z)А. В этом случае нужно решать полную систему связанных уравнений для a и a_i (в неборновском случае - еще и для b(z)). Для частного случая параксиальной задачи θ_A, θ_B << 1 об искажениях из-за спектрального сдвига и Δω такого рода обратное влияние было рассмотрено в работе /10/ на языке мод.

где вещественные двумерные векторы l_i и m_i в основном пропорциональны мнимой и вещественной части отношения a_i(L)/a(L):

Случай, когда отношение a_j/а есть вещественный вектор, т.е. , , был обсужден в разделе 3. Эти искажения соответствуют разной по модулю амплитуде восстановления разных угловых компонент и аналогичны искажениям за счет угловой зависимости коэффициента френелевского отражения при наклонном падении.

В отличие от этого, случай с чисто мнимым a_i/а отвечает , =0, и тогда c той же точностью

Иначе говоря, искажения этого типа соответствуют смещению объектной волны по поперечной координате на вектор . Нетрудно проверить, что доля искажений становится порядка 1 в том

случае, когда величина смещения становится порядка поперечного размера спекл-структуры поля .

Случай параксиального падения объектной волны требует учета слагаемых ~a_ikA_ik в дополнение к слагаемым вида аА и a_iA_i. Это связано с тем, что целый ряд членов в a_i(z) содержит множитель sinθ_A, и поэтому при θ_A→0 они становятся сравнимыми с a_ik. В соответствии со сказанным в разделе 5 для параксиального падения объектной волны мы примем θ_A=0, а реально имеющийся небольшой наклон центрального направления объектной волны проявится в том, что ≠0.

Как и в случае наклонного падения, величины a_i(z) и a_ik(z) мы найдем методом последовательных приближений, используя невозмущенные функции а(z) и b(z). Это дает

(68б)

При этом функции F_A(z) и F_B(z) могут быть взяты из (55) при θ_A=0, и в выражении для a_ik мы опустили слагаемые ~Ψ². Доля энергии, содержащаяся в искажениях, может быть определена теперь как

Ф=(|a_i|²+|a_ik|²)/|a|². (69a)

(69б)

Отметим, что в частном случае прооветных фазовых голограмет при ρ=0, = 0, Δε=0, Δω≠0 и в пренебрежении слагаемыми κ₁(2J_A+J_B) в выражении для D_A формула (69б) совпадает с выражением, впервые полученным в /10/.

Выражение (69б) показывает, что и для параксиального случая интенсивность искажений, обусловленных несовпадением условий записи и восстановления, содержит большой параметр |k₀F_A/a|²~(k₀L)². При этом угловой фактор составляет величину, пропорциональную (Δθ_А)⁴ для возмущений ~(Δω/ω)², ρ², Δε² и пропорциональную (Δε_A)² для возмущений ~.

Фигурирующий выше тензор ν_ij-ν_iν_j удобно выразить через угловые параметры объектной волны в воздухе. Пусть показатель преломления материала голограммы равен n, центральное направление объектной волны составляет угол θ^возд с осью z (угол падения в воздухе). Пусть, кроме того, средний квадрат расходимости пучка в воздухе составляет <(Δα_xz)²> в плоскости падения и <(Δα_y)²> в перпендикулярном направлении (все для воздуха). Тогда из законов преломления следует

при этом вектор совпадает с ортом .

Приведем некоторые численные оценки. Рассмотрим отражательную фазовую голограмму с большой дифракционной эффективностью. Пусть М=25, η=th²M≈0,97 и θ_А^возд=45°, рад ≈23°. Рассмотрим влияние усадки ρ≈0,045. Пусть, как при записи, так и при восстановлении опорная волна идет точно вдоль оси z, т.е. θ_В=0; в этом случае Δε=0. Κроме того, примем, что Δε=0. Δля достижения максимальной дифракционной эффективности, ε=0, мы должны взять Δω/ω=ρcosθ_A (при этом мы считаем величину κ₁J_A

Подставляя этот вектор и (70) в (64), при λ=0,5 мкм, L=10 мкм для доли искажений получим, Ф≈50%. Это показывает, насколько велико влияние сравнительно умеренных отличий условий восстановления и записи на долю шумов.

Оценим теперь искажения при всех тех же условиях, но для параксиального случая. Мы примем =0, ν_ikl=0, ν_jjss=8<Δα_y²>²n^-4, ν_jjν_ss=4<(Δα_y)²>²n^-4; при этом мы считали форму углового распределения j(α) гауссовской, j(α)~. Тогда из (69б) получим Ф≈20%.

Общая интенсивность рассмотренных здесь искажений растет с ростом угловой ширины Δθ_А объектного поля. С другой стороны, в работе /19/ были количественно определены интрамодуляционные ("змеечные") искажения волны, восстановленной в ОГ; они уменьшаются как Δθ_А^-2. Наличие количественных выражений для искажений обоих типов позволяет поставить задачу об оптимальном выборе угловой ширины Δθ_А, минимизирующей полные искажения.

3. Ю.Н.Денисюк. ДАН СССР, 144,1275(1962).

6. В.Г.Сидорович. ЖТФ, 46, 1306(1976).

7. В.В.Аристов. В.Ш.Шехтман. УФН, 104, 51, 1971.

8. В.Г.Сидорович, ЖТФ, 46, 2168, 1976; И.М.Бельдюгин, М.Г.Галушкин, Е.М.Земсков, В.И.Мандросов, Квант.электр., 3, 2467,1976.

9. Б.Я.Зельдович, В.И.Поповичев, В.В.Рагульский, Ф.С.Файзуллов. Письма в ЖЭТФ, 15, 160, 1972.

10. В.Г.Сидорович, В.В.Шкунов. Оптика и спектр., 44, 1001, 1978.

11. Ш.Д.Какичашвили. Оптика и спектр., 42, 390, 1977.

14. Б.Я.Зельдович, В.В.Шкунов. Квант.электр., 6, 1533, 1979.

18. В.Г.Сидорович. Материалы Х Всесоюзной школы по голографии, т.1, стр.161-186, Ленинград, 1978.

20. Б.Я.Зельдович, Т.В.Яковлева. Квант.электр., 7, 519, 1980.

S.Horozumi. Jap.Journ.Appl.Рhуs., 47, 190, 1976.

И.К.Любавская, О.Б. Серов, А.Н.Смолович. Письма ЖТФ, 6, 38, 1980.