О СВЯЗИ МЕТОДОВ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ

СО СПЕКЛ-ИНТЕРФЕРОМЕТРИЕЙ

А.А.Капустин, В.О.Каледин, С.О.Мажура, А.А.Рассоха

Исследуется образование на восстановленных голографических изображениях спекл-структуры. Подучена формула для отношения интенсивности изображения точечного источника к верхней оценке интенсивности шума от изображений других источников. На основа анализа полученных формул предложены и экспериментально апробированы новые схемы спекл-интерферометрии, использующие восстановленные голографические изображения.

На примере методики Буна показано, что в основе методов голографической интерферометрии лежит спекл-эффект. Как известно /1/, изображение диффузно отражающего объекта, получаемое в когерентном свете, покрыто зернистой структурой (спекл-структурой). Изучению спекл-структуры изображения диффузно-отражающего объекта, освещенного когерентным излучением, посвящена работа /2/. В работе /3/ предложена схема обычной спекл-интерферометрии, основанная на использования эффекта образования спекл-структуры на фотографиях диффузно-отражающих когерентное излучение объектов. Известно также, что спекл-сгрукгура образовывается и на изображениях, восстановленных с голограмм. В работах /4,5/ изучалось образование спекл-структуры на восстановленных голографических изображениях. В работах /5,6/ предложены совмещающие голографическую и спекл-интерферометрию схемы, которые основаны на идее практического использования аффекта образования спекл-структуры на изображениях, восстанавливаемых голограммами.

В данной работе на основе более детального количественного изучения эффекта образования спекл-сгруктуры на восстановленных

- 186 -

голографических изображениях предлагаются новые кодификации схем /5/ совмещающих голографическую в спекл-интерферометриго.

Целью данной работа является также исследование роли спекл-эффекта в методах голографической интерферометрии.

1. Параметры спекл-структуры изображений, восстановленных с голограмм

Для простота изложения, рассмотрим только формирование спекл-структуру на действительном изображении, восстановленном с голограммы. При освещении голограммы волной, сопряженной опорной, получим за голограммой волну /5/:

(1)

где x ,h - декартовы координата в плоскости за голограммой; x_n,y_n - координаты n-ого точечного излучателя на объекте; K - коэффициент пропорциональности, характеризующий амплитудное пропускание голограммы; a(x_n,y_n) - амплитуда n-ого излучателя; i - мнимая единица; j _n - относительная фаза волны от n-ого точечного излучателя; l - длина волны излучения, k -

- 187 -

волновое число; b - амплитуда опорной волну; d - расстояний между плоскостями (х,у) и (x ,h ); q - угол между направлением излучения и осью (направление излучения нормально оси h ).

Пусть плоскость (x ,h ) расположена в области формирования действительного изображения. Определим, какие члены выражения (1) кроме третьего, формирующего действительное изображение, будут попадать в область его формирования. Очевидно, что излучение, описываемое последним членом выражения (1), не попадает в рассматриваемую область, а распространяется с линейным фронтом волн под углом q к плоскости голограммы. Это же относится к первому члену выражения (1), так как множитель при величине b·еxp(-ikSinq ) представляет произведение комплексно сопряженных сумм, т.е. является действительной функцией от x и h . Поэтому излучение, описываемое первым членом выражения (1), также распространяется под углом - q к плоскости голограммы, хотя и не является равномерно распределенным фоном в плоскости x , h .

Анализ второго выражения (1) показывает, что соответствующая волна распространяйся под углом агсsin(-2Sinq ) к плоскости голограммы, или, учитывая, что выражение (1) получено для x_n/d << 1, под углом, близким к агсsin(-2Sinq ). Таким образом, пучок, формирующий мнимое изображение объекта, также, не попадает в область формирования действительного изображения, причем оказывается, что искаженное мнимое изображение при освещении голограммы волной, сопряженной опорной, возможно наблюдать только если |2Sinq | < 1, т.е. -30°< q < 30°.

Учитывая изложенное выше, интенсивность в плоскости восстановления действительного изображения r ,w после соответствующих несложных преобразований /5/ третьего слагаемого выражения (1) найдем в виде:

- 188 -

(2)

где а₁, a₂ - линейные размеры голограммы.

Учитывая случайность фаз j _n и их неограниченность, математическое ожидание выражения (2) запишем в виде:

(3)

где а - математическое ожидание амплитуда точечных излучателей.

Под знаком суммы в выражении (3) стоят двумерные функции, сечение которых плоскостью w -y_n = 0 представлено на рис.1. Вблизи каждой точки в плоскости формирования действительного изображения с координатами r = x_n, w =y_n одну из этих функций, соответствующую точечному излучателю на объекте с координатами x_n, y_n, следует считать сигнальной. Остальные слагаемые суммы вблизи этой точки формируют шум. Оценим отношение интенсивностей

- 189 -

сигнал - шум непосредственно в точке с координатами r = x_n, w = y_n. Интенсивность сигнала в этой точке равна:

J_c = K²b⁴a²a²₁a²₂ (4)

Максимально возможная интенсивность шума в этой же точке приближенно определяется выражением:

Jw = K²b^{4l 4}d⁴/36r⁴ (5)

где r - среднее расстояние между соседними излучателями на объекте по оси х и у. Выражение (5) дает верхнюю оценку интенсивности шума, так как при получении соотношения (5) из (3) принималось, что для всех n справедливо равенство:

(6)

С помощью формул (4) и (5) получим отношение интенсивностей сигнал - шум (вернее нижнюю оценку этого отношения):

F = 36a²₁a²₂r⁴/d^{4l 4} (7)

Поскольку г > l , а отношение a²₁a²₂/d⁴ на практике не очень мало, то, как правило, F > 1.

Соотношение (7), связывающее характеристику объекта (г), размеры голограммы (a₁,а₂), расстояние от голограммы до объекта (d) и длину волны излучения (l ), позволяет, варьируя этими параметрами, увеличивать отношение интенсивностей сигнал-шум.

- 190 -

Анализ выражения для интенсивности изображения точечных излучателей (см.рис.1 и формулу (3)), показывает, что период этой функции составляет вдоль оси r :

tr = l d/p a₁ (8)

и вдоль оси :

tw = l d/p a₂ (9)

Увеличивая период, можно добиться, чтобы изображения точечных излучателей на объекте не разрешались. Так, например, если

a₁ < l d/2p r (10)

то вдоль оси у изображения точечных излучателей в соответствии с критерием Релея не разрешаются. Это можно использовать на практике, получая спекл-интерферограмму с действительного изображения, восстановленного голограммой двойной экспозиции с линейным размером а₁, удовлетворяющим соотношению (10). Такая спекл-интерферограмма несет информацию о перемещениях объекта только вдоль оси w , так как элементу спекл-структуры (см.рис.1) оказываются размытыми вдоль оси r . Как показали наши эксперимента, в ряде практических задач такое оптическое разделение полного вектора смещений на проекции оказывается целесообразным и весьма эффективным.

2. Спекл-интерферометрический подход к расшифровке голографических интерферограмм

Обоснования методов расшифровки голографических интерферограмм /7,8/ базируются на гипотезе идентичных точек. Можно показать, что известные методы расшифровки основаны на интерференции волновых фронтов от двух идентичных спекл-структур изображений, восстанавливаемых голограммой двойной экспозиции.

В качестве примера покажем, что в методе /8/ анализируется интерференционная картина от двух систем точечных излучателей (спекл-

- 191 -

Рис.1.

- 192 -

структур), возникающих в области формирования действительных голографических изображений.

Рассмотрим несколько упрощенно этап записи голограммы. Объектную волну представим в виде:

U(x,y) = d (x – x_n,y – y_n)a(x,y)exp[ij _n] (11)

где d -дельта-функция.

Опорная волна представлена следующим образом:

V(x,y) = bexp[ikxSinq ] (12)

Интенсивность в плоскости голограммы тогда имеет вид:

(13)

Освещая такую голограмму узким (нерасширенным) лучом лазера (12), за голограммой будем иметь волну:

(13)

Таким образом, при расшифровке голограмм двойной экспозиции по методике /8/ в соответствии с последним членом выражения (14) восстанавливаются изображения точечных излучателей на объекте. При этом они восстанавливаются с точностью до фазы - j _n. Поэтому

- 193 -

на экране за голограммой двойной экспозиции наблюдается интерференция волн двух идентичных систем точечных излучателей (от двух спекл-структур). При расшифровке спекл-интерферограмм эти две системы точечных излучателей (спекл-структуры) лежат в одной плоскости, поэтому обычная спекл-ингерферометрия чувствительна только (преимущественно) к смещениям объекта между экспозициями в плоскости спекл-фотографии. В рассматриваемом же случае интерференционная картина возникает от двух спекл-структур, смещенных друг относительно друга в пространстве. Это достигается за счег сохранения фаз j _n точечных излучателей при восстановлении голографического изображения объекта (см. последнее слагаемое выражения (14)) и приводит к практически одинаковой чувствительности метода /8/ к перемещениям объекта в плоскости и из плоскости, параллельной голограмме.

В работе /5/ предложены схемы расшифровки, отличающиеся от метода /8/ тем, что указанные спекл-структуры восстановленных изображений записываются на фотопластинку, помещенную в область восстановления действительных изображений, что значительно упрощает расшифровку и увеличивает по сравнению с методом /2/ яркость интерференционных полос на экране. Таким образом, спекл-интерферометричвский подход к расшифровке голографических интерферограмм позволяет давать количественные объяснения известных методов расшифровки голограмм двойной экспозиции и предлагать новые. Здесь уместно отметить, что существующее объяснение методики /8/, согласно которому интерференционная картина на экране обусловлена интерференцией волн от двух участков поверхности, восстанавливаемых узким (нерасширенным) лучом лазера, не совсем удовлетворительно, так как ясно, что восстанавливаемые при этом участки объекта настолько велики, что интерференции от таких протяженных источников не наблюдается, если они не представляют собой идентичные системы точечных излучателей (спекл-структур).

Аналогично, учитывая еще и фактор распространения, можно показать, что интерференционная картина, возникающая при анализе мнимых голографических изображений /7/, обусловлена интерференцией волн от идентичных малых областей спекл-сгруктур мнимых изображений, а отсутствие спекл-структур на восстановленных изображениях

- 194 -

приводит к невозможности применения методов голографической интерферометрии диффузно-отражающих объектов.

Литература

1. Rigden, J.D. and Gordon, E.I. The Granularity of Zcattered Optical Maser Light, Prac IRE., V50, No 11, Nooember, pp.2367-2368,1962.

2. Archbold E., Ennos А.Е.Displacement measurement from double exposure laser photographs, Opt. Asta, V.19, No 4, pp.253-271, 1972.

3. Enloe L.H. Noise-like structure in the image of diffusely reflecting objects incoherent illumination. The Beel Zysten Technical Journal, V.46, No 7, 1973.

4. В.Е.Гайдачук, А.А.Капустин, А.А.Рассоха. Материалы VIII Всесоюзной школы по голографии. Л., стр.234-244, 1976.

5. К.Г.Гусев, А.А.Капустин, А.А.Рассоха. Материалы IX Всесоюзной школы по голографии. Л., стр.267-286, 1977.

6. А.А.Капустин, С.О.Мажура, А.А.Рассоха. В сб. "Новые физические методы неразрушающего контроля качества продукции", М., изд-во МДНТП, стр.11-18, 1977.

7. Е.Б.Александров, А.М.Бонч-Бруевич. ЖТФ, 37, 360, 1967.

8. Вооnе Р.M., De Bocker L.C. Optic, 37, 64, 1973,