Здесь будут рассмотрены некоторые методы пространственной Фильтрации изображения, которые могут оказаться полезными при решении таких сложных задач технической кибернетики как ввод в ЭЦВМ и кодирование оптических сигналов /1/, машинная интерпретация сложных изображений /2-4/ распознавание визуальных образов /5,6/ и т.д.

В последние годы наметился новый перспективный подход к решению перечисленных задач, основанный на структурном анализе изображений /2,5,6/. Вкратце этот подход заключается в том, что изображение расчленяется на элементарные части (элементарные структуры), затем производится его автоматическое описание в терминах этих элементарных структур. В работах /2,5,6/ в качестве таких элементарных структур были выбраны направленные прямые линии и линии малой кривизны, а также характерные точки изображения - точки пересечения, угловые точки, концевые точки, углы и т.д. Следует указать, что такой выбор хорошо согласуется с данными электрофизиологических экспериментов, целью которых было выяснение отдельных механизмов восприятия изображений высокоорганизованными организмами, в том числе и человеком /7,8/.

Коротко остановимся на возможных технических средствах решения задачи анализа структуры изображения. Поскольку оптическое изображение по своей природе является функцией двух независимых переменных, (пространственных координат х и у), решение задачи анализа его структуры средствами электроники, оперирующими с функциями одной независимой переменной (времени), приводит к необходимости использовать дополнительные устройства –

Очевидно, наиболее подходящими (с точки зрения адекватности операнда и оператора) методами анализа структуры изображения следует признать оптические методы, поскольку оптические системы так же, как и изображение, обладают двумя степенями свободы (х и у) /9/.

1. Основные положения пространственной фильтрации

Рассмотрим оптическую систему, изображённую на рис.1. В задней фокальной плоскости линзы L ₁(P₁) устанавливается транспарант с пропусканием ¦ (x,у), который освещается плоскопараллельным монохроматическим когерентным лучом. Как известно, /10/ линза L ₁ осуществляет двумерное Фурье-преобразование распределения ¦ (х,у). Таким образом, в частотной плоскости Р₂ (передняя фокальная плоскость линзы L ₁) имеем Фурье-спектр

В плоскости P₃ происходит перемножение Фурье-спектра /1/ на пропускание транспаранта Н(w _х,w _у), представляющее собой частотную характеристику пространственного фильтра.

В передней фокальной плоскости линзы Л (выходной плоскости Р- ) инеем распределение

J[F(w _x,w _y)× H(w _x,w _y)] (2)

Выражение (3) представляет собой интеграл свёртки фильтруемого сигнала ¦ (х,у) и весовой функции фильтра h(x ,h ), которая определяется как инверсный Фурье-образ частотной характеристики фильтра:

h(x ,h ) = J^-1[H(w _x,w _y)] (4)

Если в частотной плоскости Р₂ фильтр отсутствует, то в выходной плоскости Р₃ имеем распределение

J[F(w _x,w _y)] = ¦ (x ,h ) (5)

т.е. перевёрнутое действительное изображение ¦ (-х,-у).

Теперь переходим к непосредственному рассмотрению основного вопроса лекции - анализу структуры изображений с помощью пространственных фильтров. Вначале рассмотрим простые бинарные фильтры, используемые для этой цели.

2. Бинарные пространственные фильтры /11/

Бинарным пространственным фильтром будем называть такой пространственный фильтр, частотная характеристика которого представляет собой действительную функцию двух переменных (w _х,w _х), принимающую только два значения 0 или 1.

* Переход от (2) к (5) был выполнен на основании предположения, что весовая функция h(x ,h ) - симметричная относительно начала координат, т.е. h(x ,h )=h(-x ,-h ).

H(w _x,w _y) = Н(r ) (6)

В противном случае бинарный фильтр будем называть анизотропным.

Рассмотрим основные типы бинарных изотропных фильтров.

1. Бинарный фильтр низких частот имеет частотную характеристику (рис.2а):

Весовая функция бинарного фильтра низких частот показана на рисунке 2б и описывается (согласно выражении (4)) следующим выражением:

где , а J₁(r ₁r) - функция Бесселя первого рода первого порядка.

2. Бинарный фильтр высоких частот имеет частотную характеристику (рис.3а):

3. Бинарный полосовой фильтр пропускает только те спектральные составляющие фильтруемого сигнала, у которых

Заметим, что как у полосового фильтра, так и у фильтра высоких частот при w _х=0 и w _у=0

H(w _х,w _у) = 0 (15)

Из (15) и (16) следует, что

Так как h(x ,h ) - знакопеременная функция, то можно записать

Аппроксимируем весовую функцию фильтра высоких частот /11/ следующим образом (рис.3в):

Тогда выражение (18) можно переписать в виде

1 = аp r₁²

Причём параметр r₁ определяется как первый нуль трансцендентного уравнения

Если фильтруемый сигнал (изображение) - бинарный (принимающий значения 0 или 1), то интенсивность сигнала на выходе фильтра в точке (x ',h '), согласно выражению (3), равна:

(23)

в случае, когда ¦ (х,у) перекрывает h₊(x '-x,h '-y), и

(24)

В выражениях (23) и (24) S_-(x ',h ') - площадь взаимного перекрытия ¦ (х,у) и h_-(x '-х,h '-у).

На рис.5 показан процесс фильтрации бинарного изображения бинарным высокочастотным фильтром, причём выходной сигнал рассчитывался по формулам (23) и (24).

Итак, мы видим, что при соответствующем выборе параметра r₁ (r₁ - следует выбирать достаточно малым) высокочастотный бинарный фильтр производит оконтуривание изображения.

Нетрудно показать, что интенсивность сигнала на выходе фильтра в точке с координатами x ', h ' равна

(26)

где S₊(x ',h ') - площадь взаимного перекрытия ¦ (x,у) и h₊(x '-х,h '-y), а S_-(x ',h ') - площадь взаимного перекрытия ¦ (х,y) и h_-(x '-х,h '-y).

а) Весовая функция своим центром лежит на пересечении линий, толщина которых равна ℓ (рис.6а). Выбираем параметр r₁ таким, чтобы удовлетворялось неравенство

r₁ >> ℓ (27)

Рис.6.

Из (18) находим

б) Весовая функция своим центром лежит на линии (рис.6б):

в) Весовая функция своим центром лежит на конце линии (рис.6в):

г) Центр весовой функции лежит на диагонали угла, образованного двумя линиями (рис.6г):

Сравнив попарно выражения (29)-(32), приходим к заключению, что, увеличивая параметр k, можно добиться сколь угодно большого превышения полезного сигнала (1а,1в) над вредными (1б,1г). Таким образом, приходим к заключению: бинарный полосовой фильтр при определённом выборе параметров может выделять характерные точки

Низкочастотный бинарный фильтр изготавливается в виде непрозрачного экрана (фольга, латунь) с тонким проколом или сверлением в центре. Высокочастотный и полосовой бинарные фильтры изготавливаются фотоспособом: первый в виде прозрачного пятна, а второй - прозрачного кольца на тёмном, непрозрачном фоне. Примерную методику расчёта таких фильтров можно найти в работе /11/.

Это очень хорошо видно из рис.7, где приведён спектр изображения, содержащего прямые линии различных направлений. Известно,

Рис.7.

что каждой прямой линии на изображении в частотной плоскости соответствует прямая линия, направленная перпендикулярно исходной и проходящая черва точку пересечения главной фокальной плоскости и оптической оси линзы, осуществляющей Фурье-преобразование. Отсюда ясно, что в качестве одного из возможных бинарных анизотропных фильтров, предназначенных для выделения ориентированных прямых линий и линий малой кривизны, может служить бинарная маска, представленная на рис.8. Причём угол в (рис.8) соответствует допустимому диапазону изменений направления линий, выделяемых данным фильтром.

5. Голограммные фильтры

Во-первых, мы в известной степени идеализировали рассматриваемые фильтры, поскольку весовые функции h(r) значительно отличаются от аппроксимирующих их функций . Поэтому и практические результаты фильтрации будут отличны от теоретических.

Во-вторых, использование пространственных фильтров с бинарной частотной характеристикой накладывает довольно жёсткие ограничения на выбор параметров оптимизируемой весовой функции. И, наконец, расчёт частотной характеристики фильтра по заданной (оптимизированной) весовой функции сопряжён с вычислительными трудностями - решением трансцендентных уравнений.

Задаемся видом желаемой весовой функции фильтра (рис.4в), причём в данном случае выбор параметров b и c не зависит от выбора параметров r₁ и r₂. Так же, как и в случае бинарного полосового фильтра, выбираем

r₁ >> ℓ (ℓ/r₁ » 10) (33)

где ℓ - ширина линий на изображении.

Из соотношений, аналогичных (29)-(32), находим оптимальные значения параметров k и q (k=b/c, q=r₂/r₁)

H_опт(w _х,w _у) = J[h_опт(x ,h )] (34)

Представим оптимизированную весовую функцию h_опт(x ,h ) в видe разности

h_опт(r) = h'_опт-h''_опт (35)

Тогда выражение (34) приобретает вид

Н_опт = J[h'_опт-h"_опт] (38)

Рассмотрим схему изготовления фильтра с частичной характеристикой Н_опт (рис.10).

Вначале (рис.10а) в предметной плоскости Р₁ устанавливается диафрагма с апертурой r₁ и освещается плоскопараллельным монохроматическим лучом, интенсивность которого равняется b+с. При введении в схему опорного луча фотопластина зарегистрирует в частотной плоскости распределение

Затем (рис.10б) производится вторичное экспонирование фотопластины, но при этом в плоскости Р₁ устанавливается диафрагма с апертурой r₂, интенсивность сигнального луча изменяется до значения с, а в опорный луч вводится фазовая пластина, сдвигающая фазу луча на p . При вторичном экспонировании фотопластина зарегистрирует распределение:

Мы видим, что третий член выражения (41) и представляет собой требуемую частотную характеристику фильтра.