Найдём соотношение между длиной цугов и шириной спектра излучения. Пусть функция F(t) описывает колебательное движение, вызванное прохождением одного-единственного цуга волн в определенной точке и в определённый момент времени t.

Предположим, что F=0 для |t|=F, где t - длительность цуга (постоянная затухания).

Согласно теореме Фурье, колебание F(t), вызванное прохождением одного цуга волн, можно рассматривать как суперпозицию монохроматических колебаний с различными частотами u :

F(t) = (u )ℓ^{i2p u t}du (2.1)

где ¦ (u ) даёт распределение, по амплитуде монохроматических составляющих F(t). Распределение этих составляющих по энергиям даётся выражением |¦ (u )|². Согласно свойствам преобразования Фурье, имеем

¦ (u ) = (t)ℓ^{-i2p u t}dt (2.2)

где ¦ (u )- спектр F(t). В дальнейшем будем рассматривать лишь узкие спектры, для которых |¦ (u )| имеет заметное значение только в интервале частот, малом по сравнению со средней частотой (квазимонохроматический свет).

Рассмотрим случай, когда длительность всех цугов волн одинакова и равна t . В течение этого промежутка времени F(t) - простое гармоническое колебание частоты u ₀, т.е.

F(t) = ¦ ₀ℓ^{i2p t} (2.3)

где ¦ ₀ - постоянная и t заключено между -t /2 и t /2.

Согласно (2.2), спектр F(t) даётся выражением

(2.4)

(2.5)

Зависимость |f(u )| от u представлена на рис.3. Интервал частот между точками А и В, расположенными симметрично по отношению к u ₀, равен

u -u ₀ = ±1/t (2.6)

Охарактеризуем ширину D u спектральной полосы половиной интервала АВ. Имеем

D u = ±1/t (2.7)

Ширина спектральной полосы ровна обратной величине длительности цуга. Время t называется временем когерентности. Положим

(2.8)

где с - скорость света. Здесь l ₀ - средняя длина волны, соответствующая u ₀.

Длина ℓ называется длиной когерентности.

Известно, что для получения контрастных интерференционных полос нужно, чтобы изменение порядка интерференции Р=d /l связанное с изменением D l длины волны, было гораздо меньше 1

(2.9)

Для получения значительной контрастности полос не обходимо, чтобы разность хода d была мала по сравнению с длиной когерентности.

Определим порядок величины длины когерентности. Например, для зелёной линии ртутной лампы l ₀=0,546 мкм со спектральной шириной D l =300 Å найдём

Рис.3. Зависимость ï ¦ (u )ï ² от u .

Однако для гелий-неонового лазера, у которого l ₀=1,153 мкм и очень монохроматическая линия с D l , равной всего 3× 10^-7 Å, имеем

Это значит, что в первом случае цуг содержит около 20 длин волн, а во втором около 40 миллиардов волн. Времена когерентности соответственно будут 3× 10^-14 сек и 1,4× 10^-4 сек.

Разумеется, в действительности цуги волн, испускаемые источником, не идентичны. Атомы возмущают друг друга, и излучаемые ими цуги изменяются хаотическим образом. Указанные выше соотношения относятся к средним значениям длины цугов и спектральной ширины D u .