Рассмотрим структуру волнового поля, которое возникает на плоскости наблюдения p (рис.8) в результате интерференции волн, приходящих езда из разных точек плоскости источника å .

Поле в точке наблюдения Р возникает в результате наложения полей от разных точек М источника. В случае строго монохроматического света амплитуда в Р выражается формулой

¦ (z) = ò F(g )exp[i(w ₀t-МР)]dg (8.1)

F(g ) представляет собой распределение амплитуды по волновой поверхности.

Если источник излучает квазимонохроматический свет, то амплитуда в точке Р в момент времени t примет вид

¦ (z,t) = ò a(t+q )F(g )exp[i(w ₀t-МР)]dg (8.2)

Здесь q - время запаздывания волны, пришедшей в Р из точки М, по сравнению с волной, пришедшей из С.

При этом мы пренебрегли членом с h ², поскольку h <<z, и заменили h /R на угол g .

¦ (z,t) = ò a(t+)F(g )exp[ik_0g z)]dg (8.2)

2p (CP-MP)/l ₀ = k_0g z (8.5)

Рис.8.

Тогда в соответствии с (8.4) найдем

¦ (z,t)¦ ^*(z,t) = ò a(t+g ₁z/c)F(g ₁)exp[ik_{0g 1}z]dg ₁ x

x ò a^*(t+g ₂z/c)F^*(g ₂)exp[-ik_{0g 2}z]dg ₂ (8.7)

Полагая g _d=g ₁-g ₂, можем написать

F(g ₁)F^*(g ₂) = F(g ₁)F^*(g ₁-g _d) (8.8)

Усреднение относится только к переменный членам, зависящим от времени. Следовательно,

I(z) = ò ò A(g _dz/c)F(g ₁)F^*(g _{1g d})exp[ik_{0g d}z]dg ₁dg ₂ (8.9)

D(g ₁) = ò F(g )F^*(g -g _d)dg (8.10)

Здесь D(g _d)- автокорреляционная функция F(g ). Тогда интенсивность в точке Р равна

I(z) = ò D(g _d)A(g _dz/c)exp[ik_{0g d}z]dg _d (8.11)

I(z) = ò D(g _d)exp[ik_{0g d}z]dg _d (8.12)

Интенсивность в точке Р равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции для F(g ).

F(g ) = 1 для -g ₀ £ g £ g ₀

F(y) = 0 для | g | > g ₀ (8.13)

Так как F(g )- действительная величина, то согласно формуле (8.10) D(g _d) будет представлена участком АВ, общим для обеих щелей шириной 2g ₀ и смещённых друг относительно друга на величину g _d.

Пусть свет, излучённый источником, представляет собой ограниченные цуги синусоидальных волн частотой u и продолжительностью t . Для каждого цуга в течение времени t комплексная амплитуда постоянна и равна единице.

Спектр, излучаемый источником, выражается формулой (2.4),

Так как a(t) постоянно, то

представляет собой время q _d, которое должно быть меньше t , чтобы

не было равно нулю (рис.9б). Функция А(q _d) называется коэффициентом временной когерентности. Он равен нулю, если | q _d| >t , так как в этом случае цуги не перекрываются.

g _d = kg ₀ (8.15)

Коэффициент временной когерентности теперь имеет вид

-2 £ x £ 2 (8.16)

где ℓ=сt - длина цугов волн. Точно так же

D(g _d) = D(x) = 1 – | x/2| , -2 £ Х £ 2 (8.17)

Формула (8.11) дает

Обозначая k₀y₀z=Z, получим

Здесь ℓ - длина когерентности.

Кривая 1 на рис.10 представляет интенсивность дифракционного изображения щели (первый член в правой части уравнения (8.18)). Кривая 2 описывает изменения второго члена, в (8.18).

Рис.10. Зависимость интенсивности дифракционного изображения щели от Z.

При z>p /2 он всегда положителен. Рисунок 10 и формула (8.18) показывают, какое влияние оказывает длина цуга на структуру светового поля при дифракции на щели.

Если ℓ→¥ (монохроматический свет), то в правой части остаётся только член . Когда цуги имеют конечную длину, то к ординатам кривой 1 следует прибавить ординаты кривой 2, умноженные на соответствующую величину. Практически максимумы величины 2 соответствуют нулевым минимумам кривой 1 и наоборот. Второй член стремится нивелировать интенсивности полос, окружающих центральное пятно.