Выражения для аппаратных функций, подученные в предыдущих двух параграфах, можно рассматривать как результат применения модели спектра в виде d -функции Дирака.

F (w ) = F _T(w )+D F (w ) (12)

D F (w ) º (t)Cosw tdt (13)

искажения в спектре, связанные с отбрасыванием D F (w ) (12), зависят от поведения G₀(t) вне интервала [0,Т]. К сожалению, модель d -функции не дает возможности оценить величину D F (w ). Во всяком случае из физики явления очевидно, что с увеличением разности хода погрешность D F (w ) должна стремиться к нулю, в то время как из данной модели следует, что D F (w ) неопределённа, ибо F (w ₀)=¥ , а F _Т(w ₀) - конечна. Второй недостаток возникает из-за бесконечно узкой ширины линии, в результате чего форма линии не изменяется в зависимости от (D w )₀. Однако на практике всякая спектральная линия имеет конечную собственную ширину, и при неограниченном уменьшении (D w )₀ мы доданы получить контур спектральной линии.

d -функции уже не отвечает практическим требованиям.

В связи с этим в работе Киселёва и Паршина /93/ была рассмотрена модель спектра, представленного в виде

Главное достоинство этой модели состояло в том, что, изменяя собственную полуширину F (w ), равную , можно было исследовать закономерности в Фурье-спектрометрии при переходе от узкой линии до широкой полосы.

После подстановки (14) в (2) и выполнения интегрирования

F _T(w ) = F '(w ₀) (15)

и

В (15) через F '(w ) обозначен первый член в (14). Формула (15) сразу se нам даёт возможность найти значение интенсивности в центре спектральной линии:

F _T(w ₀) = F '(w ₀) (16)

Если, то.

На рис.5 приведены кривые B(u ) и В^*(u ) для этого случая. Откуда, в частности, видно, что спектрограмма не содержит отрицательных интенсивностей и применение аподизации не требуется. Этим результатом воспользовался Т.Ричард с сотрудниками /54/ при получении спектров паров HCl и DCl. В их опытах ширина вращательных линий указанных молекул была сравнима с (D u )₀, поэтому они не применяли аподизацию, и, несмотря на это, их спектры не содержат отрицательных интенсивностей.

§ 10. Дискретное _преобразование Фурье

При практической реализации метода Фурье-спектрометрии приходится приближенно вычислять интегралы типа (1).

Рассмотрим вычисления (1) по формуле прямоугольников^*:

(w ) = 2D t(D tk)Cosw D tk (18)

* При анализецелесообразно рассматривать правую часть формулы (18} не как приближённее вычисление (1), а как действие нового линейного оператора S_N на ¦ (t) при этом

После подстановки (28) в (18) и замены порядка суммирования и интегрирования

(w ) = (х)W_N(w -x)dx (19)

(20)

Здесь X = w _c+e (p /T), w = Х+a (p /T) и через w _c обозначена частота, связанная с N соотношением:

w _c = N(p /T)(2n+1), где n - целое число.

В (19) W_N(w -w ₀) есть аппаратная функция при дискретном интегрировании. Полагая F (x)=d ₁(x-w ₀), мы найдём, что

(w ) = W_N(w -x)

В этом случае физический смысл параметров e и a становится очевиден:

и w _c = N(2n+1)(D w )₀. То есть a и e суть спектральные интервалы, выраженные в единицах (D w )₀; w _c есть такая частота, для которой разрешавшая способность

В (20) через j (N,e ,a ) обозначена аппаратная функция, нормированная на единице. После выполнения суммирования в (20)

j (N,e ,a ) = (22)

1. Периодичность:

2. Зеркальная симметрия:

Откуда спектр на частоте w ₀ = w _C ± e (D w )₀ имеет своё отображение на частоте w ' = w _C ± e (D w )₀, то есть w '-w _C = w ₀-w _C.

3. Из предыдущих свойств следует, что методу Фурье-спектрометрии свойственно наличие свободного спектрального интервала

Эти свойства иллюстрирует рис.4.

При n=0 w _C = N(D w )₀ и (D w )' = w _C

Рассмотрим теперь, как часто будут расположены точки на интерферограмме, если w ₀ = w _С.

В этом случае N=, но откуда

и

Таким образом, мы нашли, что при таком выборе N точки на интерферограмме будут отстоять друг от друга на D d =2vD t=l ₀/2 и все они будут принадлежать огибающей интерферограммы (кривой видимости).

Вели же мы теперь примем, что n¹ 0 , то при w ₀ = w _С имеем

D t = (2n+1)p /w _C и D d = (l ₀n+l ₀/2)

В этом случае точки на интерферограмме по-прежнему будут принадлежать её огибающей, однако с пропуском одного, двух и т.д. полос в интерферограмме между точками. Этот результат, если позволяет отношение сигнал к шуму, даёт возможность значительно сократить объём вычислений, ибо форма аппаратной функции слабо зависит от N. Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в работе /94/. Если w _С рассматривать как предельную частоту в спектре, то на основе теоремы Котельникова свойства аппаратной функции имеют простую интерпретацию.

Именно такой подход был развит в работе Ж.Конн /61/ (см. по этому поводу также /94/). В диссертации Петрова /33/, кроме прямоугольной квадратуры, выведены аппаратные функции в случае вычисления по формуле Симпсона и по методу Филона.

Остановимся теперь на вопросах проведения численных вычислений спектральных кривых. Обратимся снова к формуле (18) и вспомним, что F (w )=, тогда (18) можно преобразовать к виду:

Для дальнейшего преобразования (23) заметим, что из (21) следует, что u =(N-e +a )(D u )₀ и w =(N-e +a )p /T. В результате

Выражение (24) можно рассматривать как исходное для проведения численных вычислений. Рассмотрим случай, когда спектрограмма вычисляется в равноотстоящих точках.

Предположим, что нас интересует участок спектра [u ₁,u ₂] и мы хотим на этом участке вычислить М значений спектрального светового потока при вычислении по N отсчётам с интерферограммы. Тогда e =N-R₁ и a должна принимать значения

a = (R₁+R₂-N)m/M (m = 0,1,2,...,M)

где R₁ = u ₁/(D u )₀ и R₂ = u ₂/(D u )₀ суть разрешающие способности.

Однако проводить вычисления в равноотстоящих точках требует большого машинного времени, поэтому представляется целесообразным усовершенствовать программу автоматического расчёта, вводя квадратичную экстраполяцию. При такой программе число точек на любом участке спектральной кривой будет изменяться в зависимости от поведения спектральной функции /95/. Если мы хотим вычислить спектрограмму с применением аподизирующей функции ¦ (t)=1-ï tï /T вместо (24) спектральные крив: в надо вычислить по формуле:

* Теперь при вычислениях с N > 1000 обычно пользуются алгоритмом быстрого преобразования Фурье.