Media-security

УНИТАРНОЕ СМЕШИВАНИЕ СКАЛЯР-ВЕКТОР В КАЛИБРОВКЕ

А.Е. Калошин, А.Е. Раджабов

Иркутский Государственный Университет

Рассматривается эффект унитарного смешивания скалярного и векторного полей возникающий при суммировании петлевых диаграмм в случае, если векторный ток не является сохраняющимся. В произвольной -калибровке получены решения уравнений Дайсона и осуществлена перенормировка полных пропагаторов.

В последние годы вопрос об "одевании" векторного бозона (превращение его в частицу с конечной шириной) много раз обсуждался в литературе [1,2,3]. Обсуждение во многом связано с экспериментами по рождению калибровочных бозонов W и Z. Повышение точности измерений приводит к необходимости вычисления поправок более высокого порядка, что порождает ряд теоретических проблем.

В данной работе рассматривается не совсем стандартный эффект, связанный с "одеванием" векторного бозона. В случае, когда существует подходящая по квантовым числам скалярная частица возможны петлевые переходы скаляр-вектор. В этом нет никакого противоречия с сохранением спина, так как в векторном поле существует лишняя степень свободы, связанная со спином 0. Петлевые переходы как раз и возникают между этой степенью свободы и скалярным полем.

Наиболее интересен этот вопрос в электрослабых моделях, где возможно унитарное смешивание между калибровочными бозонами и хигсовскими скалярами. Этот эффект отсутствует в стандартной модели (см., например, [4]), но появляется в расширенных моделях с большим числом хигсовских частиц. В электрослабых моделях исследование унитарного смешивания осложняется наличием переходов и возможно большого количества хигсовских частиц. Другим усложняющим фактором является наличие "духовых" частиц [5] в произвольной калибровке, которая является наиболее употребительной в электрослабых теориях [6]. Другой физической системой, в которой существует этот эффект, является система адронов , рассмотрение которой во многих аспектах проще. Ниже мы рассматриваем такую систему в произвольной калибровке. В такой модели можно проследить зависимость от калибровочного параметра при унитарном смешивании, а также исследовать процесс перенормировки, т.к. при унитарном смешивании и наличии "духовых" частиц он становится далеко не тривиальным.

Система

и "одеваются" через трехпионое промежуточное состояние, экспериментальным фактом является то, что эти три пиона рождаются в квази-двухчастичном виде: либо , либо . Ниже мы учитываем только промежуточное состояние. Свободный лагранжиан системы записывается в виде [7]:

Отсюда следуют : пропагатор мезона

пропагатор мезона

пропагатор "духа"

пропагатор векторного бозона в калибровке

Здесь и далее индекс 1 соответствует мезону, 2 мезону, 3 "духу". Лагранжиан взаимодействия дается формулой:

и приводит к вершинам:

Формализм S-V смешивания

Превращение затравочного пропагатора в полный наиболее наглядно осуществляется с помощью уравнений Дайсона. Однако в нашем случае из-за тензорной структуры продольная и поперечная компонента пропагатора векторной частицы будет одеваться по разному, поэтому векторный пропагатор и векторную петлю нужно разделить на продольную и поперечную части:

где введены обозначения

,,,

В случае, когда имеется подходящая по квантовым числам скалярная частица и векторный ток не является сохраняющимся, ситуация меняется. Возникают петли, связывающие между собой скалярные и векторные пропагаторы и в результате суммирования появляются новые объекты - полные переходные пропагаторы. Система уравнений Дайсона в данном случае будет выглядеть следующим образом:

Для удобства из и выделен множитель . Следующим шагом будет разделить и на продольную и поперечную части. При этом введем скалярные функции:

,,,

В результате поперечная компонента отщепляется, остается только одно уравнение:

А на продольные компоненты получается система уравнений:

(1)

Решением системы будет

, (2)

Явный вид петель

Петли имеют вид

Для удобства введены коэффициенты , и функции ,

Явный вид полиномов определится при перенормировке. Следует однако отметить, что связана с условием: член нулевого порядка полинома должен быть равен . При этом в пропагаторах сократятся члены с , а в знаменателе члены и .

Перенормировка

Перенормировку произведем с помощью вычитания на массовой поверхности [8], т.е. будем считать, что и - перенормированные массы пиона и - мезона.

Для перенормировки поперечной части векторного пропагатора требуется два раза вычесть на полную ширину резонанса.

С помощью этого определяются две произвольные константы и .

В случае связанных пропагаторов условия перенормировки будут другими. Рассмотрим внимательнее скалярный пропагатор. Условие того, что функция обладает полюсом в точке с единичным вычетом следует прямо из первого уравнения (1)

, (3)

С учетом решений (2) можно переписать в виде

Отсюда видно, что уравнение (3) приводит к следующим условиям

Это должно выполняться при любом калибровочном параметре . Выделим в части , и в явном виде

Условие вне зависимости от калибровочного параметра (части при разных степенях зануляются независимо) приведет к системе из трех уравнений. Считая константы независимыми друг от друга, мы получим следующие условия на петли: ,,

Теперь рассмотрим перенормировку полюса при . Полюс в пропагаторах порождается нулями функции . Затравочная функция имела нуль второго порядка, который должен присутствовать в ней и после "одевания". Т.к. константы связи независимы, это приводит к условиям:

- нуль второго порядка

Потребуем, чтобы имел полюс в точке с единичным вычетом (как у ). Из (1) и (2) возникают условия на функцию :

Функция должна обладать нулем третьего порядка в точке , следовательно:

- нуль третьего порядка

Аналогичное требование на приведет условию на функцию

Функция также должна обладать нулем третьего порядка в точке :

- нуль третьего порядка

В результате перенормировки пропагаторов получаются следующие условия на петли:

,,,

Заключение

Итак, при наличии петлевых S-V переходов возникает система уравнений для пропагаторов, и в результате полные пропагаторы имеют более сложный вид(см. также [9]). Так как была выбрана -калибровка вид пропагаторов осложняется наличием "духовых" частиц, которые тоже участвуют в игре. Модель, рассмотренная выше, хоть и физическая, но была выбрана в основном из методических соображений, с целью развития формализма S-V смешивания.

Естественным продолжением данной работы будет рассмотрение данного эффекта в электрослабых теориях.

Литература

H.Veltman, Mass and width of unstable gauge bosons. // Zeit. fur Phys., C62 (1994),p.35-51

E.N. Argyres et al, Stable calculations for unstable particles : restoring gauge invariance.// Phys. Lett. B358 (1995), p. 339

M. Nowakowski , A.Pilaftsis, On gauge invariance of Breit-Wigner propagator. // Z. Phys. C60 (1993) p.121-125

Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М: Наука, 1990.

Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий. М:Мир, 1978.

E.S. Abers, B.W. Lee, Gauge theories. // Phys. Reports 9(1973) p.1-125

Т.-П. Ченг, Л.-Ф. Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М: Мир, 1987.

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованых полей. М: Наука, 1976.

Калошин А.Е. Унитарное смешивание в системе скаляр-вектор.//Ядерная физика, т.60,1997, №7, с.1306-1312