СПОНТАННОЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАГРЕВЕ

О.В. Шарыпов, К.А. Медведко

Институт теплофизики СО РАН, Новосибирский государственный университет

Изучение фундаментальных закономерностей, связанных с режимами пленочного течения представляет интерес для решения широкого круга практических задач, возникающих при проектировании и оптимизации технологических установок в энергетике, химической промышленности и других отраслях производства. Настоящая работа посвящена теоретическому изучению процессов пленочного течения жидкости по наклонной поверхности при наличии локального теплового источника.

Введение.

Экспериментальные исследования, проводимые в настоящее время в Институте теплофизики СО РАН [1], показывают, что эффекты термокапиллярности при определенных условиях могут оказывать существенное влияние на характер течения тонкой пленки. В экспериментах наблюдается возникновение “вала” жидкости в области большого градиента температуры поверхности пленки, толщина пленки на источнике тепла уменьшается, основная часть жидкости собирается в “струи”, которые образуют периодическую структуру. Самопроизвольное возникновение периодической пространственной структуры течения представляет собой новое интересное физическое явление, которое может быть объяснено и описано в рамках представлений и методов теории самоорганизации. Суть этого явления состоит в том, что при превышении критического значения управляющего параметра двумерная стационарная структура поля скорости (и температуры), определяемая гравитацией, вязкостью и градиентом поверхностного натяжения жидкости, теряет устойчивость по отношению к малым периодическим поперечным возмущениям. В работе аналитически и численно показано, что в результате совместного действия эффектов энергетической накачки длинноволновых возмущений, диссипации энергии коротковолновых возмущений и нелинейного взаимодействия гармоник система переходит к новому квазиустойчивому стационарному состоянию с более низкой пространственной симметрией. Подобный сценарий эволюции неравновесных систем универсален и характерен для очень широкого круга различных по физическим механизмам явлений. Используемый в работе подход ранее позволил создать эволюционные модели периодической структуры поверхностей раздела (фронтов) в задачах, связанных с горением и детонацией в газах, затвердеванием слабых растворов и др. [2-4].

Постановка задачи.

Рассмотрим течение пленки вязкой теплопроводной несжимаемой () жидкости, имеющей толщину , по плоскости с углом наклона к вертикали в поле тяжести ( - ускорение свободного падения). Координатные оси ориентированы следующим образом: ось x направлена вдоль плоскости в направлении течения пленки, ось z направлена вдоль плоскости перпендикулярно направлению течения пленки, ось y направлена перпендикулярно плоскости в сторону жидкости. Жидкость имеет температуру T, равную температуре стенки, и соответствующее этой температуре значение коэффициента поверхностного натяжения . В решении будем пренебрегать эффектами, связанными с потоками тепла, массы и импульса через свободную поверхность жидкости. Давление внешней среды считается постоянным p₀. Течение пленки позволяет определить число Рейнольдса , где U - скорость на поверхности пленки жидкости, - кинематическая вязкость. Известно [5], что на протяжении определенного начального участка свободная поверхность пленки будет оставаться плоской. Соответствующий профиль скорости не зависит от x и z, поле температуры на поверхности пленки однородно, коэффициент поверхностного натяжения – постоянный (). Если в пределах этого участка, начиная с координаты x₀=0, на плоскости действует источник тепловыделения постоянной мощности (имеющий бесконечную протяженность по координате y), то в жидкости формируется тепловой пограничный слой, возникает неоднородность поля температуры поверхности пленки по координате x, что приводит к наличию градиента поверхностного натяжения. В области заметного значения градиента поверхностного натяжения течению жидкости под действием гравитации препятствует направленная тангенциально к свободной поверхности капиллярная сила, что является проявлением эффекта термокапиллярной конвекции [6]. Локальное замедление течения жидкости вблизи свободной поверхности приводит к возрастанию толщины пленки, которая оказывается функцией градиента поверхностного натяжения (и тем самым – координаты x: ). Трансформация свободной поверхности приводит к установлению нового стационарного режима, при котором термокапиллярные силы уравновешиваются гравитацией. Расход жидкости при этом оказывается постоянным (не зависит от x ). Чтобы найти распределение термокапиллярной силы, необходимо решить тепловую задачу. Однако в случае неоднородного тепловыделения и пленочного течения аналитическое решение данной задачи найти не удается [7], поэтому далее будем считать функции T(x) и известными из эксперимента (в [1] регистрировалось поле температуры на поверхности пленки).

Решение стационарной задачи.

Для нахождения решения поставленной задачи, т.е. получения стационарной зависимости , необходимо решить систему уравнений Навье-Стокса с граничными условиями на свободной поверхности (), на стенке () и условием постоянства расхода:

(1)

Учитывая, что толщина слоя жидкости мала по сравнению с характерной протяженностью неоднородности свободной поверхности по координате x, уравнения Навье-Стокса для стационарного течения, не зависящего от z, можно упростить и записать в приближенной форме (2), вводя следующие обозначения: давление скорость где .

(2)

Граничное условие на свободной поверхности в общем виде [8]:

(3)

где - компоненты тензора вязких напряжений в m-той среде, - давление в m-той среде, и - главные радиусы кривизны свободной поверхности, - компоненты вектора нормали к свободной поверхности. Учитывая, что , , в длинноволновом приближении для стационарного двумерного решения условие (3) имеет вид:

(4)

где , , , - проекции вектора нормали к поверхности . При y=0:

(5)

Решением задачи (2), (4), (5) является:

(6)

здесь Условие (1) позволяет установить связь между и , а тем самым – найти искомую зависимость в параметрической форме:

(7)

постоянная определяется через параметры течения при условии В безразмерной форме (7) имеет вид:

(8)

где при индексы “” означают дифференцирование по . В случае малости относительного отклонения от значения () получим из (8) для , пренебрегая зависимостью давления от поверхностного натяжения: Отсюда видно, что при

(9)

а при : (10)

В случае (9) форма поверхности представляет собой “ступеньку”, а в случае (10) - колоколообразное возвышение с максимумом в точке наибольшего (по модулю) градиента поверхностного натяжения (и соответственно - температуры поверхности жидкости). При промежуточных углах наклона должно реализовываться решение, несущее характерные признаки решений, полученных для предельных случаев (9, 10), т.е. следует ожидать, что решение будет иметь вид ступеньки с нарушением монотонности на фронте.

Нестационарная задача.

Следующим этапом решения общей задачи является исследование полученного стационарного решения (6), (8) на устойчивость по отношению к линейным нестационарным периодическим по z возмущениям при учете граничных условий (3) на возмущенной свободной поверхности, условий (5), условия затухания возмущений при и кинематического условия на возмущенной свободной поверхности: . Последнее условие в нестационарном случае заменяет условие постоянства расхода жидкости (в стационарном случае они совпадают). Решение при имеет вид: где при . В случае возмущения с периодом нарастают, а максимум функции определяет характерный период формирующейся слабонелинейной структуры.

Ëèòåðàòóðà.

1. Kabov O.A., Marchuk I.V., Chupin V.M. Russian Journal of Engineering Thermophysics, 1996, 6, 2, P. 105-138.
2. Ìèíàåâ Ñ.Ñ., Ïèðîãîâ Å.À., Øàðûïîâ Î.Â. // Ôèçèêà ãîðåíèÿ è âçðûâà, 1996, 32, 5, Ñ. 8-16.
3. Borissov A.A., Sharypov O.V. // Journal of Fluid Mechanics, 1993, 257, P. 451.
4. ÁîðèñîâÀ.À., Êðàâ÷åíêîÀ.Ã., ØàðûïîâÎ.Â.//Äîêëàäû ÐÀÍ, 1992,324,4,ñ.777
5. Íàêîðÿêîâ Â.Å., Ïîêóñàåâ Á.Ã., Øðåéáåð È.Ð. Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ãàçî- è ïàðîæèäêîñòíûõ ñðåäàõ. – Íîâ-ñê: Èíñòèòóò òåïëîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ, 1983.
6. Ãåðøóíè Ã.Ç., Æóõîâèöêèé Å.Ì. Êîíâåêòèâíàÿ óñòîé÷èâîñòü íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. - Ì.: Íàóêà, 1972.
7. Øëèõòèíã Ã. Òåîðèÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. – Ì.: Íàóêà, 1969.

Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Ãèäðîäèíàìèêà. – Ì.: Íàóêà, 1986.