Уравнение Гинзбурга-Ландау широко используется при описании различного типа нелинейных систем и явлений: пассивная синхронизация лазерных мод, распространение ультракоротких импульсов в волоконных линиях связи, сверхпроводимость, гидродинамические неустойчивости, бозе-конденсация и т.д. [1,2,3]. Настоящая работа продолжает наши исследования (в рамках данного уравнения) переходного процесса и устанавливающихся режимов генерации, возникающих при фазомодуляционной неустойчивости пассивной синхронизации лазерных мод [4,5,6].

В модели распределенной внутрирезонаторной среды в системе координат движущегося импульса, уравнение, описывающие эволюцию внутрирезонаторного излучения в безразмерных переменных, имеет вид [6]

где E(z, t) – амплитуда поля; t – временнáя переменная; z – координата; параметр j определяет отношение частотной дисперсии показателя преломления к дисперсии усиления q = tg j . Первое слагаемое в круглых скобках описывает насыщающееся усиление. Второе слагаемое связано с линейными резонаторными потерями. Слагаемое d s описывает нелинейные потери. Последнее слагаемое определяет фазовую модуляцию формируемого импульса, вызванную нелинейным показателем преломления d n. Переходный процесс и устанавливающиеся режимы генерации исследовались при различных параметрах дисперсии и типах нелинейности.

1. d s = – q¢ ½ E½ ², d n = q¢ ¢ ½ E½ ². При таком типе нелинейностей уравнение (1) имеет решение в виде стационарного импульса E_s(z) = E_o exp(id w t)sech^1+ia (b z). Пиковая амплитуда E_o, обратная длина b , параметр фазовой модуляции a и изменение несущей частоты светового импульса d w определяются из системы алгебраических уравнений, получаемых при подстановке E_s(z) в (1). Необходимым условием устойчивости этого импульса является отрицательность полного усиления, включающего потери, вне объема импульса. Из (1) и найденных величин E_o, b , a получаем аналитическое выражение для этого условия через параметры дисперсии q и нелинейности x = q¢ ¢ /q¢ :

Кривые x = x _± отмечены на рис. 1 сплошной (на пунктирной прямой a = 0, на пунктирных кривых ½ a ½ = Ö 2 ). Как показывает численный счет, область параметров между сплошными кривыми соответствует реализации после переходного процесса режима одиночного стационарного импульса E_s(z), а при параметрах лазерной системы вне этой области устанавливается режим генерации с заполнением всего лазерного резонатора хаотически меняющимися импульсами. Примеры таких режимов приведены на рис. 2.

d s = – q¢ ½ E½ ²/(1 + ½ E½ ²), d n = q¢ ¢ ½ E½ ². Этот случай отличается от предыдущего тем, что эффективная нелинейность потерь зависит от интенсивности излучения и падает с ростом интенсивности (q¢ _ef = q¢ ½ E½ ²/(1+½ E½ ²). При таком типе нелинейности возникает область параметров, при которых реализуется новый устанавливающийся режим генерации — режим нескольких одинаковых стационарных импульсов. Число импульсов зависит от накачки и величин нелинейностей показателя преломления и потерь. Пример реализации такого режима при разных начальных условиях приведен на рис. 3.

Другой особенностью генерации при рассматриваемых типах нелинейности является возникновение бистабильности. На основе численного счета обнаружено, что в зависимости от начальных условий может реализоваться либо режим двух стационарных импульсов, либо режим с периодическим распадом импульса на два импульса и последующим их слиянием в одиночный импульс. При этом происходит случайная вариация периода этого процесса и пространственной структуры излучения. Пример реализации такого типа зависимости устанавливающегося режима генерации от начальных условий приведен на рис. 4.

d s = – q¢ ½ E½ ², d n = q¢ ¢ ½ E½ ²/(1 + k ½ E½ ²). В этом случае эффективная нелинейность показателя преломления зависит от интенсивности (q¢ ¢ _ef = q¢ ¢ /(1 + k ½ E½ ²). При такого вида нелинейностях в широкой области параметров системы возникает еще один тип бистабильности. В зависимости от начальных условий генерации реализуется либо режим одиночного стационарного импульса, либо режим с заполнением всего лазерного резонатора хаотически меняющимся излучением. Рис. 5 демонстрирует такого типа зависимость устанавливающего режима генерации от начальных условий переходного процесса.

Итак, устанавливающимся режимом пассивной синхронизации лазерных мод, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау с насыщающимся усилением, в зависимости от соотношений между дисперсиями усиления и показателя преломления и нелинейностями потерь и показателя преломления является либо режим одиночного стационарного импульса, либо режим генерации с заполнением всего лазерного резонатора хаотически меняющимся излучением.

Если нелинейность потерь зависит от интенсивности и уменьшается с ростом интенсивности, то при определенных параметрах системы может реализоваться новый режим генерации — режим нескольких одинаковых стационарных импульсов. Количество импульсов зависит от параметров системы. Обнаружено, что такая система обладает свойством бистабильности. В зависимости от начальных условий может реализоваться либо режим двух стационарных импульсов, либо режим одиночного импульса с периодически меняющейся формой и амплитудой.

Обнаружено, что, если нелинейность показателя преломления уменьшается с ростом интенсивности, то возможен другой тип бистабильности. В зависимости от начальных условий реализуется либо режим одиночного стационарного импульса, либо происходит заполнение всего резонатора хаотически меняющимся излучением. Аналогичный тип бистабильности возникает также при нелинейном показателе преломления с конечным временем релаксации.

Полученные результаты носят достаточно общий характер и могут представлять интерес для специалистов, занимающихся изучением других нелинейных систем, описываемых уравнением Гинзбурга-Ландау.

Представленная работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 98–02–17791) и Международной Соросовской программы образования в области точных наук (грант № s99–400).

1. S. Popp, O. Stiller, E. Kuznetsov, L. Kramer, Physica D, 114, 81 (1998).
2. L. Kramer, E.A. Kuznetsov, S. Popp, S.K. Tutitsyn, Pis'ma v Zhetf, 61, 887 1995
3. E. Kaplan, E. Kuznetsov, V. Steinberg, Phys. Rev. E, 50, 3712 (1994).
4. А.К. Комаров, А.С. Кучьянов, А.М. Мищенко, Автометрия, № 4, 378 (1999).
5. A.K. Komarov, K.P. Komarov, A.S. Kuch'yanov, In: Fundamental Problems of Laser Optics, Proceedings of SPIE, 3685, 28, 1999.

А.К. Комаров, К.П. Комаров, А.С. Кучьянов, Письма в ЖЭТФ 67, 261 1998.