где N – целое число, по 0, +1 и -1 дифракционным порядкам [1-3]. Спектральные решетки имеют множество потенциальных применений в таких областях как спектроскопия, цветная печать и фотографии, распознавание и формирование цветных изображений [1-3]. Перспективным является использование спектральных решеток для селективного возбуждения и разделения продольных мод для повышения пропускной способности волоконно-оптических линий связи.

Рассмотрим сначала известные спектральные дифракционные решетки, позволяющие разделить длины волн (1) по 0, +1 и -1 дифракционным порядкам. Спектральная решетка имеет на периоде N ступенек равной ширины с высотой [1-3]

где n- показатель преломления материала решетки для длины волны l₀. Пренебрегая дисперсией материала решетки, определим связь фазового набега j с высотой рельефа решетки для длины волны в виде [1-3];

С учетом 2p-периодичности фазы, представим фазовые набеги (4) в виде:

Поскольку для длины волны l₀ фазовый набег равен нулю, то данная спектральная компонента направляется в нулевой порядок. Для длин волн l_±1 фазовые набеги (5) соответствуют фазовым функциям призм, квантованных по N уровням;

где d –период решетки, а функция

описывает операцию квантования по N уровням. Это обеспечивает фокусировку длин волн l_±1 в порядках ±1. Вследствие квантования, доля энергии спектральных компонент l_±1 фокусируемая в порядках ±1, описывается функцией;

Рассмотрим расчет спектральных решеток, обобщающих известные решетки (2). Дисперсию материала решетки учитывать не будем [1-3]. Первоначально проведем расчет решетки для разделения по двум порядкам с номерами n₀ и n₁ длин волн l₀, l₁, связанных более общим по сравнению с уравнением (1) соотношением

где M и N - взаимно-простые числа. Профиль такой решетки предлагается определить через фазовые функции квантованных по M и N уровням дифракционных призм

где - координата профиля, нормированная на период решетки. Для удобства выкладок рельеф спектральной решетки определим через индексы значений , , принимаемых квантованными функциями , в виде;

где M₀(i,j) - неизвестная функция, принимающая целые неотрицательные значения. Решетка (11) при l=l₀ формирует фазовый набег равный по модулю 2p фазовой функции квантованной призмы . Это обеспечивает фокусировку длины волны l₀ в порядке n₀. При l=l₁ фазовый набег, формируемый решеткой (11), имеет вид

Для фокусировки компоненты l₁ в порядке n₁ функция M₀(i,j) в (11) должна выбираться из условия равенства по модулю 2p выражения (12) квантованной фазе в (10). Это дает для расчета функции M₀(i,j) следующее уравнение

где M₁(i,j) - произвольная функция, принимающая целочисленные значения. При прямой подстановке - решение уравнения (13) имеет вид:

где a₁, a₂ - целые числа, определяемые из решения уравнения

Поскольку числа M и N взаимно-простые, то уравнение (15) всегда имеет решение в целых числах по теореме о наибольшем общем делителе. Согласно (14), формула для профиля спектральной решетки имеет вид:

где . Частным случаем (16) является решетка

по порядкам 0, и +n₁ и -n₁. В частности, из (17) несложно получить, что спектральная решетка для разделения длин волн (18) по порядкам 0 и ±1 имеет на периоде N ступенек равной ширины с высотой

где a₁ определяется из решения уравнения (15). Известные спектральные решетки [1-3] являются частным случаем решетки (19) при M=N+1.

Уравнения (11), (16) могут быть использованы для расчета двухволновых дифракционных оптических элементов (ДОЭ), предназначенных для разделения и преобразования двух длин волн из (18). Обозначим , квантованные по M и N уровням фазовые функции, рассчитанные для некоторых заданных преобразований плоских монохроматических пучков с длинами волн l₀, l₊₁ из (18). Тогда высота рельефа в каждой точке u апертуры двухволнового ДОЭ определяется по формулам (14)-(16), где числа (i,j) соответствуют индексам значений квантованных функций , в данной точке. Таким образом, расчет двухволнового ДОЭ сводится к двум независимым задачам расчета квантованных фазовых функций, для решения которых разработаны эффективные итерационные алгоритмы [4, 5]. В качестве примера рассмотрим расчет ‘двухволновых решеток’ для формирования 4-х порядков ±2, ±1 при длине волны l=l₀ и 3-х порядков 0, ±1 при длинах волн l₊₁=3l₀/4 и l₊₁=9l₀/4, соответственно. Расчет решеток (период d) проведем по формуле (16) на основе квантованных фазовых функций 4-х и 3-порядковой решеток, принимающих в интервалах периода значения (0, p, p/2, 3p/2) и (0, 0, 2p/3, 2p/3), соответственно. В скалярном приближении Кирхгофа интенсивности порядков I_j для решетки с фазой определяются как квадраты модулей коэффициентов Фурье функции . Для 4-порядковой решетки I_-2=I_-1=I₁=I_-2=0.205, а для 3-порядковой решетки I₀=0.304, I_-1=I₁==0.25. Следовательно, приведенные решетки концентрируют более 80% энергии в требуемых порядках -2, -1, +1, +2 и -1, 0, +1. При l₊₁=3l₀/4 из (14)-(16) получим a₁=a₂=1 и . При этом рельеф спектральной решетки для длин волн l₀ и l₊₁=3l₀/4 принимает вид:

При l₊₁=9l₀/4 из (14)-(16) получим a₁=-2, a₂=1, . В результате рельеф двухволновой решетки для длин волн l₀ и l₊₁=9l₀/4 принимает вид:

Интенсивности дифракционных порядков решеток (20) и (21) при освещающих пучках с длинами волн l₀, l₊₁=3l₀/4 и l₀, l₊₁=9l₀/4 совпадают (рис.1). Рис. 1 показывает независимое формирование 4-х и 3-х порядков для двух различных волн, что подтверждает работоспособность предложенного метода расчета.

1. H. Dammann. Color separation gratings//Appl.Opt.,1978,v.17,N.15,p.2273-2279.
2. H. Dammann. Spectral Characteristics of Stepped-phase Gratings//Optic, 1979, v.53, pp. 409-417.
3. M. W. Farn, M. B. Stern. Color separation by use of binary optics//Opt.Lett., 1993, v.18, pp. 1214-1216.
4. L.L. Doskolovich, P. Perlo, O.I. Petrova, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct 2D calculation of quantized DOEs on the basis of a continuous series approach//Jour. of Mod.Opt., 1997, v. 44, pp.685-695.